Book4 (563554), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Проведем анализ динамических процессов в конструкциях РЭС,
представленных абстрактными моделями, в условиях воздействий виб-
раций и ударов.

4.2.1. Вибрационные воздействия на систему
с одной степенью свободы

Модель системы с силовым возбуждением приведена на рис. 4.2.
Возбуждающая гармоническая сила Р = Р_Qsinωt приложена к массе и

вызывает ее перемещение. Кроме возбуждающей, в системе действуют
сила инерции Р_и = т ż, сила упругости пружины Р_у =kz , диссипативная сила (сила демпфирования) Р _д = β ż. Согласно принципу Даламбера, в любой момент времени все силы, действующие на систему, находятся в равновесии. Поэтому движение массы относительно положения
статического равновесия можно представить дифференциальным
уравнением

mż + βż + kz = P₀sinωt. (4.3)

В результате деления правой и левой частей (4.3) на m уравнение
приводится к виду

/

ż+ 2δz + ω₀z = ω²₀ z_CTsinωt. (4.4)

где δ=β/2m — коэффициент демпфирования; — круговая
частота свободных колебаний; z_CT = P₀/k — статический прогиб упру-
гого элемента системы под действием силы Р ₀.

Уравнение (4.4) имеет два решения: для свободных и для вынужден-
ных колебаний.

122

I

Поскольку параметры свободных колебаний определяются только
состоянием самой системы, правую часть уравнения (4.4) полагают рав-
ной нулю. Уравнение становится однородным.

Решение уравнения при начальных условиях Ż(0)=z(0)=0,z(0)=V
и отсутствии демпфирования (δ = 0) имеет вид

z = (v/ω₀) sin ω_о t = Z sin ω₀t, (4.5)

где Z = v/ω ₀ — амплитуда свободных колебаний.

Из уравнения (4.5) следует, что свободные колебания протекают на
частоте со ₀, амплитуда колебаний зависит от начальных условий (мгно-
венной скорости к, сообщенной массе в начальный момент времени).
Частота свободных колебаний определяется жесткостью упругого эле-
мента k и массой т конструкции.

Если учесть, что реальным систе-
мам присуще затухание δ≠0, то решение однородного дифференциального уравнения свободных колебаний дает следующее соотношение для перемещения:

z = (v/ω₀) e^-δtsinω₁t, (4.6)

где -частота колебаний. Так как ω₀ >> 5, то принимают ω₁ ≈ ω ₀.

Выражение (4.6) представляет собой затухающее колебание с пери-
одом Т₁ = 2 π≠ω₁ (рис. 4.4). Затухание свободных колебаний количественно можно характеризовать логарифмическим декрементом колебаний

λ = ln(Z_i/Z_i+l) = ln(e^-δt / e^{-δ(t+T1 )}) =δ T₁,

где Z_i, Z_i+l — значения предыдущей и последующей амплитуд колебаний соответственно.

Таким образом, свободные колебания в системах существуют непос-
редственно после внешнего воздействия на отрезке времени, в конце

которого множитель е^-δt и, следовательно, амплитуда перемещения
становятся равными нулю.

123

Вынужденные колебания в системе протекают под действием внеш-
ней гармонической силы Р = Р ₀ sin ω t.

Общее решение уравнения (4.3) может быть представлено в виде
суммы решения (4.5) однородного уравнения и частного решения, соот-
ветствующего гармонической силе Р :

z = Z e^-δt sin(ω₀t-φ₀) + μZ_CTsin(ωt-φ). (4.7)

Перемещение при вынужденных колебаниях

z_B = μz_CTsin(ωt-φ). (4.8)

Здесь —коэффициент динамичности системы,

где δ₀=δ/ω₀ — коэффициент затухания ; v=ω/ω₀ — коэффициент частотной расстройки или частотное отношение;

φ = arctg [ β ω/(k - т ω² )] — начальная фаза вынужденных колебаний.
Амплитуда вынужденных колебаний Z _в = μ z _ст, откуда μ = z_b/z _ст.

Таким образом, коэффициент динамичности ц показывает, во
сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при действии силы
Р_Qsinωt больше (или меньше) статического прогиба упругого эле-
мента системы под действием силы P₀.

Характерной особенностью вынужденных колебаний является зави-
симость их амплитуды не только от параметров системы и внешнего
воздействия, но и от частоты возмущающей силы со. Максимальное зна-
чение коэффициента динамичности

соответствует коэффициенту частотной расстройки

Зависимость коэффициента динамичности от частотной расстрой-
ки v приведена на рис. 4.5. Если частота возмущающей силы со совпада-
ет с частотой свободных колебаний (v = 1), то возникает явление меха-
нического резонанса, при котором амплитуда вынужденных колебаний
достигает максимальной величины, а при отсутствии затухания стано-
вится бесконечно большой. Поэтому исключение механических резо-
нансов выбором частот свободных колебаний механических систем за
пределами диапазона частот внешних вибрационных воздействий —
одно из необходимых условий обеспечения вибропрочности.

Модель механической системы с кинематическим возбуждением
приведена на рис. 4.6.

