86009 (589916), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при xa, если, задав произвольное как угодно малое положительное число , можно найти такое >0 (зависящее от ), что для всех x, лежащих в -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 < x-a < , значения функции f(x) будут лежать в -окрестности числа А, т.е. f(x)-A < .

Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке - “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x a имеет предел, равный А, это записывается в виде

f(x) = A. (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x_n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

f(x) = ( f(x) = - ).

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существуют пределы f(x)=A, g(x)=B, то

(f(x)+(g(x)) = A + B, (6.4)

f(x) g(x) = AB, (6.5)

f(x)/g(x) = A/B (B 0). (6.6)

Замечание. Выражения вида 0/0, /, 0 , - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

(f(x)) = ( f(x)) ^, где = const, (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

b^f(x) =b^A, где b = const, f(x)=A; (6.8)

log_c f(x) = log_c f(x), где c = const. (6.9)

Теорема 3. = 1, = 1, a = const, a >0,

= 1, (6.10)

(1 + )^1/ = e, (6.11)

где e 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

= log_c e, (6.12)

(a - 1)/ = ln a, (6.13)

((1 + ) - 1)/ = , (6.14)

в частности,

= 1.

Eсли x a и при этом x > a, то пишут x a+0. Если, в частности, a=0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если xa и при этом x и называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при xa необходимо и достаточно, чтобы = .

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если

. (6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

,

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x_o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x_o)= f(0) не определено, поэтому в точке x_o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x_o, если

,

и непрерывной слева в точке x_o, если

.

Непрерывность функции в точке x_o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x_o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x_o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если существует и не равен f(x_o), то говорят, что функция f(x) в точке x_o имеет разрыв первого рода, или скачок.

2. Если равен или не существует, то говорят, что в точке x_o функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция y = ctg x при x +0 имеет предел, равный +, значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я.И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел e = . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 (1 +1/3) 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100 (1 +1/10)¹⁰ 259 (ден. ед.),

100 (1+1/100)¹⁰⁰ 270 (ден. ед.),

100 (1+1/1000)¹⁰⁰⁰ 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

= e.

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x_n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы >0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство x_n -1 <.

Возьмем любое >0. Так как x_n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n1/ и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/, N = E(1/). Мы тем самым доказали, что x_n = 1.

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом x_n = .

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем x_n, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n², а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

x_n = .

Пример 3.3. x_n = . Найти x_n.

Решение. = .

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4. Найти ( ).

Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида - . Преобразуем формулу общего члена:

= .

Пример 3.5. Дана функция f(x)=2^1/x. Доказать, что не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x_n }, сходящуюся к 0, т.е. x_n =0. Покажем, что величина f(x_n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x_n = 1/n. Очевидно, что 1/n =0, тогда = 2ⁿ = +. Выберем теперь в качестве x_n последовательность с общим членом x_n = -1/n, также стремящуюся к нулю. = 2 ⁿ= 1/2ⁿ = 0. Поэтому 2 ^1/x не существует.

Пример 3.6. Доказать, что sin x не существует.

Решение. Пусть x₁, x₂,..., x_n,... - последовательность, для которой x_n = . Как ведет себя последовательность {f(x_n)} = {sin x_n } при различных x_n ?

Если x_n= n, то sin x_n= sin n = 0 при всех n и sin x_n =0. Если же x_n=2n+/2, то sin x_n= sin(2n+/2) = sin /2 = 1 для всех n и следовательно sin x_n =1. Таким образом, sin x не существует.

Пример 3.7. Найти .

Решение. Имеем: = 5 . Обозначим t = 5x. При x0 имеем: t0. Применяя формулу (3.10), получим 5 .

Пример 3.8. Вычислить .

Решение. Обозначим y=-x. Тогда при x, y0.Имеем:

sin 3x = sin 3(-y) = sin (3-3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4(-y) = sin (4-4y)= - sin 4y.

=- .

Пример 3.9. Найти .

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x0 t0. = .

Пример 3.10. Найти 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем: = .

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x 2 равенство:

= .

Так как (x+1) 0, то, по теореме о пределе частного, найдем

= = .

3. Числитель и знаменатель при x являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x² и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

= .

Пример 3.11. Найти .

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю: , x-90, т.е. имеем неопределенность вида .

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения , получим

.

Пример 3.12. Найти .

Решение. = .

6.2 Применение пределов в экономических расчетах

Сложные проценты

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях - в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:

S = P(1 + i)ⁿ. (6.16)

Здесь P - первоначальная сумма, i - ставка процентов (в виде десятичной дроби), S - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года. Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S - P называются дисконтом. Величину P, найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной, величиной S. Имеем:

P = P = = 0.

Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (или непрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процессов более адекватно, чем на основе дискретных. Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году:

S =P (1 + i/m) ^mn.

Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле, здесь m - число периодов начисления в году, i - годовая или номинальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m имеем:

S = P (1 + i/m) ^mn = P ((1 + i/m) ^m) ⁿ.

Поскольку (1 + i/m) ^m = e ⁱ, то S = P e ⁱⁿ.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того, чтобы отличить ставки непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, обозначим первую через , тогда S = Pe .

Характеристики

Список файлов ВКР