85639 (589849), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

.

Для непрерывной функции , по предыдущей теореме, существует интеграл Стилтьеса

Точно так же легко вычислить и интеграл

Складывая почленно эти два равенства, мы и придем к равенству (15); существование интеграла Стилтьеса от по функции устанавливается попутно (п.4,3).

2.8 Примеры

Вычислить по формуле (11) интегралы:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Вычислить по формуле (15) интегралы:

а) где

б) где

Решение:

а) Функция имеет скачок 1 при и скачок - 2 при ; в остальных точках . Поэтому

б) Скачок 1 при и - 2 при (значение функции при не влияет на результат); в прочих точках .

Имеем:

Вычислить по формуле (15) интегралы:

а) б) в)

где

Решение:

Функция имеет скачки, равные 1, при и . Производная

Поэтому

а)

Аналогично,

б)

в)

Предположим, что вдоль отрезка оси расположены массы, как сосредоточенные в отдельных точках, так интеграл распределенные непрерывно. Не делая различия между ними, обозначим для через сумму всех масс, расположенных в промежутке ; сверх того, положим, . Очевидно, - монотонно возрастающая функция. Поставим себе задачей найти статический момент этих масс относительно начала координат.

Разобьем промежуток на части точками

На отрезке при содержится, очевидно, масса . Точно так же на отрезке содержится масса . Считая массу во всех случаях сосредоточенной, например, на правом конце промежутка, получим для искомого статического момента приближенной выражение

.

При стремлении к 0 всех , в пределе придем к точному результату:

. (16)

Можно было бы здесь сначала установить "элементарный" статический момент , отвечающий отрезку оси от до , а затем "просуммировать" эти элементы.

Аналогично для момента инерции тех же масс относительно начал найдем формулу

(17)

Важно подчеркнуть, что интеграл Стилтьеса дал возможность объединить одной интегральной формулой разнородные случаи непрерывно распределенных интеграл сосредоточенных масс!

Пусть непрерывно распределенные массы имеют линейную плотность ; кроме них пусть в точках расположены сосредоточенные массы . Тогда, исключая эти точки, функция имеет производную

В каждой же точке функция испытывает скачок, равный именно массе , в этой точке сосредоточенной.

Если теперь разложить интеграл (16) по формуле (15), то получим

Всмотревшись в правую часть, легко в первом члене узнать статический момент непрерывно распределенных масс, а во втором - статический момент сосредоточенных масс. Аналогичный результат получится интеграл для интеграла (17).

а) Составить выражение и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке .

Решение:

В промежутке имеем:

б) То же самое - для такого распределения: массы величины 2 при и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью в промежутке .

Решение:

В промежутке имеем

в) выяснить распределение масс, если равна функции задачи 3).

Решение:

Массы величины 1 в точках и 0, в промежутке непрерывно распределенные массы с плотностью 1, в промежутке - массы с плотностью .

6. Рассмотрим другой вопрос, в котором интеграл Стилтьеса играет такую же роль, как интеграл в упражнении 4). Предположим, что на балку (рис) покоящуюся на двух опорах, кроме непрерывно распределенной нагрузки действуют и сосредоточенные силы. Расположим ось вдоль по оси балки, а ось вертикально вниз (см. рис) Не делая различий между действующими силами, обозначим для через сумму всех сил, приложенных на отрезке балки, включая интеграл реакции опор; далее, пусть . Силу называют перерезывающим усилием в сечении балки. При этом силы, направленные вниз, будем считать положительными, а вверх - отрицательными.

Поставим задачей определить так называемый изгибающий момент в произвольном сечении балки. Под этим разумеют сумму моментов всех сил, действующих на правую (или на левую) часть балки, относительно этого сечения. При этом, когда речь идет о правой части балки, момент считают положительным, если он вращает эту часть по часовой стрелке (для левой части - обратное правило).

