85676 (589854), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

, (1.31)

Равенства (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.28) - (1.31), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):

₁ (1.32)

₂ (1.33)

₃ (1.34)

(1.35)

(1.36)

(1.37)

(1.38)

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.32) - (1.38), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.28) - (1.31).

Пусть

(1.39)

Из первого уравнения системы (1.39) найдем

, .

Подставляя во второе уравнение системы (1.39), получим равенство:

(1.40)

Поскольку , то рассмотрим два случая:

, тогда .

Из соотношений (1.25) при условиях (1.39) и (1.40) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:

, , (1.41)

, , ,

, (1.42)

Равенства (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.41) - (1.42), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):

₁ (1.43)

₂ (1.44)

₃ (1.45)

(1.46)

=0 (1.47)

(1.48)

(1.49)

Теорема 1.4 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.43) - (1.49), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.41) - (1.42).

б) (1.50)

(1.51)

Из (1.50) найдем :

Из соотношений (1.25) при условиях (1.39) и (1.50) - (1.51) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:

, - любое число,

(1.52)

, , ,

, (1.53)

Равенства (1.9) - (1.11) и (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.52) - (1.53), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):

₁=0 (1.54)

₂ (1.55)

(1.56)

(1.57)

(1.58)

(1.59)

(1.60)

Теорема 1.5 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.54) - (1.60), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.52) - (1.53).

2. Качественное исследование построенных классов систем

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.28) - (1.31)

Будем проводить наше исследование в предположении, что , , .

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.28) - (1.31), тогда система (1.1) запишется в виде:

(2.1)

Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

(2.2)

(2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы нулю и исключив переменную y, получим следующее уравнение для определения абсцисс состояний равновесия:

(2.4)

Из (2.4) получаем, что

, ,

, .

Ординаты точек покоя имеют вид:

, , , .

Итак, имеем точки

, ,

, .

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .

Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке .

Отсюда

(2.5)

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

= =0.

,

Или

.

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

.

Корни - действительные, различных знаков не зависимо от параметра d. Следовательно, точка - седло.

Исследуем точку

.

Составим характеристическое уравнение в точке

.

Согласно

равенствам (2.5) характеристическое уравнение примет вид:

,

Или

.

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

,

то есть

, .

Корни - действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d0, то точка

-

неустойчивый узел, если d0, то точка

-

устойчивый узел.

Исследуем точку .

Применяя равенства (2.5), составим характеристическое уравнение в точке

:

Характеристическими числами для точки

системы (2.1) будут

,

то есть

, .

Корни - действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d0, то точка - устойчивый узел, если d0, то точка - неустойчивый узел.

Исследуем точку

.

Составим характеристическое уравнение в точке

.

Применяя равенства (2.5), получим:

,

Или

Характеристическими числами для точки

системы (2.1) будут

,

то есть

, .

Корни - действительные и различных знаков не зависимо от параметра d. Значит, точка

-

седло.

Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости в конце оси oy. Преобразование

[7]

переводит систему (2.1) в систему:

(2.6)

где .

Для исследования состояний равновесий на концах оси y, нам необходимо исследовать только точку . Составим характеристическое уравнение в точке .

Получим, что

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка - устойчивый узел.

Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости вне концов оси oy преобразованием [7] Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

(2.7)

где .

Изучим бесконечно - удаленные точки на оси U, то есть при z=0. Имеем:

Получаем, что . Следовательно, состояний равновесия вне концов оси oy нету.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

d					∞
					x=0
(-∞; 0)	седло	неуст. узел	уст. узел	седло	уст. узел
(0; +∞)	седло	уст. узел	неуст. узел	седло	уст. узел

Положение кривых (2.2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия при d0 и d0 дается соответственно рис.1 (а, б).

Поведение траекторий системы в целом при d0 и d0 дается рис.4 (а, б) приложения А: Поведение траекторий системы (2.1).

Исследуя вид кривых (2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.1) не имеет предельных циклов, так как Воробьев А.П. [5] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса. Учитывая расположение состояний равновесия относительно кривых (1.3) и (1.13), являющиеся интегралами системы (2.1), характер состояния, заключаем, что для системы (2.1) не может существовать предельных циклов, окружающих несколько состояний равновесия.

а (d0)

б (d0)

Рис. 1

2.2 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.41) - (1.42)

Будем проводить наше исследование в предположении, что

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются формулами (1.41) - (1.42). Тогда система (1.1) будет иметь вид:

(2.8)

Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

(2.9)

(2.10)

Частный интеграл (1.13) в этом случае преобразовывается в две прямые (2.10)

1. Найдем состояния равновесия системы (2.8). Для этого приравняем правые части системы нулю

Рассмотрим два случая:

Получаем:

Из первого уравнения найдем y:

и подставляя y во второе уравнение получим:

Решая это уравнение, находим:

.

Итак, получаем

,

,

Итак, получаем точки

, , ,

и прямую x=0, которая является траекторией системы (2.8).

2. Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия

Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке .

Отсюда

(2.11)

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

Характеристическими числами для точки системы (2.8) будут

, .

Корни - действительные и различных знаков не зависимо от параметра d, значит точка - седло.

Исследуем точку .

Согласно (2.11) составим характеристическое уравнение в точке :

Характеристическими числами для точки системы (2.8) будут

, .

Корни - действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d0, то точка - неустойчивый узел, а если d0, то точка - устойчивый узел.

3. Исследуем поведение траекторий в окрестности точки .

Составим характеристическое уравнение согласно (2.11)

.

Характеристическими числами для точки системы (2.8) будут

,

Корни - действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d0, то точка - устойчивый узел, если d0, то точка - неустойчивый узел.

4. Исследуем поведение траекторий в окрестности точки .

Согласно (2.11) составим характеристическое уравнение:

Характеристическими числами для точки системы (2.8) будут

,

Корни - действительные и разных знаков не зависимо от параметра d, следовательно - седло.

Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости системы (2.8) вне концов оси oy. Преобразование [7] переводит систему (2.8) в систему:

(2.12)

где .

Изучим бесконечно - удаленные точки на оси U, то есть при z=0. Получаем:

Следовательно .

Таким образом, получаем две точки N₁ (0,-1) и N₂ (0,1), которые являются состоянием равновесия. Исследуем характер этих точек обычным способом.

Составим характеристическое уравнение в точке N₁ (0,-1).

Характеристики

Список файлов ВКР