86276 (589956), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Тому підгрупа метанильпотентна.

Приклад 1.16. У нерозв'язній групі центр, підгрупа Фратіні й підгрупа Фиттинга збігаються й мають порядок . Тому в групі немає максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

Отже, твердження (1) теореми 1.15 у нерозв'язних групах порушується.

2. - довжина - розв'язної групи

Нехай - просте число. Назвемо групу - групою, якщо її порядок не ділиться на й, як звичайно, - групою, якщо її порядок дорівнює ступеня числа . Кінцеву групу будемо називати - розв'язної, якщо кожний з її композиційних факторів є або - групою, або -групою. Таким чином, група розв'язна у звичайному змісті тоді й тільки тоді, коли вона -розв'язна для всіх простих . Ясно, що група - розв'язна тоді й тільки тоді, коли вона має нормальний ряд

у якому кожна факторгрупа є або -групою, або -групою. Тому для такої групи ми можемо индуктивно визначити верхній -ряд.

зажадавши, щоб була найбільшої нормальною -підгрупою в , а - найбільшої нормальної -підгрупою в.

Найменше ціле число , для якого , ми назвемо -довгої групи й позначимо його , або, якщо необхідно, .

-довжину -розв'язної групи можна також визначити як найменше число -факторів, що зустрічаються в якому або ряді виду (2.1), оскільки мінімум досягається для верхнього -ряду (2.2). Підгрупи й , мабуть, характеристични в , і містить всі нормальні підгрупи групи з -довгої, не переважаючого числа . Помітимо також, що

для

Підгрупи й факторгрупи -розв'язної групи також -розв'язні, і їхня довжина не перевищує . Якщо групи й обидві -розв'язні, то таке ж їхній прямий добуток і

Нехай - -розв'язна група й - її силовська -підгрупа. Розумно припустити, що чим більше -довго групи , тим більшої повинна бути складність силовської підгрупи . Додамо точний зміст цьому твердженню й доведемо його декількома способами, обираючи різні критерії складності . Найбільш природні із цих критеріїв, силовські -інваріанти групи , такі:

(i) де - порядок ,

(ii) - клас нильпотентності , тобто довжина (верхнього або) нижнього центрального ряду ,

(iii) - довжина ряду комутантів ,

(iv) де - експонента , тобто найбільший з порядків елементів . Експонента самої групи , тобто найменшого загальне кратне порядків її елементів, дорівнює тому . Очевидно, рівність нулю кожного з інваріантів або рівносильно тому, що є -групою.

В основних теоремах обмежимося випадком непарних простих чисел , і навіть тоді результати будуть трохи різними, залежно від того, чи є простим числом Ферма чи виду ні.

Справедлива наступна теорема.

Теорема 2.1. Якщо - -розв'язна група, де - непарне просте число, те

(i)

(ii) якщо не є простим числом Ферма, і , якщо - просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.

Ми встановимо також нерівності, що зв'язують c і з , але тут наші результати будуть тільки для простих чисел, що не є простими числами Ферма. Всі ці результати тривіальні для , і ми доведемо їхньою індукцією по . Припустимо, що й що , як завжди володіє верхнім -поруч (2.2). Нехай підгрупа Фратіні -групи . Усякий елемент групи індуцирує внутрішній автоморфізм групи й, отже, групи . Але, як відоме, є елементарної абелевой -групою; тому її можна ототожнити з аддитивной групою векторного простору над простим полем характеристики , а її автоморфізм - з лінійними перетвореннями цього простору. Автоморфизми групи , індуковані елементами , утворять тому лінійну групу над полем характеристики . Ця група, мабуть, є гомоморфним образом групи , і ми покажемо, що в дійсності вона ізоморфна групі , і тому є -розв'язною групою, не утримуючої нормальної підгрупи, відмінної від одиниці.

Теорема 2.2. Нехай - розв'язна лінійна група над полем характеристики , не утримуюча неодиничну нормальну -підгрупу. Нехай - елемент порядку в. Тоді мінімальне рівняння для має вигляд .

