Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Рассмотрим два случая: и .

Пусть . Покажем, что .

Если --- абелева, то --- примарная -группа, где . Отсюда следует, что .

Если --- неабелева, то есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп.

Так как --- нормальная подгруппа из , то

Так как , то очевидно, что . Так как , то для любой . Следовательно, .

Пусть теперь . Если --- неабелева, то . Тогда . Отсюда следует, что . А это значит, что . Отсюда следует, что , где --- любое простое число из .

Рассмотрим подгруппу , где --- любая силовская подгруппа из .

Если , то, как и выше, получаем, что .

Если , то, как и выше, получаем, что . Отсюда следует, что , где --- любое простое число из . Согласно лемме 2.2.9, любая силовская подгруппа группы есть , где --- силовские подгруппы из и соответственно. Отсюда следует, что любое простое число из принадлежит . Следовательно, . А это значит, что .

Пусть --- абелева группа, то . Но тогда .

Ввиду , получаем, что для любой . А это значит, что .

Пусть теперь --- произвольная наследственная формация и . По лемме 3.2.1, композиционные факторы группы содержатся среди композиционных факторов групп из . Это значит, что принадлежит .

Пусть . Так как , то ввиду леммы 3.2.2, силовские подгруппы из и -субнормальны в . По доказанному, . Так как , то, по лемме 3.2.2, . Теорема доказана.

2.4 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Пусть --- наследственная формация. Тогда всякая формация вида является сверхрадикальной.

Доказательство. Пусть , где и --- -субнормальные -подгруппы группы . Так как --- наследственная формация, то согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из (из ) -субнормальна в (соответственно в ). Отсюда, согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из и из -субнормальна в . Теперь требуемый результат следует из теоремы 3.2.3.

2.5 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Формация вида является сверхрадикальной.

2.6 Следствие. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.7 Следствие. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.8 Следствие. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.9 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть . Тогда формация содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.10 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -нильпо- тентных групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.11 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.12 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.13 Лемма. Пусть --- непустая наследственная формация. Пусть все композиционные факторы группы принадлежат . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- -субнормальная подгруппа группы ;

2) --- -достижимая подгруппа группы .

Доказательство. Пусть --- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы .

Пусть --- -достижимая подгруппа группы . Тогда существует цепь

в которой для любого либо нормальна в , либо .

Пусть . Уплотним участок от до цепи до максимальной -цепи.

Ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, все подгруппы , содержащие , -субнормальны в . Пусть теперь нормальна в . Можно считать, что --- максимальная нормальная подгруппа (в противном случае уплотняем участок от до до композиционной -цепи). Ввиду условия леммы , т. е. . Пришли к рассматриваемому выше случаю. Теперь, ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, подгруппа -субнормальна в . Лемма доказана.

2.14 Лемма. Пусть --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) любая группа , где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в , принадлежит ;

2) любая группа , где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в , принадлежит .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Доказательство проведем индукцией по порядку группы .

Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Очевидно, что . Пусть --- произвольная -силовская подгруппа из . Ясно, что --- -силовская подгруппа из . По лемме 3.1.5, --- -достижимая подгруппа группы . Аналогичным образом доказыватся, что любая силовская подгруппа из -достижима в . Так как , то по индукции, . Предположим, что и --- две различные минимальные нормальные подгруппы группы . Выше показано, что , . Так как --- формация, то . Итак, имеет единственную минимальную нормальную подгруппу .

Покажем, что . Предположим противное. Тогда, как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Так как --- наследственная формация, то . Итак, .

Рассмотрим следующие два случая.

1) Пусть --- абелева, тогда --- примарная группа. Так как --- насыщенная формация и , то . Как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Теперь, с учетом леммы 3.2.13 и условия следует, что .

2) Пусть --- неабелева группа. В этом случае

есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .

Рассмотрим подгруппу . Согласно лемме 3.1.5, --- -субнормальная подгруппа группы . Пусть . Так как и --- собственная -субнормальная подгруппа группы , то равенство невозможно. Итак, .

Так как и --- насыщенная формация, то . Отсюда следует, что

А это значит, что . Если , то . Последнее равенство невозможно, так как , согласно лемме 3.1.4, собственная -субнормальная подгруппа .

Итак, --- собственная подгруппа . Если , то

Так как и --- наследственная формация, то . Но тогда нетрудно заметить, что .

Согласно индукции, группа принадлежит формации . Согласно лемме 3.2.13, любая -достижимая подгруппа является -субнормальной подгруппой. Согласно условию получаем, что группа принадлежит .

Непосредственно из определения -субнормальности и -достижимости из 2) следует 1). Лемма доказана.

Непосредственно из данной леммы и теоремы 3.2.3 следует следующая теорема.

2.15 Теорема. Пусть --- наследственная формация. Тогда всякая формация , представимая в виде , содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

2.16 Следствие. Пусть . Тогда формация содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

2.17 Следствие. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

2.18 Следствие. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

2.19 Следствие. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .

3. Сверхрадикальные формации

В теории формаций конечных групп одной из известных проблем является проблема Шеметкова об описании сверхрадикальных формаций.

В.Н. Семенчуком в работе [28] получено полное решение проблемы Л.А. Шеметкова в классе конечных разрешимых групп. Оказалось, что все такие формации имеют следующее строение: , где --- некоторые множества простых чисел, а --- множество всех разрешимых -групп.

В данном разделе приводится описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы.

Приведем примеры сверхрадикальных формаций.

3.1 Пример. Формация всех -групп , где --- некоторое множество простых чисел является сверхрадикальной формацией.

Действительно. Пусть , где и --- -группы, и --- -субнормальные подгруппы группы . Так как формация замкнута относительно расширений, то, очевидно, что --- -группа.

3.2 Пример. Формации , --- сверхрадикальные формации.

Действительно, если --- -субнормальная подгруппа группы , то --- субнормальная подгруппа из . Очевидно, что любая группа , где и --- нильпотентные субнормальные подгруппы из , нильпотентна.

Если --- разрешимая -субнормальная подгруппа из , то разрешима. Следовательно, --- сверхрадикальная формация.

Аналогичным образом доказывается, что любая нормально наследственная, замкнутая относительно расширений, формация является сверхрадикальной.

Следующая лемма устанавливает связь между сверхрадикальными формациями и формациями Фиттинга.

Напомним, что формациями Фиттинга называются формации, которые замкнуты относительно взятия субнормальных подгрупп и произведения нормальных -подгрупп.

3.3 Лемма. Пусть --- наследственная сверхрадикальная формация, тогда --- формация Фиттинга.

Доказательство. Пусть , где и --- нормальные -подгруппы группы . Так как

Характеристики

Список файлов ВКР