85639 (589849), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Так как при стремлении к 0 всех обе суммы стремятся к общему пределу (20), то отсюда следует, что наша фигура квадрируема и площадью её служит действительно интеграл (20).

2.10 Теорема о среднем, оценки

Пусть в промежутке функция ограничена:

а монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса от по , то имеет место формула

(22)

Это и есть теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.

Для доказательства будем исходить из очевидных неравенств для стилтьесовской суммы :

Переходя к пределу, получим

(23)

Или

Обозначая написанное отношение через , придем к (22).

Если функция в промежутке непрерывна, то обычным путем убеждаемся в том, что есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, интеграл формула (22) приобретает вид

, где (24)

В практике интегралов Стилтьеса наиболее важным является случай, когда функция непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива такая оценка интеграла Стилтьеса:

(25)

Где

.

Действительно, для суммы Стилтьеса будет

так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить требуемое неравенство.

Отсюда вытекает, в частности, и оценка близости суммы к самому интегралу Стилтьеса (при прежних предположениях относительно функций и ). Представив и в виде

и почленно вычитая эти равенства, получим

Если, как обычно, обозначить через колебание функции в промежутке , так что

для

то, применяя оценку (25) к каждому интегралу в отдельности, будем иметь

Если промежуток раздроблен на столь мелкие части, что все , где - произвольное наперед взятое число, то заключаем, что

(26)

Эти оценки будут нами использованы в следующем пункте.

2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса

Пусть функции непрерывны в промежутке и при равномерно стремятся к предельной функции

(очевидно, также непрерывной), а - функция с ограниченным изменением. Тогда

Доказательство: По заданному найдется такое , что при будет для всех

Тогда, в силу (25), для

что, ввиду произвольности , и доказывает теорему.

Пусть теперь функция непрерывна в промежутке , а функции - все с ограниченным изменением в этом промежутке. Если полные изменения этих функций в их совокупности ограничены:

и при стремятся к предельной функции

То

Доказательство:

Прежде всего, убедимся в том, что предельная функция сама также будет иметь ограниченное изменение. Разложив промежуток произвольным образом на части точками

будем иметь (при любом )

Переходя к пределу здесь при , получим

откуда и

Составим суммы Стилтьеса

Если предположить, что промежуток при этом разложен на столь мелкие части, что колебание функции в каждой из них будет уже меньше произвольного наперед взятого числа , то в силу оценки (26), при всех

(27)

С другой стороны, если разбиение, выбранное под указанным условием, фиксировать, то, очевидно, при , так что найдется такое , что для будет

. (28)

Тогда для тех же значений будем иметь, в силу (27) и (28),

откуда, ввиду произвольности , и следует требуемое заключение.

2.12. Примеры и дополнения

Предполагая функцию монотонно возрастающей в строгом смысле, можно доказать относительно числа , фигурирующего в формуле (24), более точное утверждение:

Действительно, обозначив через и наименьшее и наибольшее значения функции в промежутке и считая , легко найдем такую часть этого промежутка, в которой границами служат числа и , так что

Написав для промежутков и неравенства вида (23) интеграл складывая их с предыдущими, получим взамен (23) более точные неравенства:

так что число

Лежит строго между и ; а тогда найдем и строго между и , для которого и т.д.

Используя формулу (11) п., формулу интегрирования по частям и теорему о среднем для интегралов Стилтьеса, очень легко заново установить вторую теорему о среднем для обыкновенных интегралов.

Итак, пусть интегрируема (в смысле Римана), а монотонно возрастает в промежутке . Введем функцию

;

она, как мы знаем, будет непрерывна.

Теперь последовательно имеем

что и требовалось доказать.

Если монотонно возрастает в строгом смысле, то на основании сделанного в 1) замечания можно точнее сказать относительно :

Доказать, что, если в точке одна из функций и непрерывна, в то время как другая в окрестности этой точки ограничена, то существование интегралов и влечет за собой существование и .

С этой целью заметим, что, если при составлении стилтьесовой суммы мы будем включать точку в состав точек деления, то сумма будет слагаться из двух аналогичных сумм для частичных промежутков и ; при она будет стремиться к сумме интегралов . Пусть теперь точка не входит в число точек деления. Присоединяя к ним точку , мы от перейдем к новой сумме , про которую мы уже знаем, что при она имеет указанный предел. Таким образом, достаточно показать, что разность будет вместе с стремиться к 0.

Пусть точка попадает в промежуток ; тогда сумма отличается от суммы лишь тем, что вместо слагаемого

в ней имеется два слагаемых:

где и выбираются произвольно под условиями и . Положив для упрощения , сведем последнее выражение к

так что

(29)

Когда , то один из множителей правой части бесконечно мал, в то время как второй ограничен; следовательно, что и требовалось доказать.

Если обе функции и оказываются разрывными в одной интеграл той же точке , то интеграл Стилтьеса

(30)

заведомо не существует.

Для доказательства будем различать два случая. Пусть сначала , и пределы и не равны. Тогда при построении суммы Стилтьеса мы точку не станем вводить в число точек деления; пусть, скажем, Выбрав один раз , а другой раз взяв в качестве составим две суммы и , разность которых сведется к выражению (29). Сближая точки деления, будем иметь

Кроме того, точку можно выбрать так, чтобы разность была по абсолютной величине большей некоторого постоянного положительного числа. Тогда разность не стремится к 0, так что интеграл существовать не может.

Если же , но их общее значение отлично от ("устранимый разрыв"), то, наоборот, включим в число точек деления; пусть . Если имеет, например, разрыв в точке справа, то, как и только что, составим две суммы и , разнящиеся лишь выбором : для точка взята произвольно между и , а для в качестве взята . По-прежнему имеем (29), интеграл рассуждение завершается аналогично.

Упражнения 3) и 4) проливают свет на тот факт, о котором говорилось в конце п.4.

Пусть непрерывна, а имеет ограниченное изменение в промежутке .

Опираясь на оценку (25), доказать непрерывность интеграла Стилтьеса

по переменному верхнему пределу в точке , где функция непрерывна.

Заключение сразу вытекает из неравенства

если принять во внимание, что в точке должна быть непрерывна и вариация .

Если есть класс непрерывных в промежутке функций, а - класс функций с ограниченным изменением в этом промежутке, то, как известно, каждая функция одного класса, интегрируема по каждой функции другого класса. Доказать, что ни один, ни другой из этих классов не может быть расширен с сохранением упомянутого свойства.

Это, ввиду 4), почти очевидно относительно класса . Действительно, если функция имеет точку разрыва , то она заведомо не интегрируема, например, по функции с ограниченным изменением , имеющей ту же точку разрыва.

Пусть теперь в промежутке имеет бесконечное полное изменение; в этом предположении построим такую непрерывную функцию , для которой интеграл (30) не существует.

Если разделить промежуток пополам, то хоть в одной из половин полное изменение функции тоже будет бесконечно; разделим эту половину снова пополам интеграл т.д. По этому методу определится некоторая точка , в каждой окрестности которой не имеет ограниченного изменения. Для простоты пусть .

В таком случае легко построить последовательность возрастающих интеграл стремящихся к значений :

так, чтобы ряд

расходился. Для этого ряда затем можно подобрать такую последовательность стремящихся к 0 чисел , чтобы и ряд

(31)

все же расходился. Теперь определим функцию , полагая

Характеристики

Список файлов ВКР