Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

4) если и --- -субнормальные ( -достижимые) подгруппы группы , то --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы ;

5) если все композиционные факторы группы принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы -субнормальна в ;

6) если --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы , то -субнормальна ( -достижима) в для любых .

Доказательство. 1) Пусть --- подгруппа группы и . Так как и --- наследственная формация, то подгруппа является -субнормальной подгруппой группы . Отсюда, согласно определению -субнормальной подгруппы, существует максимальная цепь

такая, что для всех . Отсюда, с учетом леммы 2.2.6 получаем, что в группе существует максимальная цепь

такая, что для всех .

А это значит, что --- -субнормальная подгруппа группы .

Пусть --- подгруппа группы , содержащая , тогда --- -субнормальная подгруппа группы . А так как любая -субнормальная подгруппа группы является -достижимой в , то --- -достижимая подгруппа группы .

2) Пусть --- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп

такая, что для любого .

Пусть --- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп

Так как и формация наследственна, то из следует, что

Теперь, ввиду изоморфизма,

имеем . Значит, . Так как , то . Итак, . Отсюда, по определению, --- -субнормальная подгруппа группы .

Пусть --- -достижимая подгруппа группы . Тогда, по определению, существует цепь подгрупп

такая, что для любого либо подгруппа нормальна в , либо .

Пусть --- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп:

Если подгруппа нормальна в , то подгруппа нормальна в . Пусть . Так как формация наследственна, то из следует, что

Теперь, ввиду изоморфизма,

имеем . Значит, . Так как , то . Итак, для каждого либо подгруппа нормальна в , либо . Отсюда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы .

Утверждение 3) следует непосредственно из определения -субнормальной ( -достижимой) подгруппы.

Утверждение 4) следует теперь из утверждений 2) и 3).

5) Пусть все композиционные факторы группы принадлежат формации , и пусть --- субнормальная подгруппа группы . Тогда в группе существует цепь подгрупп

такая, что для любого подгруппа нормальна в .

Согласно условию, , отсюда следует, что . А это значит, что подгруппа -субнормальна в группе .

Утверждение 6) следует непосредственно из определения -субнормальной ( -достижимой) подгруппы. Лемма доказана.

1.5 Лемма. Пусть --- непустая формация, и --- подгруппы группы , причем нормальна в . Тогда:

1) если -субнормальна ( -достижима) в , то -субнормальна ( -достижима) в и -субнормальна ( -достижима) в ;

2) если , то -субнормальна ( -достижима) в тогда и только тогда, когда -субнормальна ( -достижима) в .

Доказательство. Пусть --- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп

такая, что для любого .

Рассмотрим следующую цепь подгрупп

Так как , то ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что

Итак, для каждого . Отсюда, по определению, --- -субнормальная подгруппа группы .

Ввиду леммы 2.2.6,

Поэтому для любого . Значит, --- -субнормальная подгруппа группы .

Пусть --- -достижимая подгруппа группы . Тогда, по опрeделению, существует цепь подгрупп

такая, что для любого либо нормальна в , либо . Рассмотрим следующую цепь подгрупп

Если подгруппа нормальна в , то подгруппа нормальна в . Пусть . Тогда ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что . Итак, для каждого либо подгруппа нормальна в , либо . Отсюда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы .

Ввиду леммы 2.2.6, . Поэтому для любого либо подгруппа нормальна в , либо . Значит, --- -достижимая подгруппа группы .

Утверждение 2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.

2 Критерий принадлежности факторизуемой группы классическим классам конечных групп

В работе [3] А.Ф. Васильевым была предложена задача об описании наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп и , у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в . В этой же работе было получено описание таких формаций в классе конечных разрешимых групп. Развитию данного направления были посвящены работы [4, 16].

В данном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих в класс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством.

В теории классов групп важную роль играет класс всех -групп ( --- некоторое множество простых чисел), который обозначается через . Большинство важнейших классов групп можно построить из классов вида с помощью операций пересечения и произведения классов.

Напомним, что произведением классов групп и называется класс групп , который состоит из всех групп , таких, что в найдется нормальная -подгруппа с условием .

Пусть --- множество всех натуральных чисел. Обозначим через некоторое подмножество из . Пусть , --- некоторые множества простых чисел, а , --- классы всех -групп и -групп соответственно. В дальнейшем рассматриваем формации вида:

Напомним, что группа называется -замкнутой ( -нильпотентной), если ее силовская -подгруппа (силовское -дополнение) нормальна в . Группа называется -разложимой, если она одновременно -замкнута и -нильпотентна.

Через обозначим дополнение к во множестве всех простых чисел, если , то вместо будем просто писать . Тогда --- класс всех -нильпотентных групп, --- класс всех -замкнутых групп, --- класс всех -разложимых групп, --- класс всех нильпотентных групп, где пробегает все простые числа.

Группа называется -нильпотентной ( -разложимой), если она -нильпотентна ( -разложима) для любого простого числа из . Классы всех -нильпотентных ( -разложимых) групп можно записать в виде

Группа называется -замкнутой, если она имеет нормальную -холлову подгруппу. Тогда --- класс всех -замкнутых групп.

2.1 Лемма. Пусть --- наследственная формация. Если --- -субнормальная -подгруппа группы , то композиционные факторы группы содержатся среди композиционных факторов групп из .

Доказательство. Если , то лемма верна. Пусть . Тогда содержится в -нормальной максимальной подгруппе группы . По индукции, . Так как , то . Отсюда, и из , получаем . Лемма доказана.

2.2 Лемма. Пусть --- наследственная формация, --- класс всех групп. Тогда формация совпадает с формацией .

Доказательство леммы осуществляется непосредственной проверкой.

2.3 Теорема [10-A, 13-A]. Пусть --- наследственная формация. Тогда всякая формация , представимая в виде , содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

Доказательство. Пусть --- формация указанного вида и --- такая группа, что , где и любая силовская подгруппа из и -субнормальна в . Индукцией по порядку докажем, что . Рассмотрим сначала случай, когда --- класс всех групп.

Пусть --- минимальная нормальная подгруппа из . Ясно, что любая силовская подгруппа из и имеет вид , , где и --- силовские подгруппы из и соответственно. Согласно лемме 3.1.5, и --- -субнормальные подгруппы фактор-группы . По индукции, . Так как --- формация, то отсюда следует, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу . Очевидно, что . Так как --- насыщенная формация, то нетрудно показать, что .

Пусть --- силовская подгруппа из . Покажем, что .

Пусть --- абелева группа. Так как --- -субнормальная подгруппа группы , то, согласно теореме 2.2.8, .

Пусть --- неабелева группа. В этом случае есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .

Рассмотрим подгруппу . Согласно лемме 3.1.5, --- -субнормальная подгруппа группы . Пусть . Так как и --- собственная -субнормальная подгруппа группы , то равенство невозможно. Итак, .

Так как и --- насыщенная формация, то . Отсюда следует, что

А это значит, что . Если , то . Последнее равенство невозможно, так как согласно лемме 3.1.4 --- собственная -субнормальная подгруппа .

Итак, --- собственная подгруппа . Если , то

Так как и --- наследственная формация, то . Но тогда нетрудно заметить, что .

Так как , то согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгруппа. Так как и --- наследственная формация, то любая силовская подгруппа -субнормальна в . Согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгруппа группы . По индукции, . Отсюда следует, что для любой .

Аналогичным образом доказывается, что для любой , где --- любая силовская подгруппа из . Из того, что , следует .

Характеристики

Список файлов ВКР