85854 (589884), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Розглянемо тотожність

.

Піднесемо обидві частини рівності до квадрату

.

Підсумуємо праву та ліву частини рівності за та :

Покажемо, що :

Отже, маємо

,

.

Дисперсія дорівнює

(обчислена за таблицею розподілу ). Тоді

.

Звідси

,

або, що теж саме,

.

Теорема доведена.

Наслідок. Середнє значення для систематичної вибірки більш точне, ніж середнє для простої випадкової вибірки, тобто

тоді і тільки тоді, коли

. (1.1.2)

Доведення.

Дисперсія середнього значення простої випадкової вибірки дорівнює

.

Тоді з (1.1.1) випливає, що тоді і тільки тоді, коли

.

Звідси маємо

.

Домножимо обидві частини нерівності на та праворуч винесемо :

.

Враховуючи, що маємо

,

або,

.

Отже , .

Наслідок доведено.

Таким чином, систематичний відбір точніший, ніж простий випадковий відбір, якщо дисперсія одиниць систематичних вибірок більша дисперсії всієї популяції. Систематичний відбір точний, коли одиниці всередині однієї й тієї ж вибірки неоднорідні, та неточний, коли вони однорідні. До цього можна прийти інтуїтивно. Якщо всередині систематичної вибірки варіація у порівнянні з варіацією популяції невелика, то послідовно вибрані одиниці вибірки несуть більш або менш однакову інформацію. Інший вираз для дисперсії наведемо у теоремі 1.1.3.

Теорема 1.1.3.

, (1.1.3)

де - коефіцієнт кореляції між парами одиниць, що належать до однієї й тієї самої систематичної вибірки. Цей коефіцієнт визначається за формулою

,

де чисельник є середнім по всім різним парам, а знаменник – середнє по всім значенням . Розпишемо чисельник і знаменник:

Підставивши отримані вирази у отримаємо:

.

Доведення.

Дисперсія середнього значення систематичної вибірки дорівнює

.

Звідси маємо

.

Отже,

.

Ділимо обидві частини на і отримуємо вираз для

.

Останній результат показує, що додатна кореляція між одиницями в одній і тій самій вибірці збільшує дисперсію вибіркового середнього. Навіть мала додатна кореляція може мати великий ефект за рахунок множника .

Теорема доведена.

Дві попередні теореми виражали через дисперсію популяції , тобто співвідносили дисперсію з дисперсією для простої випадкової вибірки

.

Існує аналог теореми 1.1.3, в якому виражена через дисперсію стратифікованої випадкової вибірки, де страти складалися з перших одиниць, других одиниць і т.п. При позначеннях індекс при відповідає номеру страти. Середнє для страти будемо записувати так .

Теорема 1.1.4.

, (1.1.4)

– дисперсія одиниць, що належать до однієї й тієї самої страти. В знаменнику стоїть , тому що кожна з страт вносить ступінь вільності. Величина

.

є коефіцієнтом кореляції між відхиленнями від середнього значення для страти по всім парам одиниць, що належать до однієї й тієї ж систематичної вибірки.

. (1.1.5)

Доведення.

Доведення цієї теореми аналогічно доведенню теореми 1.1.3.

Дисперсія середнього значення систематичної вибірки дорівнює

Розпишемо середнє значення популяції через середнє стратифікованої вибірки :

{ - це -та одиниця -ї страти}

.

Отже маємо

.

Отже,

.

Теорема доведена.

Наслідок. Якщо , то систематична вибірка має ту саму точність, що й відповідна стратифікована випадкова вибірка з однією одиницею у кожній страті.

Це твердження випливає з того, що для такої стратифікованої випадкової вибірки дорівнює:

.

Теорема 1.1.5. Дисперсія величини , яка використовується для оцінювання сумарного значення популяції , дорівнює

.

Приклад. У таблиці 1.1.2 наведені данні для невеликої штучної популяції, яка показує тенденцію до досить стійкого зростання значень ознаки у послідовності одиниць. Маємо , , . Кожний стовпчик відповідає деякій систематичній вибірці, а рядки є стратами. Приклад ілюструє ситуацію, коли кореляція «всередині страт» додатна. Наприклад, у першій вибірці кожне з чотирьох чисел (0, 6, 18, 26) менше середнього значення у страті, до якого воно належить. Це справедливо, з невеликим винятком, для перших п’яти систематичних вибірок. В останніх п’яти вибірках відхилення від середніх значень для страт в основному додатне. Таким чином, члени суми у виразі для переважно додатні. Відповідно до теореми 1.1.4 можна очікувати, що систематичний відбір буде менш точним, ніж стратифікований випадковий відбір з однією одиницею у кожній страті.

Таблиця 1.1.2 Данні по 10 систематичним вибіркам при обсязі вибірок та обсязі популяції

Середнє значення систематичної вибірки має розподіл

~

Дисперсія систематичної вибірки дорівнює

Знайдемо середнє та дисперсію для всієї популяції:

Тепер знайдемо дисперсію одиниць, що належать до однієї й тієї самої страти:

,

де - число страт, - обсяг стратифікованої вибірки.

Тоді дисперсія оцінки середнього для простої випадкової вибірки має вид:

,

де - обсяг простої випадкової вибірки.

Дисперсія оцінки середнього для стратифікованої випадкової вибірки

,

де - число страт.

Стратифікований випадковий відбір та систематичний відбір виявились набагато ефективнішими, ніж простий випадковий відбір, причому, як і очікувалось, систематичний відбір менш точний, ніж стратифікований випадковий відбір.

1.2 Порівняння систематичного відбору зі стратифікованим випадковим відбором

Ефективність систематичного відбору в порівнянні зі стратифікованим або простим випадковим відбором суттєво залежить від особливостей популяції. Існують такі популяції, в яких систематичний відбір дає високу точність, але є й такі, для яких простий випадковий відбір є більш точним ніж систематичний. Для деяких популяцій та деяких значень дисперсія середнього систематичної вибірки, веде себе досить погано − вона може навіть зростати при збільшені обсягу вибірки . Тому важко вказати загальні умови, за яких рекомендовано застосовувати систематичний відбір. В будь-якому випадку для того, щоб його застосування було ефективним, необхідно знати будову популяції, з якої проводиться відбір.

При дослідженні цієї проблеми існує два напрямки. При одному з них порівнюються різні типи відбору зі штучних сукупностей, для яких є деякою простою функцією . При іншому − проводиться аналогічне порівняння для реальних популяцій.

1.3 Популяції з «випадковим» порядком розміщення одиниць

Систематичний відбір, оскільки він зручний, застосовується іноді до популяцій, в яких одиниці дійсно розташовані навмання. Наприклад, так буває при відборі з картотеки, що складена в алфавітному порядку за прізвищами, якщо змінюється ознака, яка ніяк не пов’язана з прізвищем того, кого обстежують. В цьому випадку не буде ніякої тенденції чи стратифікування по в розташуванні карток, ні кореляції між сусідніми одиницями.

У такій ситуації ми могли б очікувати, що систематичний відбір буде, по суті, рівносильний простому випадковому відбору та буде мати ту саму дисперсію. Для конкретної скінченої популяції при заданих значеннях і це не завжди вірно, тому що , яка має ступенів вільності, при малих досить нестійка і може виявитись як більше так і менше, ніж . Але існують дві теореми, які показують, що в середньому ці дисперсії рівні.

Характеристики

Список файлов ВКР