85991 (589914), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Таким образом был получен вид авторегрессионно-регрессионной модели, удовлетворяющий требованием точности. Процесс идентификации завершился за шаг.

Следует упомянуть тот факт, что данная модель описывает траектории системы не в принятых единицах измерения углов и скоростей, а в некоторых унифицированных импульсах, которые используются в данной электромеханической системе. Для перехода к градусам необходимо воспользоваться следующим выражением: где — искомый угол, n — количество импульсов.

2.3 Формирование ограничений

Любая реальная техническая система имеет ограничения на управление. Это обусловлено конструкцией и техническими характеристиками рассматриваемой системы. Ограничения отражаются в технических условиях на эксплуатацию системы.

Управляющим параметром электропривода является напряжение на якоре, которое обозначается U. В связи с техническими особенностями данного объекта управления, напряжение на якоре не может превышать некоторого предельно допустимого значения. Это обусловлено максимальным током в обмотке якоря , а также характеристиками источника энергии, используемого в данной системе. Таким образом, необходимо учитывать это ограничение при разработке управляющего устройства.

Еще одним ограничением на управляющий параметр, является то, что величина не может меняться скачкообразно на сколь угодно большую величину. Это ограничение обусловлено возможностями и конструкцией источника энергии и регулирующего устройства, которое задает характер изменения величины управляющего параметра. Это второе ограничение, накладываемое на управление.

Таким образом в данной работе рассматривается следующий случай: область управления U имеет размерность 2, т.е. эта область представляет собой плоскость в пространстве управлений.

Математически область управления U для данной системы задается следующей системой выражений:

(2.14)

где первое выражение накладывает ограничение на величину, а второе — на скорость изменения значения управляющего параметра. Выражение (2.14) представляет собой ограничения, написанные для непрерывных систем. Так как в рассматриваемом случае рассматривается дискретное время, то перепишем систему (2.14) в виде, пригодном для дискретных систем:

(2.15)

где — представляет собой разность значений управляющего параметра текущего и предыдущего моментов времени, что для дискретных систем является аналогом скорости непрерывных систем.

На рисунке 2.9 представлен общий вид области управления для рассматриваемой задачи.

Реальные численные значения данных границ зависят от коэффициентов масштабирования реальной системы, которые определяются входящими в систему усилителями и преобразователями, и выбираются для каждого моделируемого объекта индивидуально, в строгом соответствии с техническими условиями и правилами эксплуатации. Для данной системы ограничения имеют вид:

(2.16)

Для того чтобы перейти из пространства управлений в базис времени необходимо воспользоваться теоремой Гамкрелидзе о числе переключений [1]. Движение будет осуществляться по граням области управления, т.е. по сторонам прямоугольника в пространстве управлений. На рисунке 2.10 представлены ограничения в координатах (t, U).

Ограничение на величину параметра представляет собой две горизонтальные линии, обозначенные на рисунке пунктиром, с ординатами и –. Ограничение на скорость изменения величины управляющего параметра определяется углом наклона траектории:

Как видно из рисунка 2.10 управление имеет вид кусочно-гладкой функции с несколькими переключениями.

Точки переключений в базисе (t, U), соответствуют вершинам прямоугольника области управления (рисунок 2.9). Участок 1 на рисунке 2.11 соответствует движению по часовой стрелке по отрезку BC. Это движение будет длиться до момента достижения точки C, далее движение будет происходить по отрезку CD, на рисунке 2.11 этому движению соответствует участок 2. Движение по участку CD в пространстве управлений будет длиться до момента достижения точки D и т.д.

Существует один интересный случай, когда скорость управления, скачком меняется на противоположное значение, т.е. в пространстве управлений будет наблюдаться скачок с отрезка BC на отрезок CD. Этому соответствует участок 2’ в базисе (t, U). Участок 2’’ на рисунке 2.11 соответствует скачку с отрезка BC на отрезок CD в пространстве управлений, не достигнув точки переключения.

На самом деле такой характер изменения скорости допустим, так как при задании ограничений говорилось, что скачком не может меняться только величина управляющего параметра, тогда как на скорость изменения этого параметра такого ограничения не накладывалось. Это не противоречит рассуждениям приведенным в разделе 1.1. То есть управляющий параметр является не безынерционным, а скорость изменения этого параметра — безынерционным. Правомерность этого утверждения легко подтверждается физическим смыслом управления, являющегося напряжением на якоре.

Необходимо рассмотреть случай, при котором возникшую ошибку можно ликвидировать за один шаг. Запишем регулятор для АРРМ вида (2.8), обеспечивающий равенство . Выражение для такого регулятора имеет вид:

или для ошибки:

[5]

Будем называть такое управление одношаговым. Для реализации такого управления необходимо, чтобы выработанное таким образом управление также удовлетворяло условию (2.15), а иначе такое управление является нереализуемым за один шаг.

