Лекции Леонов В.А. (часть 2) (564337), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

= . (4.20)

2. Если существует предел функции , то

. (4.21)

Лекция 8. 4.1.3. Исследование управляемого движения с помощью передаточных функций

При выполнении летной операции управляющие воздействия формируются в соответствии с заданной программой полета. Результат управления зависит от реакции ВС на управляющие воздействия. Обычно для оценки управляемости различных ВС принято рассматривать их реакцию на скачкообразное (ступенчатое) или гармоническое отклонение органов управления. При ступенчатом отклонении изучаются переходные или временные характеристики (функции) ВС, а при гармоническом – частотные характеристики (функции). Частотными характеристиками системы (звена), называют зависимость отношения амплитуд выходной величины к входной и сдвига по фазе выходной величины по отношению к входной от частоты входного воздействия.

Передаточной функцией называют отношение изображений выходной величины к входной при нулевых начальных условиях:

. (4.22)

Здесь Y(p) u X(p)- соответственно изображение по Лапласу выходной и входной величины.

Для изучения реакции ВС в частотной области на вход подается гармоническое воздействие (сигнал) Δu(t)=A₁ sin( t) для следующей системы уравнений

. (4.23)

Здесь предполагается, что имеется отклонение от программного управления и решение (4.23) состоит из «собственной» и «вынужденной» составляющих решений. Собственная составляющая, зависящая от начальных условий Δy(t₀), как решение уравнения для устойчивых систем затухает с течением времени. Вынужденная составляющая, определяемая как частное решение (4.23), будет в силу линейности системы, также гармонической

(4.24)

где A₂ и – амплитуда и частота вынужденных колебаний выходной величины; γ - сдвиг по фазе.

При изучении выходных характеристик y(t) ,будем пренебрегать «собственной» составляющей решений и ограничиваться только «вынужденной» составляющей.

В этом случае A₂ и γ можно определить по частотной функции W(i ). Можно показать (см. Приложение 2), что W(i ). что получается из передаточной W(p)= (где Y(p) Δy(t), U(p) Δu(t)) путем замены p=i , где – частота вынужденных колебаний. Частотную функцию (как комплексное число) представим в виде:

W(i )=Re( )+ Im( )=A( )e^iγ(ω), (4.25)

где Re( ), Im( ) – соответственно действительная и мнимая часть частотной функции; - модуль частотной функции, называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ); γ(ω)=arg W(iω) – аргумент частотной функции, называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Модуль и аргумент частотной функции изображены на рис. 32.

При этом: ; .

С помощью этих выражений можно построить (рис.32.б) амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ), при изменении ω от о до ∞ (строить зависимость при -∞<ω<+∞ нет необходимости, т.к. кривые симметричные относительно оси абсцисс).

АФЧХ также как передаточная функция W(p) и дифференциальное уравнение системы определяет ее динамические свойства, но обладает тем преимуществом, что может быть построена экспериментально.

5. Динамика продольного возмущенного движения ВС

В разделе 4 получены формулы (4,5), описывающие продольное возмущенное движение. Принимается β=γ_a=0, m(t)=const, изменение аэродинамических сил по высоте мало,

, , ;

пренебрегается изменением по высоте ρ(H), p(H), a(H), полагая момент тангажа сбалансированным в опорном движении . Для упрощений уравнений возмущенного движения целесообразно перейти от производных сил к производным перегрузок, учитывая что

nya= (P sin(α+φ_p)+Ya); nxa= (P cos(α+φ_p)-Xa);

при (γa=0, β=0): nya=nyk; nxa=nxk; M= ; .

Проделаем преобразования на примере первого уравнения и уравнения для описания опорного движения . Уравнение в отклонениях от опорного (возмущенного ) запишем в виде (принимая во внимание: )

Проделав аналогичные преобразования можно уравнения (4.5) представить в матричной форме.

, (5.1)

где

; ; ; ; ; (5.2)

a₁₁ = g n_xk^V = n_xk^M M; a₂₁ = (n_yk^M M – n_yk + cos θ); a₁₂ = g(n_xk^θ – cos θ)=g(-n_xk^α – cos θ);

a₂₂ = (n_yk^θ + sin θ) = (-n_yk^α + sin θ); a₁₄ = = g n_xk^α; a₂₄ = = n_yk^α;

D_z= ; a₃₁ = (2m_z + 2m_pz1 + m_z^M M + m_pz1^MM); a₃₂ = D_z m_z^θ; a₃₃ = D_z m_z^ωz;

a₃₄ = D_z ; a₅₁ = sin θ; a₅₂ = V cos θ; a₆₁ = cos θ; a₆₂ = -V sin θ; b₁₁ = g ;

b₂₁ = ; b₃₁ = D_z ; b₂₂ = n_yk^δв; b₃₂ = D_z m_z^δв.

