86009 (589916), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например, .

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример 2.8. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы .

Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М₁ = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M₂ = , отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М₂. Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: 0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

Пример 2.9. Найти ранг матрицы А= и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки: .Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5: ; из третьей строки вычтем первую; получим матрицу В = , которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу: .

4.4 Обратная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу

A = .

Обозначим =det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если = 0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А¹, так что В = А¹. Обратная матрица вычисляется по формуле

А¹ = 1/ , (4.5)

где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j}.

Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Пример 2.10. Для матрицы А = найти обратную.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А = det А = = 27 0, значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: А¹ = 1/ , где А_{i j} (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} исходной матрицы. Имеем:

откуда А¹ = .

Пример 2.11. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= .

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: . К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; . Прибавим третий столбец к первому и второму: . Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак, А¹ = .

5. Системы линейных уравнений

5.1 Критерий совместности

Система линейных уравнений имеет вид:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = b₂, (5.1)

... ... ... ...

a_m1 x₁ + a_m1 x₂ +... + a_mn x_n = b_m.

Здесь а_{i j} и b_i (i = ; j = ) - заданные, а x_j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:

AX = B, (5.2)

где A = (а_{i j}) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x₁, x₂,..., x_n)^T, B = (b₁, b₂,..., b_m)^T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x_j и из свободных членов b_i.

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c₁, c₂,..., c_n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x₁, x₂,..., x_n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c₁, c₂,..., c_n)^T такой, что AC B.

Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Матрица

A = ,

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е. r(A) = r(A) = r.

Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:

1) M = (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (mn); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = b₂, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a_n1 x₁ + a_n1 x₂ +... + a_nn x_n = b_n.

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера; 3) матричным методом.

Пример 2.12. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:

5x₁ - x₂ + 2x₃ + x₄ = 7,

2x₁ + x₂ + 4x₃ - 2x₄ = 1,

x₁ - 3x₂ - 6x₃ + 5x₄ = 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:

A = .

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу = 7 0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:

M₃ = = 0, M₃ = = 0.

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A)=2. Для вычисления ранга расширенной матрицы A рассмотрим окаймляющий минор

= = -35 0,

значит, ранг расширенной матрицы r(A) = 3. Поскольку r(A) r(A), то система несовместна.

5.2 Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 2.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.

5.3 Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

= det (a_{i j})

и n вспомогательных определителей _i (i= ), которые получаются из определителя заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

x _i = _i (i = ). (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x _i = _i / .

Если главный определитель системы и все вспомогательные определители _i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример 2.14. Решить методом Крамера систему уравнений:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 5,

x₁ + 2x₂ - x₃ + 4x₄ = -2,

2x₁ - 3x₂ - x₃ - 5x₄ = -2,

3x₁ + x₂ +2x₃ + 11 x₄ = 0.

Решение. Главный определитель этой системы

= = -142 0,

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители _i (i= ), получающиеся из определителя путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x_i, столбцом из свободных членов:

₁ = = - 142, ₂ = = - 284,

₃ = = - 426, ₄ = = 142.

Отсюда x₁ = ₁/ = 1, x₂ = ₂/ = 2, x₃ = ₃/ = 3, x₄ = ₄/ = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)^T.

5.4 Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A¹B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A¹B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример 2.15. Решить матричным способом систему уравнений

x₁ - x₂ + x₃ = 6,

2x₁ + x₂ + x₃ = 3,

x₁ + x₂ +2x₃ = 5.

Решение. Обозначим

A = , X = (x₁, x₂, x₃)^T, B = (6, 3, 5) ^T.

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B. Поскольку = det =5 0, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:

А¹ = 1/ .

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A¹B. В данном случае

A¹ =

и, следовательно,

= .

Выполняя действия над матрицами, получим:

x₁ = 1/5(16+33-25) = 1/5 (6+9-10) = 1,

x₂ = 1/5 (-36 +13 - 15) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

x₃ = 1/5 (16 - 23 + 35) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.

Итак, С = (1, -2, 3)^T.

