85639 (589849), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Особенно заслуживает быть отмеченным тот не имеющий прецедентов факт, что из существования обоих интегралов и , вообще говоря, не вытекает существование интеграла .

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть пример. Пусть в промежутке функции и заданы следующими равенствами:

;

Легко видеть, что интегралы

оба существуют и равны 0, ибо соответствующие им суммы Стилтьеса все равны 0: для первого это следует из того, что всегда , для второго - из постоянства функции , благодаря чему всегда

В то же время интеграл

не существует. Действительно, разобьем промежуток на части так, чтобы точка 0 не попала в состав точек деления, и составим сумму

Если точка 0 попадет в промежуток , так что , то в сумме останется только одно -е слагаемое; остальные будут нули, потому что

для .

Итак,

В зависимости от того, будет ли или , окажется или , так что предела не имеет.

Указанное своеобразное обстоятельство связано с наличием разрывов в точке для обеих функций и .

2.5 Интегрирование по частям

Для интегралов Стилтьеса имеет место формула

(9)

в предположении, что существует один из этих интегралов; существование другого отсюда уже вытекает. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям. Докажем её.

Пусть существует интеграл . Разложив промежуток на части , выберем в этих частях произвольно по точке , так что

Сумму Стилтьеса для интеграла

можно представить в виде

Если прибавить и опять отнять справа выражение

то перепишется так:

Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла (существование которого предположено!). Она отвечает разбиению промежутка точками деления

если в качестве выбранных из промежутков точек взять , а для промежутков и , соответственно, и . Если, как обычно, положить , то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут . При сумма в квадратных скобках стремится к , следовательно, существует предел и для , т.е. интеграл , и этот интеграл определяется формулой (9).

Как следствие нашего рассуждения, особо отметим тот любопытный факт, что если функция в промежутке интегрируема по функции , то и функция интегрируема по функции .

Это замечание позволяет добавить ряд новых случаев существования интеграла Стилтьеса к тем, которые были рассмотрены в п.3, переменив роли функций и .

2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана

Пусть функция непрерывна в промежутке , а монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле. Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьеса с помощью подстановки непосредственно приводится к интегралу Римана.

На рисунке изображен график функции . Для тех значений , при которых функция испытывает скачок (ибо мы вовсе не предполагаем обязательно непрерывной), мы дополняем график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точки и . Так создается непрерывная линия, которая каждому значению между и относит одно определенное значение между и . Эта функция , очевидно, будет непрерывной и монотонно возрастающей в широком смысле; её можно рассматривать как своего рода обратную для функции .

Именно, если ограничиться лишь теми значениями , которые функция действительно принимает при изменении от до , то является обратной для неё в обычном смысле, т.е. относит именно то значение , при котором . Но из промежутка значений

связанного со скачком функции , лишь одно значение имеет себе соответствующее значение ; другим значениям в упомянутом промежутке никакие значения , очевидно, не отвечают. Но мы условно относим и им то же значение ; геометрически это и выразилось в дополнении графика функции рядом вертикальных отрезков.

Докажем теперь, что

(10)

где последний интеграл берется в обычном смысле, его существование обеспечено, так как функция , а с нею и сложная функция , непрерывна.

С этой целью разложим промежуток на части с помощью точек деления

и составим стилтьесову сумму

.

Если положить , то будем иметь

Так как , то

.

Это выражение имеет вид римановой суммы для интеграла

Отсюда, однако, нельзя ещё непосредственно заключить, переходя к оператору, о равенстве (10), ибо даже при может оказаться, что к нулю не стремится, если, например, между безгранично сближающимися и будет заключено значение , где функция испытывает скачок. Поэтому мы будем рассуждать иначе.

Имеем

и

так что

Предположим теперь настолько малыми, чтобы колебания функции во всех промежутках были меньше произвольного наперед заданного числа . Так как

при , очевидно,

то одновременно и

В таком случае

.

Этим доказано, что

откуда и следует (10).

Несмотря на принципиальную важность полученного результата, он не дает практически удобного средства для вычисления интеграла Стилтьеса. Как осуществлять вычисление в некоторых простейших случаях, мы покажем в следующем пункте.

2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса

Докажем следующую теорему:

Если функция интегрируема в смысле Римана в промежутке , а представлена интегралом

где функция абсолютно интегрируема в , то

(11)

Интеграл справа существует. Существование интеграла Стилтьеса при сделанных предположениях уже было доказано (п.3,3).

Остается лишь установить равенство (11).

Без умаления общности можно предположить функцию положительной.

Составим, как обычно, сумму Стилтьеса

Так как, с другой стороны, можно написать

то будем иметь

Очевидно, для будет , где означает колебание функции в промежутке . Отсюда вытекает такая оценка написанной выше разности:

Но мы уже знаем (п.3,3), что при последняя сумма стремится к 0, следовательно,

что и доказывает формулу (11).

В частности, из доказанной теоремы вытекает (если учесть замечание в п.3) такое следствие, удобное для непосредственного применения на практике:

2. При прежних предположениях относительно функции допустим, что функция непрерывна во всем промежутке и имеет в нем, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая в абсолютно интегрируема. Тогда

(12)

Интересно отметить, что интеграл справа в формуле (12) формально получается из интеграла слева, если, понимая символ буквально как дифференциал, заменит его выражением .

Обращаясь к случаям, когда функция оказывается разрывной (что для практики, как увидим, представляет особый интерес), начнем с рассмотрения "стандартной" разрывной функции , определяемой равенствами

Она имеет разрыв первого рода - скачок - в точке справа, причем величина скачка равна 1; в точке слева и в остальных точках функция непрерывна. Функция будет иметь такой же разрыв в точке справа; наоборот, будет иметь подобный разрыв в точке слева, причем величина скачка будет равна - 1.

Предположим, что функция непрерывна в точке , и вычислим интеграл где (при этот интеграл равен нулю).

Составим сумму Стилтьеса:

Пусть точка попадет, скажем, в -й промежуток, так что . Тогда , а при , очевидно, . Таким образом, вся сумма сводится к одному слагаемому: Пусть теперь . По непрерывности . Следовательно, существует (при )

(13)

Аналогично можно убедиться в том, что (при )

(14)

(при этот интеграл обращается в нуль).

Теперь мы в состоянии доказать теорему, в некотором смысле более общую, чем 2, а именно, отказаться от требования непрерывности функции:

Пусть функция в промежутке непрерывна, а имеет в этом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая абсолютно интегрируема в . При этом пусть функция в конечном числе точек

терпит разрыв первого рода. Тогда существует интеграл Стилтьеса и выражается формулой

(15)

Характерно здесь наличие внеинтегральной суммы, где фигурируют скачки функции в точках или - односторонние.

Для упрощения записи введем обозначения для скачков функции справа и слева:

очевидно, для

Составим вспомогательную функцию:

которая как бы вбирает в себя все разрывы функции , так что разность , как мы сейчас установим, оказывается уже непрерывной.

Для значений , отличных от всех , непрерывность функции не вызывает сомнений, ибо для этих значений непрерывны обе функции и . Докажем теперь непрерывность в точке справа. Все слагаемые суммы , кроме члена , непрерывны при справа; поэтому достаточно изучить поведение выражения . При оно имеет значение ; но таков же и его предел при :

Аналогично проверяется и непрерывность функции в точке слева.

Далее, если взять точку (отличную от всех ), в которой функция имеет производную, то вблизи этой точки сохраняет постоянное значение, следовательно, в ней и функция имеет производную, причем

Характеристики

Список файлов ВКР