В системе (5.1) параметры ΔH и ΔL не входят в правые части четырех первых уравнений и нe влияют на изменение соответствующих фазовых переменных, поэтому могут рассматриваться независимо от двух последних.

5.1. Собственное продольное возмущенное движение ВС. Условия устойчивости опорного движения

В опорном режиме полета управление u˚(t) = (P˚(t), δ_b˚(t)) задано и изменение Рассмотрим уравнения продольного собственного возмущенного движения (см. (5.1), без включения строк и столбцов, соответствующих ΔH и ΔL).

(5.3)

Характеристический многочлен

|A - λE| = |λE - A| = 0, (5.4)

или

.

Раскрывая определитель по последней строке, получаем:

λ⁴ + a₃ λ³ + a₂ λ² + a₁ λ + a₀ = 0, (5.5)

где: a₃ = -a₁₁ – a₂₂ – a₃₃; a₂ = a₁₁ a₂₂ + a₂₂ a₃₃ + a₁₁ a₃₃ – a₂₁ a₁₂ + a₃₄;

a₁ = - a₁₁ a₃₄ – a₂₂ a₃₄ + a₃₁ a₁₄ + a₃₂ a₂₄;

a₀ = a₁₁ a₂₂ a₃₄ + a₂₁ a₃₂ a₁₄ + a₃₁ a₁₂ a₂₄ – a₃₁ a₁₄ a₂₂ – a₂₁ a₁₂ a₃₄ – a₁₁ a₃₂ a₂₄.

Для асимптотической устойчивости в соответствии с условиями Рауса – Гурвица должно соблюдаться:

a₀>0; a₁>0; a₂>0; a₃>0; R = a₁ a₂ a₃ – a₁² – a₀ a₃²>0.

Возмущенное движение в целом по всему вектору Δy = (ΔV, Δθ, Δω_z, Δ , ΔH, ΔL) можно проанализировать по уравнениям для ΔH и ΔL, т.е. пусть = V Δθ; = ΔV. Интегрированием этих уравнений получаем:

ΔH(t) = V ; (ΔH₀≠0)

ΔL(t) = ; (ΔL₀≠0)

Откуда видно, что если ВС асимптотически устойчиво по Δθ(t) и ΔV(t), т.е. при t→∞ Δθ(t)→0, ΔV(t)→0, то при этих условиях ΔH(t)→ΔH₀ и ΔL(t)→ΔL₀ и движение не будет асимтотически устойчивым, но может быть просто устойчивым по Ляпунову при малых ΔH₀ и ΔL₀.

5.2 Выделение быстрой и медленной составляющих продольного возмущенного движения

Исследования решений уравнения (5.5) показывают, что для большинства ВС имеются два больших λ₁₂ = ξ₁±iη₁ и два маленьких λ₁₂ = ξ₁±iη_2. Причем одна пара корней |λ_1,2|>>|λ_3,4| и отличается в десятки раз. Движение с большими |λ_1,2| будет быстро затухающим (чаще всего колебательным) и называется короткопериодическим, а с малыми |λ_3,4| - длиннопериодическим или медленным. Быстро изменяются: Δα(t), Δω_z(t), Δ (t). Медленно изменяются: ΔV(t), Δθ(t). При исследовании быстроизменяющихся параметров можно принять ΔV≈0, т.е. изменение скорости не успевает произойти V = V˚ = const, а при изучении ΔV(t), Δθ(t) можно считать, что быстрое изменение Δα(t), Δω_z(t) и Δ (t) закончилось и принять α, ω_z и равными балансировочным значениям:

α = α_бал, ω_z = 0, = α_бал + θ = const. (β = γ_a = 0).

5.2.1. Собственное продольное короткопериодическое возмущенное движение ВС. Условия устойчивости опорного движения.

Рассмотрим часть уравнений (5.1) для Δθ, Δω_z и Δ , полагая, что за время быстрого вращательного движения скорость не успевает измениться существенно, т.е. ΔV = 0

= a₂₂ Δθ + a₂₄ Δ ;

= a₃₂ Δθ + a₃₃Δω_z + a₃₄ Δ ; (5.6)

Δْ = Δω_z;

Δθ = Δ – Δα;

= Δω_z - ;

Δω_z = + .

Из первого:

= (- + sinθ) (Δ – Δα) + Δ = (sin θ Δθ + Δα).

Примем за исходный опорный режим полета – горизонтальный и sin θ = 0. В результате получаем:

= α; (5.7)

= Δω_z – Δα. (5.8)

Второе уравнение в системе (5.6) удобнее представить в другой форме (не в форме Коши; см. 3. системы (4.5)).

,

или

, (5.9)

где

; ; ; .

Дифференцируя (5.8), после подстановки (5.9) и приведения подобных членов, получаем:

+ 2 h_k + ω_k² = 0, (5.10)

где

; (5.11)

= -( + ) = -D_z ( + (1+ )) = -D_z ; (5.12)

n_yk = (С_p (α+φ_p) + С_ya); = (С_p + ) = (1 + ); .