124

Рис. 4.5. Зависимость коэффициента дина- Рис. 4.6. Модель механической

мичности от частотной расстройки системы с кинематическим

возбуждением

Внешнее вибрационное воздействие P=Р_Qsinωt приложено к ос-
нованию (платформе), которое перемещается по гармоническому закону z_а=Z_asinωt, где Z _а - амплитуда виброперемещения основания.

Движение системы подчиняется уравнению

mž + β(ż-ż_a) + k(z-z_a) = 0, (4.9)

где разность перемещения массы и основания (z-z_a) характеризует
упругую деформацию системы.

После подстановки в (4.9) частного решения для вынужденных ко-
лебаний (4.8) и выражения для перемещения основания уравнение движения системы приводится к виду

(-mω²+jωβ + k)z = (jωβ +k)z_a
откуда находят передаточную функцию

F(j ω) = z/z _a = (k+ jωβ) /(k-m ω²+ jωβ )
и амплитуду колебаний системы

Отношение амплитуд перемещения массы и основания

125

Рис. 4.7. Зависимость

коэффициента передачи вибраций

от частотной расстройки

носит название коэффициента пере-
дачи вибраций. Зависимость ц от ко-
эффициента частотной расстройки
v приведена на рис. 4.7. Как видно из
рисунка, коэффициент передачи г|
становится меньше единицы, если
значение v превышает . Эта осо-
бенность в поведении коэффициента передачи вибраций используется
для организации виброзащиты кон-
струкций (виброизоляции) с по-
мощью амортизаторов.

4.2.2. Воздействие удара на систему с одной степенью свободы

Анализ ударных воздействий имеет целью определение деформа-
ций и механических напряжений, возникающих в элементах конструк-
ции в зависимости от величины и характера ударных нагрузок. Как от-
мечалось в разд. 4.1, для упрощения анализа ударные импульсы раз-
личной формы приводят к эквивалентному прямоугольному импульсу,
используя зависимость

где a₀, τ_o — ускорение и длительность прямоугольного эквивалент-
ного ударного импульса соответственно; а, τ — ускорение и длитель-
ность ударного импульса произвольной формы соответственно. Расче-
ты показывают [25], что для синусоидального импульса (см. рис. 4.1, б)
можно принять a₀= 0,63а , τ ₀ = τ , для косинусоидального импульса —

а₀ = 0,5а, τ₀= 1,27τ. Аналогичные соотношения нетрудно получить

для трапецеидального и треугольного импульсов.

Наиболее просто удар моделируется падением конструкции с опре-
деленной высоты на жесткую платформу. Конструкцию представляют
моделью механической системы с одной степенью свободы.

В результате удара возникает колебательное движение массы отно-
сительно положения равновесия, соответствующего статическому про-
гибу упругого элемента под действием силы тяжести (рис. 4.8). Движе-

126

ние имеет характер свободных ко-
лебаний и без учета сил неупругого
сопротивления протекает в соответ-
ствии с дифференциальным урав-
нением

mž + kz = 0. (4.10)

Начальными условиями при этом
являются:

при t = 0 z = -z_CT , ż (0) = V₀, где

z_CT = mg/K— статический прогиб

упругого элемента;

начальная скорость перемещения; Н₀ — высота падения конструкции.
Решение уравнения (4.10) для перемещения массы получают в виде

z(t) = (v₀/(ω₀)sinω₀t-z_CTcosω₀t, (4.11)

где — частота свободных колебаний. Из (4.11) можно найти
максимальное перемещение массы

и полную (динамическую) деформацию упругого элемента

.

где µ— коэффициент динамичности конструкции.

Жесткость k и полная деформация упругого элемента определяют
эквивалентную силу удара Р_УД =kz_Д =mgμ. При известной силе уда-

ра Р_УД можно найти напряжения, возникающие в упругом элементе
конструкции.

Чтобы оценить перегрузки элементов при ударе, из соотношения
(4.11) находят ускорение

ž(t) = - v₀ ω₀ sin ω ₀t + z_CT ω²₀ cos ω₀t.
Максимальное значение ускорения

определяет перегрузку при ударе:

127

Защита конструкций РЭС от ударов осуществляется с помощью
амортизаторов. Движение амортизированной системы, вызываемое уда-
ром, зависит как от характеристик самой системы, так и от параметров
удара. Поведение амортизированных систем при воздействии удара
подробно рассмотрено в разд. 4.6.

4.3. Расчет показателей вибропрочности конструкций РЭС

Исходя из определения вибропрочности и анализа динамических
процессов, протекающих в элементах конструкций РЭС при вибрациях,
можно определить следующие условия обеспечения вибропрочности:

отсутствие в конструкции механических резонансов;

ограничение амплитуды виброперемещения и виброскорости значе-
ниями, исключающими опасные напряжения и усталостные явления в
элементах конструкции;

допустимые значения виброперегрузок в диапазоне частот внешних
воздействий должны превышать величины, определенные техническим
заданием на разработку конструкции РЭС.

Характеристики

Список файлов учебной работы