Заметка о построении нормальных форм (564396)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ1. Привести систему к нормальной форме и получить разложение решения вряд по начальным условиям до квадратных членов включительно xɺ1 = − x1 + x12 + 4 x1 x22 xɺ2 = −2 x2 − 2 x1 x2 + 2 x2(0)Линейная часть уже приведена к нормальной форме. Корни характеристического уравнения λ1 = −1, λ2 = −2 . Ищем резонансные слагаемые в квадратичныхчленах:для 1-го уравнения: −1 = −k1 − 2k2для 2-го уравнения: −2 = −k1 − 2k2где k j - показатель x j . Легко видеть, что резонансных членов у нас нет.Следовательно,потеоремеПуанкаресуществуетединственноенормализирующее преобразование x ֏ z , переводящее исходную систему всистему zɺ1 = − z1 zɺ2 = −2 z2(1)Ищем это преобразование, ограничиваясь квадратичной частью x1 = y1 + a20 y12 + a11 y1 y22 x2 = y2 + b11 y1 y2 + b02 y2(квадратичная часть преобразования соответствуетсистемы).

Обратное преобразование имеет видквадратичнойчасти2 y1 = x1 − a20 x1 − a11 x1 x2 + ...2 y2 = x2 − b11 x1 x2 − b02 x2 + ...Здесь многоточие – совокупность слагаемых не ниже третьего порядкаотносительно x j . Дифференцируем:yɺ1 = xɺ1 − 2a20 x1 xɺ1 − a11 xɺ1 x2 − a11 x1 xɺ2 + ... == − x1 + x12 + 4 x1 x2 + 2a20 x12 + a11 x1 x2 + 2a11 x1 x2 + ... == − y1 − 2a20 y12 − a11 y1 y2 + y12 + 4 y1 y2 + 2a20 y12 + a11 y1 y2 + 2a11 y1 y2 + ... == − y1 − 2a20 y12 − − y1 + (a20 + 1) y12 + (2a11 + 4) y1 y2 + ...

= − y1 + ... ,если положить a20 = −1, a11 = −2 . Аналогичную процедуру проделываем для y2 :yɺ 2 = xɺ2 − b11 x2 xɺ1 − b11 x1 xɺ2 − 2b02 x2 xɺ2 + ... == −2 x2 − 2 x1 x2 + 2 x22 + b11 x1 x2 + 2b11 x1 x2 + 4b02 x22 + ... =1= −2 y2 − 2b11 y1 y2 − 2b02 y22 − 2 y1 y2 + 2 y22 + b11 y1 y2 + 2b11 y1 y2 + 4b02 y22 ... == −2 y2 − 2b11 y1 y2 − 2 y2 + (b11 − 2) y1 y2 + (2b02 + 2) y22 + ... = −2 y2 + ...при b02 = −1, b11 = 2 .Продолжая нормализацию дальше, можно последовательно уничтожитьчлены третьей, четвертой и т.д. степеней и получить нормальную форму (1).Интегрируя нормальную форму, получим z1 = z10e −t , z2 = z20e− t , где z j 0 -начальные условия, которые переходят посредством нормализирующегопреобразования в начальные условия исходной системы: x10 = z10 − z102 − 2 z10 z20 + ...2 x20 = z20 + 2 z10 z20 − z20Обращая эти условия, получим z10 = x10 + x102 + 2 x10 x20 + ...2 z20 = x20 − 2 x10 x20 + x20 + ...2.

Привести к нормальной формеxɺ1 = x2 , xɺ2 = − x1 − 8 x13(2)Сначала нормализуем линейную часть xɺ1 = x2 , xɺ2 = − x1 . С помощью замены1i( y1 + y2 ) , x2 = ( y1 − y2 )22система (2) преобразуется к видуx1 = yɺ1 = xɺ1 − ixɺ2 = x2 + i ( x1 + 8 x13 ) = iy1 + i ( y1 + y2 )33 yɺ 2 = −iy2 − i ( y1 + y2 )Обратная замена имеет видy1 = x1 − ix2 , y2 = x1 + ix2(3)Слагаемое 3y12 y2 в правой части первого уравнения является резонансным:i = 2i + (−1)i .

Аналогично для второго уравнения резонансным будет слагаемое−3iy1 y22 . Нормальная форма имеет вид2 zɺ1 = iz1 + 3iz1 z2 + ...2 zɺ2 = −iz2 − 3iz1 z2 + ...2Напомню, что резонансные члены нельзя подавить с помощью нормализации,и, более того, переход от одного нормализирующего преобразования к другомуоставляет нормальную форму без изменений.Ищем нормализирующее преобразование в виде3223 y1 = z1 + h30 z1 + h21 z1 z2 + h12 z1 z2 + h03 z23223 y2 = z2 + h30 z2 + h21 z2 z1 + h12 z1 z2 + h03 z1Такой вид нормализирующего преобразования продиктован обратной заменой(3) (из неё следует, что y1 = y2 , а значит и z1 = z2 ).

