Заметка о построении нормальных форм (564396), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рассмотрим производящую функцию видаS (ϕ , R , t ) = ϕ + ε∂S1∂Rи свободную каноническую замену9∂S∂S= R +ε 1∂ϕ∂ϕ∂S∂SΦ==ϕ +ε 1∂R∂Rr=причём S1 = RS 2 (ϕ , t ) , а S2 (ϕ , t ) (функция на двумерном торе T2 ) принадлежитподпространству в L 2 ( T2 ) , построенному на гармониках из гамильтониана.Т.е. мы полагаемS2 = a1 cos t + a2 sin t + b1 cos 2ϕ + b2 sin 2ϕ + c1 cos ( 2ϕ − t ) + c2 sin ( 2ϕ − t ) ++ d1 cos ( 2ϕ + t ) + d 2 sin ( 2ϕ + t )Искомая замена имеет видr = R + ε R  −2b1 sin ( 2ϕ ) + 2b2 cos ( 2ϕ ) − 2c1 sin ( 2ϕ − t ) + 2c2 cos ( 2ϕ − t ) −−2d1 sin ( 2ϕ + t ) + 2d 2 cos ( 2ϕ + t ) Φ = ϕ + ε  a1 cos t + a2 sin t + b1 cos 2ϕ + b2 sin 2ϕ + c1 cos ( 2ϕ − t ) + c2 sin ( 2ϕ − t ) ++ d1 cos ( 2ϕ + t ) + d 2 sin ( 2ϕ + t ) Разрешая относительно ( r ,ϕ ) имеем:r = R + ε R  −2b1 sin ( 2Φ ) + 2b2 cos ( 2Φ ) − 2c1 sin ( 2Φ − t ) + 2c2 cos ( 2Φ − t ) −−2d1 sin ( 2Φ + t ) + 2d 2 cos ( 2Φ + t )  + ο ( ε 2 )ϕ = Φ − ε  a1 cos t + a2 sin t + b1 cos 2Φ + b2 sin 2Φ + c1 cos ( 2Φ − t ) + c2 sin ( 2Φ − t ) ++ d1 cos ( 2Φ + t ) + d 2 sin ( 2Φ + t )  + ο ( ε 2 )Преобразованный гамильтониан принимает вид:H = ω R + εω R  −2b1 sin ( 2Φ ) + 2b2 cos ( 2Φ ) − 2c1 sin ( 2Φ − t ) + 2c2 cos ( 2Φ − t ) −3−2d1 sin ( 2Φ + t ) + 2d 2 cos ( 2Φ + t )  + ε R 1 + 2cos t − cos 2Φ + cos ( 2Φ − t ) +21+ cos ( 2Φ − t )  + ε R  −a1 sin t + a2 cos t + c1 sin ( 2Φ − t ) − c2 cos ( 2Φ − t ) −210−d1 sin ( 2Φ + t ) + d 2 cos ( 2Φ + t )  + ο ( ε 2 ) == (ω + ε ) R + ε R {−2b1ω sin 2Φ + ( 2b2ω − 1) cos 2Φ + ( −2c1ω + c1 ) sin ( 2Φ − t ) +3+  2c2ω + − c2  cos ( 2Φ − t ) + ( −2d1ω − d1 ) sin ( 2Φ + t ) +21+  2d 2ω + + d 2  cos ( 2Φ + t ) + ( 2 + a2 ) cos t − a1 sin t  + ο ( ε 2 )2Полагаемb1 = 0, b2 =131, d1 = 0, d 2 = −, a2 = −2, a1 = 0, c1 = 0, c2 = −2ω2 ( 2ω − 1)2 ( 2ω − 1)12Т.к.

ω > 0 , то эти формулы справедливы для всех значений ω , кроме ω =1, то часть ε R {...} уничтожается и2нормализованный гамильтониан будет H = (ω + ε ) R + ο ( ε 2 ) . Частота ω(резонансный случай). Если ω ≠невозмущённой системы получила поправку порядка ε . Производящаяфункция:131S = ϕ R + ε R  −2sin t +sin 2ϕ −sin ( 2ϕ − t ) −sin ( 2ϕ + t ) 2ω2 ( 2ω − 1)2 ( 2ω − 1)1.

Это так называемый случай параметрического резонанса:2удвоенная частота собственных малых колебаний невозмущённой системыравна частоте периодических по времени возмущений, 2ω = 1. В этом случае3коэффициент при cos ( 2Φ − t ) остаётся равнымпри любом c2 . Можно взять,2например, c2 = 0 . Нормализованный гамильтониан в случае параметрическогорезонанса имеет видПусть теперь ω =31H =  + ε  R + ε R cos ( 2Φ − t ) + ο ( ε 2 ) ,22а производящая функция –1S = ϕ R + ε R  −2sin t + sin 2ϕ − sin ( 2ϕ + t ) 411tСделаем ещё унивалентную каноническую замену Φ, R → Ψ , R , где Φ = Ψ + .2Тогда получим:3131Η =  + ε  R + ε R cos 2ψ − R + ο ( ε 2 ) = ε R + ε R cos 2ψ + ο ( ε 2 )22223Укороченная система с гамильтонианом Η укор = ε R + cos 2ψ интегрируется.212.

Характеристики

Список файлов учебной работы