86094 (589930), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Тогда старший показатель Ляпунова не превосходит верхнего центрального числа семейства , то есть

_.

Доказательство.

Так как ,

то

.

Выразим из последнего равенства :

, .

Тогда из определения 1.2 следует, что

[определение 1.6] ,

то есть

.

Из этого следует, что

.

Так как по определению 1.5

,

то

.

Тогда из следствия 2 получаем, что

.

Так как по определению 1.9

_,

то .

(утверждение 3 доказано)

3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами

Исследуем случай, когда матрица системы с произвольными коэффициентами является диагональной. Найдем для нее и .

Рассмотрим диагональную систему

,

где ─ вектор-функция размерности . Она имеет матрицу Коши

,

то есть

,

с нормой

, где .

По определению 1.2 найдем для каждой функции ее характеристический показатель Ляпунова, используя определение 1.6:

.

Получаем, что

.

Из утверждения 1.3 и определения 1.5 вытекает, что

,

так как матрица конечномерная.

По определению 1.9

_,

где ().

3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами. Случай .

Исследуем случай, когда матрица системы с постоянными коэффициентами является диагональной. Найдем для нее и .

Рассмотрим диагональную систему

,

где ─ вектор-функция размерности , ─ некоторые числа, .

Она имеет матрицу Коши

,

то есть

,

с нормой

.

Рассмотрим следующую лемму.

Лемма*.

Пусть ─ некоторое число. Тогда

.

Доказательство.

По определению 1.6

.

Имеем, . Что и требовалось доказать.

На основании предыдущего пункта заметим, что

.

Тогда .

Теперь покажем, что .

Пусть .

Так как для любого

,

то по определению 1.7

().

Тогда по определению 1.9 и лемме*

_.

Так как выполняется всегда, то

.

Следовательно, для диагональной системы с постоянными коэффициентами всегда

.

4 ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАРШЕГО И ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДЛЯ ЗАДАННОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ .

4.1 Вычисление старшего показателя системы.

Рассмотрим систему

(1)

Решим ее.

,

,

получили уравнение с разделяющимися переменными.

,

,

,

.

Общее решение системы (1) имеет вид:

Возьмем 1)

2)

тогда получим два решения системы:

.

Составим матрицу решений системы (1).

.

Проверим ее на фундаментальность:

.

Следовательно [1,с.70], матрица фундаментальна.

Перейдем к вычислению показателей решений .

По определению [1,с.20] вычислим норму:

;

.

По определению 1.2 вычислим характеристические показатели, используя лемму 1.1:

, .

,

так как функции и ограниченные.

.

Проверим на несжимаемость систему вектор-функций , используя определение 1.3.

Составим линейную комбинацию

, где ,

и рассмотрим три случая: 1)

2)

3)

В первом случае

.

Во втором случае

.

В третьем случае

.

Найдем нормы :

;

;

.

Итак,

,

.

В силу определения 1.2:

.

Так как ─ ограниченная величина, то

А значит, .

;

;

По определению 1.3 следует, что характеристический показатель линейной комбинации совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений, то есть

А это означает, что система (1) обладает свойством несжимаемости. Тогда по теореме 1.1 наша фундаментальная система нормальная. По следствию 1.1 вытекает, что реализует весь спектр линейной системы. Значит, спектр системы состоит из одного числа: .

По определению 1.5 старший показатель системы (1) равен нулю, то есть

.

4.2 Вычисление верхнего центрального показателя системы

По-прежнему рассматриваем систему (1):

.

Применительно к нашей системе семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций состоит из двух функций и , то есть

,

где

Для вычисления верхнего центрального показателя нам понадобится функция

.

Докажем, что функция является верхней для семейства .

Доказательство:

По определению 1.7 ─ верхняя функция для семейства , если

.

Докажем, что .

.

Следовательно,

.

Докажем, что .

Следовательно,

,

то есть для любого

Тогда по определению верхней функции

() .

Вычислим .

По определению 1.6 верхнего среднего значения функции

Для всякого найдется такое , что

.

Тогда

.