Обратное преобразование3223 z1 = y1 − h30 y1 − h21 y1 y2 − h12 y1 y2 − h03 y2 + ...3223 z2 = y2 − h30 y2 − h21 y2 y1 − h12 y1 y2 − h03 y1 + ...Дифференцируем:zɺ1 = y1 − 3h30 y12 yɺ1 − 2h21 y1 y2 yɺ1 − h21 y12 yɺ 2 − h12 yɺ1 y22 − 2h12 y1 y2 yɺ 2 − 3h03 y22 yɺ 2 − 3h03 y22 yɺ 2 + ...

== iy1 + i ( y13 + 3 y12 y2 + 3 y1 y22 + y23 ) − 3h30 y12 ⋅ iy1 − 2h21 y1 y2 ⋅ iy1 + h21 y12 ⋅ iy2 −−h12 y22 ⋅ iy1 + 2h12 y1 y2 ⋅ iy2 + 3h03 y22 ⋅ iy2 + .. == i ( z1 + h30 z13 + h21 z12 z2 + h12 z1 z22 + h03 z23 ) + i ( z13 + 3 z12 z2 + 3 z1 z22 + z23 ) −−3ih30 z13 − 2ih21 z12 z2 + ih21 z12 z2 + ih12 z1 z22 + 2h12iz1 z22 + 3ih03 z22 + ... == iz1 + (1 + 2h30 ) z13 + 3 z12 z2 + ( 3 + 2h12 ) z1 z22 + (1 − 2h03 ) z23 + ...131Положим h30 = , h12 = − , h03 = , тогда все нерезонансные слагаемые пропадут.222Коэффициент при резонансном слагаемом можно выбрать любым, напримерh21 = 0 . Таким образом1 3 3 2 1 3 y1 = z1 + 2 z1 − 2 z1 z2 + 2 z2 y = z + 1 z3 − 3 z2 z + 1 z3211 22 2222Тогда x1 = Re y1 , x2 = − Im y1 .

Легко проверить, что zɺ1 z2 + z1 zɺ2 = 0 (в нормальнойформе),т.е.2z = const .Тогда,zɺ1 = iz1 (1 + 3r + ...) = iz1 ⋅ ω (r ) .Интегрируяiωtнормальную форму, находим z1 = z0e , z0 = r . Можно подставить это решениеи найти x1 и x2 с точностью до членов третьего порядка включительно.3.

Рассмотрим систему3zɺ 1 = iω1z1 + ∑ a1υ zυυ = 2,3υ υzɺ 2 = iω2 z 2 + ∑ a2 zυ = 2,3ɺυ υ z1 = −iω1 z1 + ∑ a1 zυ = 2,3 zɺ = −iω z +a2υ z υ∑22 2υ = 2,3(1)TЗдесь z = ( z1 , z 2 , z1 , z2 ) , коэффициенты aυj комплексные, υ ∈ Z 4 (мультииндекс),ω j > 0 . Последние два уравнения можно короче переписать в виде zɺ1 = zɺ1 ,zɺ 2 = zɺ 2 , соответственно. Система (1) рассматривается намногообразии z1 = z 3 , z2 = z 4 размерности 4 в пространстве ℂ 4 .ℝ -линейномЛинейная часть системы (1) уже находится в нормальной форме, поэтомунормализуем квадратичную часть с помощью преобразованияz j = w j + ∑ g υj wυ , j = 1, 2|υ | = 2Коэффициенты g υj подлежат определению.

Обратное преобразование имеетвид:w j = z j − ∑ g υj zυ + ...|υ | = 2Дифференцируем:wɺ j = iω j z j + ∑ aυj zυ − ∑ i ω1 (υ1 − υ3 ) + ω2 (υ2 − υ4 ) g υj zυ ... =|υ | = 2|υ | = 2iω j w j + − ∑  aυj − i (ω1 (υ1 − υ3 ) + ω2 (υ2 − υ4 ) ) g υj wυ + ...|υ | = 2Резонансное соотношение имеет видω1 (υ1 − υ3 ) + ω2 (υ2 − υ4 ) = ω jВ квадратичной части системы возможны следующие резонансы:1) ω2 = 2ω1 , резонансные слагаемые: z12 (во 2-м уравнении), z 2 z1 (в 1-муравнении)2) ω1 = 2ω2 , резонансные слагаемые: z 22 (в 1-м уравнении), z2 z1 (во 2-муравнении)Нерезонансные коэффициенты g υj выражаются через aυj посредством формулы4−iaυjυgj =ω1 (υ1 − υ3 ) + ω1 (υ1 − υ3 ) − ω1Резонансные коэффициенты нормализирующего преобразования полагаемравными нулю.Продолжаем нормализацию. Рассмотрим преобразованиеz j = w j + ∑ g υj wυ + ∑ hυj wυ , j = 1,2|υ | = 2|υ | =3где коэффициенты g υj мы уже определили.