5.5 Системы линейных уравнений общего вида

Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n; б) r < n:

а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;

б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x _r+1, x _r+2,..., x_n, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1r x_r = b₁ - a₁,_r+1 x_r+1 -... - a_1nx_n,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2r x_r = b₂ - a₂,_r+1 x_r+1 -... - a_2nx_n,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a_r1 x₁ + a_r2 x₂ +... + a_rr x_r = b_r - a_r,_r+1 x_r+1 -... - a_rnx_n.

Ее можно решить относительно x₁, x₂,..., x_r, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x₁, x₂,..., x_r. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной, если все b_i = 0, т. е. она имеет вид:

a ₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +... + a_1n x_n = 0,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +... + a_2n x_n = 0, (5.5)

... ... ... ... ... ...

a_m1 x₁ + a_m1 x₂ +... + a_mn x_n = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x₁ = x₂ =... = x_n = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.

Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x₁, x₂,..., x_n)^T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A), если найдется такое число , что будет выполняться равенство

AX = X.

Число называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = X в виде (A - E)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

(a₁₁ -)x₁ + a₁₂x₂ +... + a_1nx_n =0,

a₂₁x₁ + (a₂₂ -)x₂ +... + a_2nx_n = 0,

... ... ... ... ... ... ... ... (5.6)

a_n1x₁ + a_n2x₂ +... + (a_nn-)x_n = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

= .

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной , которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - E)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения и решать обычным образом.

Пример 2.16. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

x₁ + x₂ - 2x₃ - x₄ + x₅ =1,

3x₁ - x₂ + x₃ + 4x₄ + 3x₅ =4,

x₁ + 5x₂ - 9x₃ - 8x₄ + x₅ =0.

Решение. Будем находить ранги матриц A и A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

.

Очевидно, что r(A) = r(A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:

x₁ + x₂ - 2x₃ - x₄ + x₅ = 1,

- 4x₂ + 7x₃ + 7x₄ = 1.

Поскольку определитель при неизвестных x₁ и x₂ отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

x₁ + x₂ = 2x₃ + x₄ - x₅ + 1,

- 4x₂ = - 7x₃ - 7x₄ + 1,

откуда x₂ = 7/4 x₃ + 7/4 x₄ -1/4, x₁ = 1/4 x₃ -3/4 x₄ - x₅ + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x₃, x₄, x₅ конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x₃ = x₄ = x₅ = 0 x₁= 5/4, x₂ = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.

Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

2x₁ - x₂ + x₃ + x₄ = 1,

x₁ + 2x₂ - x₃ + 4x₄ = 2,

x₁ + 7x₂ - 4x₃ + 11x₄ = a.

Решение.

Данной системе соответствует матрицаА= . Имеем А ~ ~ , следовательно, исходная система равносильна такой:

x₁ + 2x₂ - x₃ + 4x₄ = 2,

5x₂ - 3x₃ + 7x₄ = a-2,

0 = a-5.

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

x₂ = 3/5 + 3/5x₃ - 7/5x₄, x₁ = 4/5 - 1/5x₃ - 6/5x_4.

Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

a₁ = (1, 1, 4, 2),

a₂ = (1, -1, -2, 4),

a₃ = (0, 2, 6, -2),

a₄ = (-3, -1, 3, 4),

a₅ = (-1, 0, - 4, -7).

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, из которых хотя бы одно отлично от нуля (см. п. 1. разд. I), что выполняется векторное равенство:

x₁ a₁ + x₂ a₂ + x₃ a₃ + x₄ a₄ + x₅ a₅ = 0.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

x₁ + x₂ - 3x₄ - x₅ = 0,

x₁ - x₂ + 2x₃ - x₄ = 0,

4x₁ - 2x₂ + 6x₃ +3x₄ - 4x₅ = 0,

2x₁ + 4x₂ - 2x₃ + 4x₄ - 7x₅ = 0.

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

.

Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x₁, x₂, x₄ отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

x₁ + x₂ - 3x₄ = x₅,

-2x₂ + 2x₄ = -2x₃ - x₅,

- 3x₄ = - x₅.

Имеем: x₄ = 1/3 x₅, x₂ = 5/6x₅+x₃, x₁ = 7/6 x₅ -x₃.