Так как на элементе , скажем, правой части балки приложена сила , создающая элементарный момент

то, "суммируя" получим

Аналогично, исходя из левой части балки, можно было бы получить (учитывая изменение положительного направления для отсчета моментов)

(18)

Легко непосредственно усмотреть, что оба выражения изгибающего момента в действительности тождественны. Их равенство равносильно условию

которое является следствием из условий равновесия

выражающих равенство нулю суммы всех сил интеграл суммы моментов (относительно начала) всех сил, действующих на балку.

Если интенсивность непрерывно распределенной нагрузки обозначить через , то, исключая точки, где приложены сосредоточенные силы, будет

Пусть сосредоточенные силы приложены в точках . Тогда, очевидно, перерезывающее усилие именно в этих точках имеет скачки, соответственные равные . Далее, применяя, например, к интегралу (18) формулу (15), получим

.

В двух слагаемых правой части легко узнать моменты, порожденные порознь непрерывной нагрузкой интеграл сосредоточенными силами: интеграл Стилтьеса охватывает их единой интегральной формулой.

Установим ещё один факт, интересный для теории сопротивления материалов. Произведя в формуле (18) интегрирование по частям, получим

Отсюда ясно, что всюду, за исключением точек приложения сосредоточенных сил, имеет место равенство

Пусть балка длины несет "треугольную" нагрузку с интенсивностью ; кроме того, пусть к ней приложены сосредоточенная сила, равная 3, в точке , интеграл реакции опор, обе равные - 3 (они устанавливаются по закону рычага). Определить перерезывающее усилие интеграл изгибающий момент .

Решение:

Формула (15) может оказаться полезной интеграл для вычисления обычных интегралов (в смысле Римана). Проиллюстрируем это на следующем примере.

Пусть - "кусочно-полиномиальная" функция в промежутке ; это означает, что промежуток разлагается на конечное число частей точками

так, что в каждой из частей функция представляется полиномом не выше -й степени. Заменив значения функции и всех её производных в точках и нулями, обозначим через величину скачка -й производной в -й точке .

Пусть, далее, - любая непрерывная функция; положим

и, вообще,

Тогда имеет место следующая формула:

Действительно, последовательно находим

двойная подстановка исчезает, а интеграл

Аналогично

и т.д.

Установим в заключение, с помощью формулы (11) одно полезное обобщение формулы интегрирования по частям для обыкновенных интегралов. Именно, если и обе абсолютно интегрируемы в промежутке , а и определяются интегральными формулами:

то справедлива формула

(19)

Для доказательства, по формуле (11) заменим интеграл слева интегралом Стилтьеса интеграл проинтегрируем по частям (п.5):

Остается ещё раз применить формулу (11) к последнему интегралу, чтобы прийти к (19).

Здесь функции и играют как бы роль производных от функций , не будучи ими на деле. При непрерывности функций и мы возвращаемся к обычной формуле интегрирования по частям, ибо тогда, наверное

Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса

Рассмотрим интеграл

(20)

предполагая функцию непрерывной интеграл положительной, а - лишь монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция может иметь и разрывы (скачки).

Система параметрических уравнений

(21)

выражает некоторую кривую , вообще говоря, разрывную (рис). Если при некотором функция испытывает скачок, так что , то этим предельным значениям отвечает одно интеграл то же предельное значение , равное . Дополним кривую всеми горизонтальными отрезками, соединяющими пары точек

и

отвечающие всем скачкам функции (см. рис). Таким образом, составится уже непрерывная кривая . Покажем, что интеграл (20) представляет площадь фигуры под этой кривой, точнее, площадь фигуры, ограниченной кривой , осью и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам и .

С этой целью разложим промежуток на части точками

и в соответствии с этим промежуток на оси - на части точками

Введя наименьшее и наибольшее значения и функции в -м промежутке , составим нижнюю интеграл верхнюю суммы Стилтьеса-Дарбу

Легко видеть теперь, что они представляют площади фигур, составленных из входящих интеграл из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.

Характеристики

Список файлов ВКР