Обратное преобразование имеет видw j = z j − ∑ g υj wυ − ∑ hυj wυ + ... = z j − ∑ g υj zυ + ∑ ( gɶ υj − hυj ) zυ + ...|υ | = 2|υ | = 2|υ | =3|υ | =3Коэффициенты gɶ υj определённым образом выражаются через g KH , гдемультииндекс υ получается из мультииндекса µ добавлением 1 к однойкоординате. Теперь дифференцируем:dzυwɺ j = iω j z j + ∑ a j z + ∑ a j z − ∑ g j+dt|υ | = 2|υ | =3|υ | =3υ υυ υυ+ ∑ i ω1 (υ1 − υ3 ) + ω2 (υ2 − υ4 )  ( gɶ υj − hυj ) zυ + ...|υ | =3dzυНадо разобраться с, имеемdtdzυ= i ω1 (υ1 − υ3 ) + ω2 (υ2 − υ4 )  zυjdt//////////В кубической части системы возможны следующие резонансы:а) 3ω1 = ω2 , резонансные слагаемые: z 32 , z 2 z12 (в 1-м уравнении).б) ω1 = 3ω2 , резонансные слагаемые: z13 , z1 z22 (в 2-м уравнении).в) ω1 = ω2 , резонансные слагаемые: z 22 z1 , z 22 z2 , z1z 2 z1 (в 1-муравнении).

z12 z1 , z12 z2 , z 22 z1 , z1z 2 z2 (во 2-м уравнении).Нельзя уничтожить следующие члены:В 1-м уравнении: z12 z1 , z1z 2 z2 .5Во 2-м уравнении: z 22 z2 , z1z 2 z1 .//////////ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БИРКГОФА1. Привести гамильтониан к нормальной форме:H=1 2p + q 2 ) − q3 − q 4(2( q - координата, p - импульс). Ищем унивалентное близкое к тождественномуканоническое преобразование q, p ֏ Q, P с производящей функцией S ( q, P ) ,задаваемое при помощи соотношенийp=∂S∂S, Q=∂q∂P(2.1)причём S = qP + Sɶ ( q, P ) , Sɶ ( q, P ) = S (3) + S (4) + ... ( S ( k ) - форма k-го порядкаотносительно q и P).Проблема в том, что соотношение (2.1) неявное и для нормализациитребуется разрешить q и p через Q и P.Уничтожим сначала члены третьего порядка в гамильтониане.

ПустьS (3) = α1q 3 + α 2 q 2 P + α 3qP 2 + α 4 P 3тогдаp = P + 3α1q 2 + 2α 2 qP + α 3 P 2Q = q + α 2 q 2 + 2α 3qP + 3α 4 P 2Разрешая относительно q и p, имеемp = P + 3α1Q 2 + 2α 2QP + α 3 P 2 + ...q = Q − α 2Q 2 − 2α 3QP − 3α 4 P 2 + ...Подставляем в H, удерживая члены до третьего порядка включительно:1 2P + Q 2 ) + 3α1Q 2 P + 2α 2QP 2 + α 3 P 3 −(2−α 2Q 3 − 2α 3Q 2 P − 3α 4QP 2 − Q 3 + ... =H=61 2P + Q 2 ) + ( −α 2 − 1) Q 3 + ( 3α1 − 2α 3 ) Q 2 P +(2+ ( 2α 2 − 3α 4 ) QP 2 + α 3 P 3 + ...=2Члены третьей степени пропадают, если взять α 2 = −1 , α 4 = − , α1 = α 3 = 0 .32Значит S (3) = − q 2 P − P 3 .3Теперь нормализуем члены четвёртого порядка в гамильтониане.