Вычислим отдельно .

Итак,

.

Оценим сверху .

. (*)

Учитывая (*) и оценивая сверху, получаем

.

Тогда (при )

,

то есть .

Оценивая снизу, получаем

,

где .

Тогда

,

то есть .

Следовательно, .

Теперь изобразим функции , и на графике.

График функции :

График функции :

Очевидно, что на отрезках ,

а на отрезках для любого .

Теперь покажем, что верхний центральный показатель совпадает с , то есть

.

Докажем следующим образом:

1.Введем функцию .

Разобьем ось на промежутки точками

Используя определение 1.12, положим

если

Оценим .

Возможны три случая:

1. если , то ; значит,

.

2) если , то ; значит,

.

1. если , то ; значит,

.

Таким образом, .

2.Докажем, что .

Очевидно, что ─ функция ограниченная и

.

Отсюда следует, что

,

то есть

,

Так как

,

то

.

3.Докажем, что для любого .

По определению 1.6 вычислим , используя утверждение 1.2:

.

По определению 1.6 вычислим , используя утверждение 1.2:

.

Теперь рассмотрим все возможные случаи расположений отрезков по отношению к отрезкам и .

I. Если , где , то

,

следовательно,

;

II. если , где , то

,

следовательно,

;

III. если ,

то

;

IV. если ,

то

;

1. Для каждого найдется такое , что выполняется

.

Тогда

;

1. Для каждого найдется такое , что выполняется

.

Тогда

.

Из вышеперечисленных случаев 1) и 2) следует, что

, (**)

для любого такого, что

, .

Учитывая неравенство (**), перейдем к непосредственному доказательству неравенства :

.

Теперь оценим выражение .

Очевидно, выполняется следующее неравенство:

.

Перейдем к пределам:

,

.

Следовательно,

.

Значит,

,

то есть для любого .

По определению 1.11

.

Таким образом,

для любого .

По замечанию 1.4 получаем, что

.

Следовательно,

.

Так как мы доказали, что (), то есть - верхняя функция для семейства , то, опираясь на определение 1.9, получаем, что

,

то есть

.

А значит,

.

Итак, в этом разделе был рассмотрен случай

.

5. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ

Р.Э. Виноград ввел[5] понятие верхнего центрального показателя системы

. (1)

Переход от невозмущенной системы (1) к возмущенной системе

сопровождается изменением показателей. Верхний центральный показатель системы (1) и характеризует это изменение в определенном классе возмущений. Имеет место теорема Р.Э. Винограда.

Теорема [2,с.164-166;3]. Для любого можно указать , что при любых непрерывных возмущениях ,

,

будут выполняться неравенства

.

В.В. Миллионщиковым доказано, что последняя оценка неулучшаема, а именно

Теорема [4]. Для любого найдется возмущение

Q , ||Q || ,

такое, что система

Q

имеет решение , для которой

.

Значит, для рассмотренной в дипломной работе системы наиболее быстро растущими решениями «руководит» показатель , а не показатель .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе рассматриваются соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейной системы

с кусочно непрерывными ограниченными коэффициентами.

Показано, что существует два различных случая отношений между старшим и верхним центральным показателями линейных систем: . На примере заданной линейной однородной диагональной системы дифференциальных уравнений подробно рассмотрены вычисления характеристического показателя Ляпунова, спектра, старшего и верхнего центрального показателей.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Б.П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости.-

Москва, «Наука», 1967г.

2. Б.Ф. Былов, Р.Э. Виноград, Д.М. Гробман, В.В. Немыцкий, Теория

показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости.- Москва, «Наука», 1966г.

3. Р.Э. Виноград, Оценка скачка старшего характеристического

показателя при малых возмущениях.-Докл. АН СССР, 1957г., т.114, №3, с.459-461.

4. В.М. Миллионщиков, Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем.- Сиб. мат.ж., 1969г., т.10, №1, с.99-104.

5. Р.Э. Виноград, О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений.- Матем.сб., 1957г., т.42(84), С.207-222.

Характеристики

Список файлов ВКР