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x₃ и x₅ не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

x₁ a₁ + x₂ a₂ + x₃ a₃ + x₄ a₄ + x₅ a₅ = 0

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x₅ = 6, x₃ = 1. Тогда x₄=2, x₂ = 6, x₁=6 и мы получим соотношение

6a₁ + 6a₂ + a₃ + 2a₄ + 6a₅ = 0,

т.е. данная система векторов линейно независима.

Пример 2.19. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

A = .

Решение. Вычислим определитель матрицы A - E:

= det = det

.

Итак, = ( - 2)² (+2)². Корни характеристического уравнения =0 - это числа ₁ = 2 и ₂ = -2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения в систему (5.6): при = 2 имеем систему линейных однородных уравнений

x₁ - x₂ = 0, x₁ - x₂ = 0,

x₁ - x₂ = 0, 3x₂ -7x₃ - 3x₄ = 0,

3x₁ - 7x₃ - 3x₄ = 0, 5x₃ + x₄ = 0.

4x₁ - x₂ + 3x₃ - x₄ = 0,

Следовательно, собственному значению = 2 отвечают собственные векторы вида (8, 8, -3, 15), где - любое отличное от нуля действительное число. При = -2 имеем:

A - E = A +2E = ,

и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

x₁+3x₂ = 0,

x₂ = 0,

x₃+x₄= 0.

Поэтому собственному значению = -2 отвечают собственные векторы вида (0, 0,-1, 1), где - любое отличное от нуля действительное число.

5.6 Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач

Пример 2.20. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип	Способ раскроя
заготовки	1	2	3
А	3	2	1
Б	1	6	2
В	4	1	5

Записать в математической форме условия выполнения задания.

Решение. Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y, при третьем - z.

Для полного выполнения задания по заготовкам типа А сумма 3x +2y +z должна равняться 360, т.е.

3x +2y + z =360.

Аналогично получаем уравнения

x + 6y +2z = 300

4x + y + 5z = 675,

которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решим систему методом исключения неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

.

Следовательно, исходная система равносильна следующей:

x + 6y +2z = 300,

2y +9z = 570,

-67z = - 4020.

Из последнего уравнения находим z = 60; подставляя найденное значение z во второе уравнение, получим y = 15 и, наконец, из первого имеем x = 90. Итак, вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.

Пример 2.21. Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 ден. ед.

Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед.

Решение. По условию задачи, доставленные в порт чугун, железную руду и апатиты можно разгрузить двумя способами: либо в железнодорожные вагоны, либо в портовые склады. Обозначим через x _{i j} количество груза (в тоннах) i-го вида (i= 1,2,3), которое предполагается разгрузить j-м способом (j = 1, 2). Таким образом, задача содержит шесть неизвестных. Условие полной разгрузки чугуна можно записать в виде

x ₁₁ + x ₁₂ = 6000, (5.7)

где x ₁₁, x ₁₂ - части чугуна, разгружаемого соответственно в вагоны и на склады. Аналогичное условие должно выполняться и для железной руды:

x_{2 1} + x₂₂ = 4000. (5.8)

Что же касается апатитов, то их можно разгружать только на склады, а поэтому неизвестное x ₃₁ = 0, и условие полной разгрузки апатитов принимает вид

x ₃₂ =3000. (5.9)

Условие полной загрузки всех поданных в порт вагонов запишется так:

x ₁₁ + x ₂₁ = 8000. (5.10)

Затраты на разгрузку, по условию, определены в 58850 ден. ед., что можно выразить записью:

4,3x ₁₁ + 7,8 x ₁₂ + 5,25 x ₂₁ + 6,4x ₂₂ + 3,25x ₃₂ = 58850. (5.11)

Итак, с учетом сложившейся в порту ситуации условия полной разгрузки судов выражаются в математической форме системой линейных уравнений (5.7) - (5.11). С учетом (5.9) уравнение (5.11) перепишется в виде:

4,3x ₁₁ + 7,8x ₁₂ +5,25x ₂₁ +6,4x ₂₂ = 49100,

и теперь мы имеем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными x _11, x ₁₂, x ₂₁, x ₂₂, расширенная матрица которой имеет вид:

A = .