Число задовольняє наступній умові. Нехай найменше ціле число (якщо воно існує), для якого є ступенем простого числа із властивістю . Якщо не існує, то ; у противному випадку

Цей результат, доповнений більше детальними відомостями про елементи , для яких , буде ключем до доказу теореми А. Треба помітити, що нерівність може виконуватися тільки тоді, коли або коли - простої число Ферма. Теорема В и подібні їй теореми доводяться в основному прямим визначенням найменшої групи, що задовольняє цим умовам, і прямим обчисленням. При цьому відіграє важливу роль наступна теорема, цікава сама по собі.

Теорема 2.3. Нехай - якась -група, на яку діє -група , причому деякий елемент групи діє нетривіально на , але тривіально на кожну щиру -інваріантну підгрупу групи . Тоді існує таке просте число , що є або елементарної абелевой -групою, або -групою класу нильпотентності 2, у якої центр і комутант збігаються, факторгрупа по комутанту - елементарна абелева група й подання на неприводимо.

Слід зазначити, що якщо - розв'язна група, то обмежник тягне обмеженість довжини ряду комутантів групи .

Нехай означає наступне твердження:

: для кожного позитивного цілого числа існує таке ціле число , що всяка розв'язна група експоненти , породжувана елементами, має порядок не більше .

Теорема 2.4. істинно, якщо істинно для всіх ступенів простих чисел , що ділять .

Зокрема, тому що відомо, що , і щирі, те щирі й . У цих випадках, як і завжди, коли ділиться тільки на два простих числа, ми можемо слово "розв'язна" замінити у формулюванні словом "кінцева". Якщо - число, вільне від квадратів, ми навіть можемо обчислити , коли відомі для всіх простих , що ділять , і всіх . Так, порядок найбільшої кінцевої -породженої групи експоненти 6 дається формулою

де й

Нехай потрібно довести індукцією один по одному групи нерівність

Тут і - числові інваріанти, для деякого класу кінцевих груп, що ми вважаємо замкнутим. Ми вважаємо , що (2.3) виконується для досить малих , отже й для , і, крім того, що:

(I) якщо - підгрупа , те ;

(II) ;

(III) якщо - факторгрупа , те .

Тоді справедлива

Лема 2.5. У доказі нерівності (2.3) індукцією один по одному групи можна припустити, що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою.

Справді, якщо володіє двома мінімальними нормальними підгрупами й , ми одержимо, що , так що ізоморфно підгрупі прямого добутку . Так як - інваріант, що має однакові значення для ізоморфних груп, останні (I) і (II) дають

У силу припущення індукції й у силу умови (III) . Таким чином, , і точно також , так що , що й було потрібно.

Помітимо, що всі силовські -інваріанти, згадані раніше, крім , задовольняють умовам (I), (II) і (III). Те ж вірно й для інваріанта розв'язної групи й інваріанта -розв'язної групи; задовольняє умові (III). Таким чином, якщо задовольняє умовам (I) і (II), те цим же умовам задовольняє будь-яка функція , а якщо задовольняють умові (III), те цій же умові задовольняє будь-яка функція , що не убуває по кожному з аргументів. Тому що всі наші нерівності тривіальні для досить малих груп , то легко бачити, що твердження останньої леми можна застосовувати щораз, коли це необхідно.

Теорема 2.6. Якщо - розв'язна група, те .

Доводячи теорему індукцією один по одному , можна припустити, що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою. Тому що розв'язно, ця підгрупа буде -групою для деякого простого числа . Тоді у верхньому -ряді (2.2) групи підгрупа . Звідси

Але й -1, у той час як при інваріанти й мають однакові значення для й .

Нехай пропозиція індукції, застосована до групи , дає

Звідси треба теорема.

Нам знадобитися далі важлива властивість верхнього -ряду -розв'язної групи, що зручно вивести в небагато більше загальному контексті. Нехай - деяка множина простих чисел, а - додаткове до множина. -група - це кінцева група, порядок якої ділиться тільки на прості числа, що входять в. Кінцева група -розв'язна, якщо кожний її композиційний фактор є або -групою, або -групою. Така група володіє верхнім -поруч, для якого ми використовуємо ті ж позначення, що й у випадку, коли містить одне просте число . Таким чином, ми пишемо

для ряду нормальних підгруп, вимагаючи, щоб факторгрупа була найбільшої нормальною -підгрупою в , а факторгрупа - найбільшої нормальної -підгрупою в.

Лема 2.7. Якщо -розв'язна група не містить неодиничну -підгрупу, так що , то група містить свій централізатор у групі .

Характеристики

Список файлов ВКР