85686 (589856), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

то . Аналогичным образом, . Согласно лемме 3.1.4, и --- -субнормальные подгруппы группы . Так как --- сверхрадикальная формация, то . Итак, --- формация Фиттинга. Лемма доказана.

3.4 Лемма. Пусть --- непустая наследственная формация. Если содержит любую группу , где для любого из силовские -подгруппы и принадлежат и -субнормальные подгруппы в , то --- сверхрадикальная формация.

Доказательство. Пусть --- непустая наследственная формация, удовлетворяющая условию леммы. Покажем, что --- сверхрадикальная формация. Пусть , где и --- -субнормальные -подгруппы группы . Пусть --- произвольное простое число из , а и --- силовские -подгруппы из и соответственно. Так как и принадлежат и --- наследственная формация, то и принадлежат и, и -субнормальны в и соответственно. Так как и --- -субнормальные подгруппы группы , то согласно лемме 3.1.4, и -субнормальны в группе . Согласно условию леммы, принадлежит . А это значит, что --- сверхрадикальная формация. Лемма доказана.

3.5 Лемма. Пусть --- наследственная насыщенная разрешимая формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- сверхрадикальная формация;

2) --- содержит любую группу , где и для любого простого числа из силовские -подгруппы и -субнормальны в .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть --- сверхрадикальная формация и пусть , где и для любого простого числа из и --- -субнормальные подгруппы группы . Так как --- насыщенная формация и , то и принадлежат . Так как --- разрешимая формация и --- -субнормальная подгруппа группы , то отсюда нетрудно показать, что --- разрешимая группа. А это значит, что и разрешимы.

Согласно теореме Ф. Холла [63], , где . Так как --- сверхрадикальная формация, то принадлежит . Так как и --- -субнормальные подгруппы группы , то согласно теореме 2.2.10, --- -субнормальная подгруппа группы . Так как принадлежит и --- сверхрадикальная формация, то подгруппа принадлежит . Продолжая в аналогичном порядке получаем, что принадлежит . Аналогичным образом можем доказать, что принадлежит . Так как --- сверхрадикальная формация, то .

Тот факт, что из 2) следует 1) вытекает из леммы 3.3.4. Лемма доказана.

В следующей теореме получено решение проблемы Шеметкова о классификации сверхрадикальных формаций для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы.

3.6 Теорема [20-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- сверхрадикальная формация;

2) , где --- некоторые множества простых чисел.

Доказательство. Пусть --- сверхрадикальная формация. Вначале докажем, что любая минимальная не -группа является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.

Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию теоремы, разрешима. Если , то нетрудно заметить, что --- группа простого порядка , где .

Рассмотрим случай, когда . Согласно теореме 2.2.5, , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа из , --- -группа, , --- максимальный внутренний локальный экран формации . Очевидно, что .

Покажем, что является примарной циклической подгруппой. Предположим противное. Поскольку --- разрешимая группа, то в существуют максимальные подгруппы и такие, что . Так как , то очевидно, что и --- -нормальные максимальные -подгруппы группы . Но тогда . Так как --- сверхрадикальная формация, то . Противоречие. Итак, имеет единственный класс максимальных сопряженных подгрупп. Следовательно, --- циклическая -подгруппа. Поскольку --- насыщенная формация и , имеем .

Покажем, что . Предположим противное. Пусть , где . Пусть и --- циклические группы соответственно порядков и . Обозначим через регулярное сплетение . Пусть --- база сплетения, т. е. . Так как некоторая подгруппа группы изоморфна , то . Очевидно, подгруппы , принадлежат формации .

Пусть , где . Обозначим через базу сплетения . Тогда .

Так как , то , значит, что подгруппы и -субнормальны в . Легко видеть, что , .

Так как --- сверхрадикальная формация, то . Но , и поэтому .

Полученное противоречие показывает, что . Итак, --- группа Шмидта. Теперь из леммы 3.1.1 следует, что --- группа Шмидта.

Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что формация имеет полный локальный экран такой, что , для любого из . Действительно, пусть --- такая формация, у которой есть локальный экран . Покажем, что .

С учетом того, что для любого простого из , получим .

Покажем обратное включение. Пусть --- группа наименьшего порядка из . Так как --- наследственная формация, то формация также является наследственной, значит, . Так как --- насыщенная формация, то нетрудно показать, что .

Выше показано, что --- либо группа простого порядка, либо группа Шмидта. Пусть --- группа простого порядка и . Нетрудно показать, что . Так как , имеем . Отсюда следует, что . Противоречие.

Пусть теперь --- группа Шмидта. Поскольку , то из свойств группы Шмидта следует , где и . Так как , то . Из того, что , следует . Так как и --- наследственная формация, то . Теперь из того, что , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы и , следует что . Получили противоречие. Итак, , значит, .

Так как --- локальный экран формации , имеем

следовательно, --- формация из 2).

Пусть . Тогда из следствия 3.2.5 следует, что --- сверхрадикальная формация. Теорема доказана.

Покажем, что в теореме 3.3.6 условие наследственной насыщенной формации можно отбросить, в случае, когда --- разрешимая формация.

3.7 Лемма. Пусть --- разрешимая нормально наследственная формация. Если и , то .

Доказательство. Пусть и . Если , то утверждение леммы очевидно. Пусть . Пусть --- нормальная максимальная подгруппа группы . Если , то .

Пусть . Ясно, что . Так как и --- нормально наследственная формация, то . Индукцией по порядку группы получаем, что . Лемма доказана.

Если --- произвольный класс групп, то через обозначим наибольший по включению наследственный подкласс класса . Более точно

3.8 Лемма. Всякая разрешимая сверхрадикальная формация является наследственной формацией.

Доказательство. Пусть --- разрешимая сверхрадикальная формация. Как и в теореме 3.3.6 нетрудно показать, что любая разрешимая минимальная не -группа является группой Шмидта, либо группой простого порядка.

Покажем, что , где --- максимальная наследственная подформация из . Допустим, что множество непусто и выберем в нем группу наименьшего порядка. В силу леммы 2.2.11, формация является насыщенной. Поэтому . Очевидно, что группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и . Так как , то в найдется минимальная не -группа . Из нормальной наследственности формации следует, что . Ясно, что является также минимальной не -группой.

По условию, --- группа Шмидта. В этом случае , где --- нормальная силовская -подгруппа, а --- циклическая -подгруппа группы , и --- различные простые числа.

Если , то

Получили противоречие с выбором . Остается принять, что . Отсюда и из получаем, что , а значит, --- -группа. Рассмотрим . Тогда группу можно представить в виде

где --- элементарная абелева -группа, а . Так как не входит в , то по лемме 2.2.12 , где --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как и , то является -группой. Отсюда следует, что . Из нормальной наследственности формации , по теореме 2.2.13, следует, что является нормально наследственной формацией. Тогда, по лемме 3.3.7, . Получили противоречие. Таким образом, . Лемма доказана.

Напомним, что формация называется формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.

Характеристики

Список файлов ВКР