Преобразуем ее к треугольному виду:

A .

Наша система равносильна следующей:

x ₁₁ + x ₁₂ = 6000,

- x ₁₂ + x ₂₁ = 2000,

x ₂₁ + x ₂₂ = 4000,

-2,35 x ₂₂ = - 4700,

откуда x ₂₂ = 2000, x ₂₁ = 2000, x ₁₂ = 0, x ₁₁ = 6000.

Пример 2.22.На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.

Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б.

Изделие	Выход из единицы сырья
	I	II	III	IV
А	2	1	7	4
Б	6	12	2	3

Решение. Обозначим через x₁, x₂, x₃, x₄ количество сырья, которое следует переработать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание. Получим систему трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 94,

2x₁ + x₂ + 7x₃ + 4x₄ = 574,

6x₁ +12x₂ +2x₃ + 3x₄ = 328.

Решаем ее методом Гаусса:

.

Имеем: r (А) = r (А) = 3, следовательно, число главных неизвестных равно трем, одно неизвестное x₄ - свободное. Исходная система равносильна следующей:

x₁ + x₂ + x₃ = 94 - x₄,

- x₂ + 5x₃ = 386 - 2x₄,

26x₃ = 2080- 9x₄.

Из последнего уравнения находим x₃ = 80 - 9/26 x₄, подставляя x₃ во второе уравнение, будем иметь: x₂ = 14 + 7/26x₄ и, наконец, из первого уравнения получим: x₁ = - 12/13 x₄. С математической точки зрения система имеет бесчисленное множество решений, т. е. неопределенна. С учетом реального экономического содержания величины x₁ и x₄ не могут быть отрицательными, тогда из соотношения x₁ = - 12/13 x₄ получим: x₁ = x₄ = 0. Тогда вектор (0, 14, 80, 0) является решением данной системы.

Пример 2.23. Математическая модель межотраслевого баланса.

Модель межотраслевого баланса, разработанная профессором В. Леонтьевым (Гарвардский университет, США), имеет вид:

, (5.12)

или, в матричной форме,

AX + Y = X, (5.13)

где А = (a _{i j}) - матрица коэффициентов прямых затрат, Х - вектор валовых выпусков, Y - вектор конечного продукта.

Перепишем систему (5.13) в виде

(E - A) X = Y, (5.14)

где E - единичная матрица n-го порядка, тогда решение системы (5.14) относительно неизвестных значений объемов производства продукции при заданном векторе конечного продукта находится по формуле

X = (E - A) ¹ Y. (5.15)

Здесь (E - A) ¹ - матрица коэффициентов полных затрат. Элемент b _{i j} матрицы (E - A) ¹ характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i, который необходим для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски x _i в виде функций планируемых значений y _j конечных продуктов отраслей:

.

Пример 2.24. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты - выпуск” X = AX +Y. Найти вектор конечной продукции Y при заданном X, где

A = ;

Решение. Имеем: Y = (E - A) X, где E - единичная матрица третьего порядка.

E - A = ,

значит,

Y= .

Пример 2.25. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов A. Найти вектор валовой продукции X при заданном Y, где

A= .

Решение. Для решения вопроса о продуктивности матрицы A следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:

,

или

(0,125 -)² - 0,140625 = 0 0,125 - = 0,375.

Следовательно, ₁ = 0,5; ₂ = - 0,25. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентов A продуктивная. Для определения вектора валовой продукции X имеем формулу X = (E - A) ¹ Y. Найдем обратную матрицу для матрицы

E - A= .

Обозначим B = E-A, тогда .

Следовательно,

X = .

III. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

6. Предел функции

6.1 Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа существует номер N, что все значения x_n, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

x_n - a < . (6.1)

Записывают это следующим образом: или x_n a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- < x_n < a + , (6.2)

которое означает, что точки x _n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-, a+), т.е. попадают в какую угодно малую -окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при xa, если для всякой последовательности {x_n} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x_n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Характеристики

Список файлов ВКР