2.4 Формирование оптимальных траекторий

Как было указано выше (раздел 1.1), оптимальной траекторией называют траекторию x(t), по которой фазовая точка за кратчайшее время переходит из состояния x₀ в состояние x₁. Такой переход будет осуществляться при приложении оптимального управления. Оптимальным управление будет при движении по граням (границам) области управления в пространстве управлений. Для данной задачи, областью управления является прямоугольник (рисунок 2.9). Таким образом, управления будут представлять собой константные и линейно-нарастающие воздействия.

Для построения оптимальных траекторий необходимо найти решение математического выражения, с помощью которого описывается объект управления. В данном случае это авторегрессионно-регрессионная модель. Есть несколько способов решения данного уравнения: численный и аналитический. Численное решение удобно для применения ЭВМ, но имеет один недостаток. Так как решение имеет итерационный характер, то в процессе вычислений с каждым шагом накапливается ошибка. Аналитическое решение не страдает указанным недостатком и является более универсальным и точным по сравнению с численным, но в данном случае проблемы сопряжены с поиском решения.

Из теории линейных разностных уравнений известно, что общий вид аналитического решения для выражения (2.8) имеет вид:

(2.17)

где — общее решение линейного неоднородного разностного уравнения, — общее решение линейного однородного разностного уравнения, — частное решение линейного неоднородного разностного уравнения. Более подробно выражение (2.17) можно записать в виде:

(2.18)

где m — порядок авторегрессии; — константы, определяемые из начальных условий; — корни характеристического уравнения (2.19) для исходного разностного уравнения (2.8), — коэффициенты авторегрессионно-регрессионной модели (2.8). [6]

(2.19)

где m — порядок авторегрессии. Для третьего порядка авторегрессии, выражение (2.18) будет иметь вид:

(2.20)

(2.21)

Подставим в выражения (2.20) и (2.21) коэффициенты модели (2.13). После подстановки выражения будут иметь вид:

(2.22)

Для нахождения общего вида аналитического решения уравнения (2.13) необходимо найти корни характеристического уравнения (2.22) и коэффициенты c_i выражения (2.21).

При нахождении корней характеристического уравнения (2.22) удобно воспользоваться функцией roots математического пакета MatLab. В результате расчетов были получены следующие значения:

Так как в результате вычислений был получен комплексно-сопряженный корень, то данное аналитическое решение является не удобным для использования в алгоритме и далее вычисления будут проводиться численными методами. Ниже приведены построенные оптимальные траектории в пространстве управлений. Эти траектории построены с учетом ограничений налагаемых на управление. Ограничения имеют вид системы (2.16). Таким образом, были построены траектории, соответствующие константному значению управляющего параметра и линейно-нарастающему.

На рисунке 2.12 представлены траектории системы соответствующие константному значению управляющего параметра без учета ограничения на скорость. На графике 2.12, а представлен график управления, на графике 2.12, б — траектория системы в пространстве фазовых координат системы (_t, _t), на графике 2.12, в — траектория системы в базисе (t, _t), на графике 2.12, г — траектория системы в базисе (t, _t).

На рисунке 2.13 представлены траектории системы соответствующие линейно-нарастающему значению управляющего параметра без учета ограничения на значение параметра. На графике 2.13, а представлен график управления, на графике 2.13, б — траектория системы в пространстве фазовых координат системы (_t, _t), на графике 2.13, в — траектория системы в базисе (t, _t), на графике 2.13, г — траектория системы в базисе (t, _t).

В процессе работы системы, управляющий параметр будет иметь несколько моментов переключения. В качестве иллюстрации этого случая приведен рисунок 2.14.

Движение системы при оптимальном управлении определяется начальными условиями. Рассмотрим начальные условия в базисе (t, _t). Для данной системы максимальный угол рассогласования не может превышать 180, по модулю. Таким образом, в базисе (t, _t) необходимо выделить ограничения –, +, которые представляют собой горизонтальную полосу, внутри которой и будут располагаться точка, соответствующая начальному значению фазовой координаты . На рисунке 2.15, показаны несколько вариантов начальных условий.

В зависимости от начальных условий, в базисе (_t, _t) будет существовать множество траекторий. При различных углах в начальных условиях, траектории будут располагаться по горизонтали.

Как говорилось при постановке задачи, данная проблема решается в базисе ошибок. Для перехода в базис ошибок необходимо воспользоваться выражением (1.13):

Это выражение переводит множество траекторий из базиса (_t, _t), в базис ошибок.

Характеристики

Список файлов ВКР