τ = (масштаб времени); μ = (относительная плотность ВС), ;

Нетрудно проверить, что характеристическое уравнение для (5.10) имеет вид:

λ² + 2h_kλ + = 0. (5.13)

Условия устойчивости (здесь: a₀ = , a₁ = 2h_k) c помощью матрицы Гурвица

: a₀ = >0 и a₁ = 2h_k>0. Условие >0 эквивалентно (см. (5.12)) (при D_z>0, >0), σ_n = + (1 + )<0 и является критерием асимптотической апериодической устойчивости. Условие 2h_k>0 эквивалентно <0; <0; >0; С_p>0 и является критерием колебательной асимптотической устойчивости.

Апериодическая неустойчивость возможна при: σ_n>0, ω_k²<0. Колебательная неустойчивость возможна при: >0, 2h_k<0. Соответственно = 0 и 2h_k = 0 являются условиями граничных значений апериодической и колебательной асимптотической устойчивости по углу атаки в опорном режиме горизонтального полета. При этом асимптотической устойчивости по и θ не будет, т.к. с учетом (5.7), (5.6):

Δθ(t) = ;

Δ (t) = Δα(t) + ;

при Δα(t)→0; Δθ(t)→Δθ₀; Δυ(t)→Δθ₀, но устойчивость неасимптотическая (по Ляпунову) возможна.

Корни характеристического уравнения:

λ_1,2 = -h_k± (5.14)

при >h_k² и >0 ,будут комплексными сопряженными, а собственное возмущенное движение – колебательное

λ_1,2 = -h_k± i . (5.15)

Решение (5.10) имеет вид

Δα = Ae sin ( + ψ), (5.16)

где h_k – коэффициент демпфирования (декремент затухания);

= – круговая частота собственных колебаний (демпфированных колебаний), иногда обозначается ω; ω_k – опорная частота или частота недемпфированных колебаний;

ψ – фазовый угол сдвига. Постоянные А и ψ определяются по заданным начальным условиям: например, при t = t₀=0; Δα=Δα₀ и =

Если ≥ >0, то корни (5.14) будут действительными и собственное возмущенное движение будет апериодическим

Δα=c₁ e^λ1t + c₂ e^λ2t,

а при = >0; λ₁ = λ₂ = λ

Δα(t) = (c₁ + c₂₎ e^λt.

Постоянные c₁ и c₂ находятся из начальных условий. Определим теперь Δω_z(t). Для этой цели из (5.6) и (5.7) с учетом (5.16), получим

Δω_z = = Δα + = A [ ( – h_k) sin ( + ψ) + cos ( + ψ)].

5.2.2 Собственное продольное длиннопериодическое возмущенное движение ВС. Условия устойчивости опорного движения

Будем считать, что в конце короткопериодического движения наступает равновесие моментов, m_Rz ≈ 0 и Δω_z и Δْα становятся малыми настолько, что ими можно пренебречь (см. (4.5))

;

; (5.17)

; (Δْω_z = 0).

(В горизонтальном опорном движении принимаем: С_p = С_xa, n_xk ≈ n_xa, γ_a = β = 0, cos θ = 1, = = , M ≈ 0);

;

= = = g ;

= = g( – cos θ) ≈ - g cos θ ≈ -g;

= ≈ (1 + ) = ( M – n_yk + cos θ);

= = (С_p + ) = = ;

= = D_z = D_z ( + );

= = D_z .

Исключая из первого и второго уравнений (5.17) с помощью третьего Δα, получим

= -2 h_д ΔV – g Δθ;

, (5.18)

где

; (5.19)

_д² = ( – ) = . (5.20)

Здесь: |_{nya = 1} = –

Характеристическое уравнение системы (5.18)

= λ² + 2 h_д λ + ω_д² = 0. (5.21)

Условиями асимптотической устойчивости опорного движения (горизонтального полета с постоянной скоростью) является: 2h_д>0 и ω_д²>0. Первое условие (см. (5.20)) зависит от знака величин = ( ); ( - ) и . При этом , определяются при постоянном значении α_бал горизонтального полета, а C_p^M – для постоянного режима работы двигателя (положения рычага управления двигателем (РУД)). Второе условие ω_д²>0 при <0 выполняется при σ_V<0. Корни уравнения (5.21): λ_1,2 = -h_д ± .

Если ω_д²> h_д² и ω_д²>0, то корни будут комплексными сопряженными λ_1,2 = -h_д ± i , а собственное длиннопериодическое движение называют колебательным или фугоидным и решения (5.18) равны

;

,

где h_д – коэффициент демпфирования; -круговая частота собственных колебаний; ω_д – опорная частота или частота недемпфированных колебаний;φ_V, φ_θ – фазовые углы сдвига.

Характеристики

Список файлов лекций