86094 (589930)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

75

М ИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ

БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите

Зав. кафедрой

СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Дипломная работа

Исполнитель:

студентка группы М-51 Абраменко Т. Ф.

Научный руководитель: 

доцент кафедры дифференциальных

уравнений, к. ф.-м. н. Зверева Т.Е.

Рецензент:

доцент кафедры ВМ и

программирования, к. ф.-м. н. Смородин В.С.

Гомель 2003

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1 НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

2 СООТНОШЕНИЕ

3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами

3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами

4 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ НЕКОТОРОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ

4.1 Старший показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

4.2 Верхний центральный показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

В данной дипломной работе проводится изучение таких понятий, как верхний центральный показатель системы, характеристические показатели Ляпунова; рассматриваются различные соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейных систем, то есть рассматриваются случаи, когда старший показатель Ляпунова строго меньше, равен верхнему центральному показателю.

В дипломной работе проводится исследование конкретной линейной однородной диагональной системы: вычисляются характеристические показатели системы, находятся спектр системы, старший показатель системы, а также верхний центральный показатель этой же системы, устанавливается соотношение На конкретном примере выясняется, что роль оценки сверху показателей решений возмущенных систем

играет число , а не .

1. НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Определение 1.1 [1,с.123]. Наибольший из частичных пределов a функции при называется ее верхним пределом:

.

Определение 1.2 [1,с.125]. Число (или символ или ), определяемое формулой

.

будем называть характеристическим показателем Ляпунова (или характерисическим показателем).

Для показательной функции , очевидно, имеем

.

Лемма 1.1 [1,с.132]. Характеристический показатель конечномерной матрицы совпадает с характеристическим показателем ее нормы, то есть

.

Для вектор-столбца

будем использовать одну из норм [1,с.20]:

= ; = ; = .

Свойства характеристического показателя функции [1,с.126,128]:

1) = , ;

2) .

Замечание 1.1 [1,с.130]. Если линейная комбинация функций

, ,

где постоянны, содержит лишь одну функцию с наибольшим характеристическим показателем, то

= .

Определение 1.3 [1,с.142]. Система ненулевых вектор-функций

обладает свойством несжимаемости, если характеристичесий показатель любой существенной их линейной комбинации

, ,

где постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых вектор-функций, то есть для всякой комбинации y имеем

= .

Определение 1.4 [1,с.137]. Множество всех собственных характеристических показателей (то есть отличных от и ) решений дифференциальной системы будем называть ее спектром.

Теорема 1.1 [1,с.143]. Фундаментальная система линейной системы

,

где и ─ спектр системы , является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.

Замечание 1.2 [1,с.142]. Совокупность вектор-функций с различными характеристическими показателями, очевидно, обладает свойством несжимаемости.

Следствие 1.1 [1,с.145]. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.

Определение1.5 [2,с.71]. Наибольший верхний показатель

системы

будем называть старшим показателем.

Определение 1.6 [2,с.7]. Пусть ─ функция. Тогда верхнее среднее значение функции есть:

= .

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:

= , ,

зависящие от параметра непрерывна в том смысле, что из следует равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке .

Определение 1.7 [ 2,с.103]. Ограниченная измеримая функция называется верхней или C-функцией для семейства , если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функции :

,

то есть, если

,

где ─ константа, общая для всех и , но, вообще говоря, зависящая от выбора и .

Определение 1.8 [2, с.103]. Совокупность всех верхних функций назовем верхним классом или C-классом семейства , и обозначим через

().

Определение 1.9 [2,с.103]. Число

назовем верхним центральным или C-числом семейства . Оно обозначается также через или .

Утверждение 1.1 [2, с. 104]. Если существует такая C-функция , что

для всех , то эта функция одна образует верхний класс и C-число совпадает с :

.

Замечание 1.3 [2,с.102]. Для упрощения записи введем обозначение

Определение 1.10 [2,с.115]. Центральное число семейства будем называть центральным показателем системы

.

Определение 1.11 [2,с.106]. Разобьем полуось точками 0,T,2T,… на промежутки

.

Пусть

.

Найдем

.

Замечание 1.4 [2,с.106]. Число

совпадает с и знак можно заменить на , то есть

.

Определение 1.12 [2,с.107]. Пусть ─ любая ограниченная кусочно непрерывная функция, для которой

.

Замечание 1.5 [2,с.107]. Такие функции существуют: достаточно положить на равной одной из тех функций , для которых достигается максимальное значение

.

Утверждение 1.2 [2,с.537]. Верхнее среднее значение любой ограниченной кусочно непрерывной функции, а в частности функции , где произвольное, равно

.

Утверждение 1.3 [2,с.114]. Пусть

,

─ ее решение и

= ─

семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где

.

Тогда старший показатель этой системы равен наибольшему из верхних средних значений функций семейства , то есть

.

2. СООТНОШЕНИЕ .

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:

= , ,

зависящее от параметра непрерывно в том смысле, что из следует равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке .

Для доказательства соотношения нам потребуется доказать несколько утверждений и следствий.

Утверждение 1.

Если семейство сужается, то его верхний класс может только расшириться, а верхнее число уменьшиться, то есть из

’

следует

(’) ()

и

_.

Доказательство.

Всякая верхняя функция для семейства является верхней и для ’, так как ’ . Значит,

() (’).

По определению 1.9

.

Из того, что

() (’)

следует

.

А значит,

.

Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2.

Если семейство ’ состоит из одной функции , то есть ’= , то верхнее среднее значение функции совпадает с верхним центральным числом семейства ’, то есть

Доказательство.

Для доказательства равенства

докажем два неравенства:

1) ;

2) _.

1. Из определения 1.7 следует, что является верхней функцией, то есть

, = 0;

итак,

(’).

Следовательно, .

1. Пусть ─ любая верхняя функция семейства ’:

для любой (’).

Тогда по определению 1.6

.

Так как ─ любое, то

для любой функции ().

Следовательно,

_.

Тем самым утверждение 2 доказано.

Следствие 1.(из утверждений 1 и 2)

Пусть = ─ семейство кусочно непрерывных функций и равномерно ограниченных функций. Тогда если семейство ’ состоит из одной функции , то есть ’= , и ’ , то верхнее среднее значение функции не превосходит верхнего центрального числа семейства , то есть

.

Доказательство.

Так как ’ , то из утверждения 1 следует, что

(’) ()

и

_.

Так как ’ состоит из одной функции, то есть ’= , то из утверждения 2 следует, что

.

Следовательно,

_,

то есть

.

Следствие 1 доказано.

Следствие 2.(из следствия 1)

Пусть = ─ семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций. Тогда

.

Доказательство.

Из следствия 1 вытекает, что для любого выполняется

.

Следовательно,

.

Следствие 2 доказано.

Воспользуемся доказательством следствия 2 для доказательства следующего утверждения.

Утверждение 3.

Пусть ─

некоторая линейная система дифференциальных уравнений и

= ─

семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где

.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ВКР