ПоложимS (4) = β1q 4 + β 2 q 3 P + β3q 2 P 2 + β 4 qP 3 + β5 P 4Тогдаp = P − 2qP + 4 β1q 3 + 3β 2 q 2 P + 2 β3qP 2 + β 4 P 3Q = q − q 2 − 2 P 2 + β 2 q 3 + 2 β3q 2 P + 3β 4 qP 2 + 4 β5 P 3Разрешим относительно q,p и удержим члены не выше третьего порядка:q = Q + q 2 + 2 P 2 − β 2 q 3 − 2 β 3q 2 P − 3β 4 qP 2 − 4 β5 P 3 =2Q + ( Q + q 2 + 2 P 2 + ...) + 2 P 2 − β 2Q 3 − 2 β 3Q 2 P − 3β 4QP 2 − 4 β 5 P 3 + ... =Q + Q 2 + 2Q 3 + 4QP 2 + 2 P 2 − β 2Q 3 − 2 β 3Q 2 P − 3β 4QP 2 − 4 β5 P 3 + ... =Q + Q 2 + 2 P 2 + ( 2 − β 2 ) Q 3 − 2 β 3Q 2 P + ( 4 − 3β 4 ) QP 2 − 4 β 5 P 3 + ...p = P − 2 P ( Q + Q 2 + 2 P 2 + ...) + 4 β1Q 3 + 3β 2Q 2 P + 2 β3QP 2 + β 4 P 3 + ... =P − 2QP + 4 β1Q 3 + ( 3β 2 − 2 ) Q 2 P + 2 β3QP 2 + ( β 4 − 4 ) P 3 + ... =Подставляем в H и удерживаем члены до четвёртого порядка включительно:1H =  P 2 + 4Q 2 P 2 − 4QP 2 + 8β1Q 3 P + 2 ( 3β 2 − 2 ) Q 2 P 2 + 4 β 3QP 3 + 2 ( β 4 − 4 ) P 4  +21+ Q 2 + Q 4 + 4 P 4 + 2Q 3 + 4QP 2 + 4Q 2 P 2 + 2 ( 2 − β 2 ) Q 4 − 4 β3Q 3 P +2+2 ( 4 − 3β 4 ) Q 2 P 2 − 8β 5QP 3  − Q 3 + 3Q 2 ( Q 2 + 2 P 2 )  − Q 4 + ...

==1 2P + Q 2 ) + слагаемые 4й степени + ...(2Выпишем коэффициенты формы четвёртого порядка в гамильтониане:Q4 : −3− β22Q 3 P : 4 β1 − 2 β37Q 2 P 2 : 3β 2 − 3β 4QP 3 :2 β 3 − 4 β5P4 : β4 − 2Из теории метода Биркгофа известно, что нормализованный гамильтониандолжен иметь вид21 21P + Q 2 ) + c ( P 2 + Q 2 ) + ...(24где с подлежит определению. Отсюда запишем систему для определениякоэффициентов нормализирующего преобразования:H=−31− β2 = c244 β1 − 2 β3 = 013β 2 − 3β 4 = c22β3 − 4β 5 = 014Решая эту систему, находим, чтоβ4 − 2 = cc=−213 13111, β1 = β3 = β 5 = 0, β 2 = − − c = − , β 4 = 2 + c =42 416416Таким образом,3 311q P + qP 316162121H = ( P2 + Q2 ) − ( P2 + Q2 )216S (4) = −Сделаем ещё унивалентное каноническое преобразование по формуламQ = 2r sin ϕ , P = 2r cos ϕ( ϕ , r - координата и импульс, соответственно).

ТогдаH = r + cr 2 + ... = r −21 2r + ...421В укороченной системе с гамильтонианом Hɶ = r − r 24циклическая.координата ϕ8q = 2r0 sin (ϕɺ0t + ϕ0 ) + Ο ( r0 )p = 2r0 cos (ϕɺ0t + ϕ0 ) + Ο ( r0 )dϕ ∂H21== 1 − r0 , ( r0 ,ϕ0 ) -начальные условия. На рис. 1 изображеныdt∂r2траектории укороченной системы с гамильтонианом Hɶ ( Q, P ) и приближённыетраектории исходной системы, вычисленные с помощью нормализирующегопреобразования.где ϕɺ0 =//////////2. Нормализовать систему с гамильтонианом1H = ω ( p 2 + q 2 ) + ε  q 2 + ( sin t ) qp + 2 ( cos t ) p 2 2Параметр εпредполагается малым, невозмущённый гамильтониансоответствует линейному осциллятору. Возмущения в системе, как можновидеть, малые и 2π -периодические.Перейдём к квазиполярным координатам (ϕ ,r ) при помощи унивалентногоканонического преобразованияq = 2r sin ϕ , p = 2r cos ϕ( ϕ - новая координата, p - новый импульс):H new = ω r + ε r ( 2sin 2 ϕ + sin t ⋅ 2sin ϕ cos ϕ + 2cos t ⋅ 2cos 2 ϕ ) =ω r + ε r 1 + 2cos t − cos 2ϕ +1( cos ( 2ϕ − t ) − cos ( 2ϕ + t ) ) + cos ( 2ϕ − t )231+ cos ( 2ϕ + t )  = ω r + ε r 1 + 2cos t − cos 2ϕ + cos ( 2ϕ − t ) + cos ( 2ϕ + t ) 22В квадратных скобках находится двойной ряд Фурье с конечным числомслагаемых.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы