Бакулев (560825), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Следовательно, М(е') = М[[в,(г)-уз(г))'~ = М([в,(г)- У (г)ЪУ)-~ -+ ппп, откуда М(во+ЪУ У(г)У (г)ЪУ 2ва«)ЪУ У(г))= =[М([ве(г)) )+М(ЪУ'У(г)У'(Г)ЪУ)~-2в,«)М(ЪУгУ(г))-+пни. Введем корреляционную матрицу выборок сигналов источников помех: й(Ъ',У) = М[У«)У'(г)~ = и вектор-столбец взаимно-корреляционной матрицы опорного сигнала и помех К(У,в,)=У(г)ае(г). Условия минимума е можно отыскать, приравняв нулю градиент искомой матричной величины: УМ[М(е )) = О . С учетом того, что ЪУ~ й(У, У)ЪУ вЂ” квадрат скалярного произведения (ЪУ,У)', где УУ" = К(У,У), градиент от нее выражается как ЧЪУ[ЪУ й(У, У)ЪУ) = 2К(Ъ', У)ЪУ . Поэтому ЧЪУ[ все + ЪУ К(У,У)ЪУ-2ЪУ й(У,во)1 = 2К(У,У)ЪУ-2К(У,на) = О, откуда К(Ъ',Ъ)\У= К(Ъ',в,), или, умножая слева на й '(У,У), получим й '(У,У)К(У,У)ЪУ = й"~(У,У)й(У,в~). В результате )ЪУ = й '(Ъ',У)й(У,ве), где 1 — единичная матрица.
Следовательно, алгоритм определения матрицы оптимальных весовых коэффициентов имеет вид (З.б) 202 Последнее выражение есть уравнение Вивера — Хопфа в матричной форме. Предполагается, что матрица ЩУ,У) не вырождена, следовательно, существует обратная матрица В '(У,У). Если для отыскания оптимального вектора весовых коэффициентов использовать критерий максимума отношения сигнала к помехам, то оптимальный вектор весовых коэффициентов %, =Кй '(ахп)в(г), где К вЂ” некоторая «онстанта; и — шумавая составляющая входного сигнала. Критерий максимума отношения мощностей сигнала и помехи применим в стационарных условиях, даже когда отсутствуют сигнал н внешние помехи, и не учитывает деформацию ДНА, особенно в области боковых лепестков.
Таким образом, при различных подходах к подавлению активных помех и любом критерии оптимальности приходим к схемам пространственной весовой обработки с компенсацией мешающих сигналов. При этом комплексные весовые коэффициенты можно формировать, обращая матрицу входных реализаций помех и сигналов. Существует два способа такого обращения: прямой и рекуррептлый. При больших размерах корреляционных матриц Мх)т' (М вЂ” число источников помех) требуются большие вычислительные и временные затраты.
Обычно корреляционные матрицы заранее неизвестны, поэтому их следует оценивать по входным реализациям, а затем получать обратную корреляционную матрицу с помощью, например, схем с корреляционной обратной связью. Использование антенных решеток с устройствами формирования весов %(й) =%(Сх) с учетом корреляционных связей (рис.
8.б) требует уменьшения длительности переходных процессов в устройстве или уменьшения времени установления, а также сходимости результатов оценивания к истинным значениям характеристик помех, т.е. адекватности измеренных характеристик помех истинным. 8.3. Устройства борьбы с комбинированными помехами Поскольку возможны многочисленные комбинации активных и пассивных помех, рассмотрим частный пример устройства борьбы с комбинированной помехой, относящейся к классу гауссовых помех и состоящей из алдитивной смеси активной и пассивной помехи. Если помеха — гауссов процесс и на входе приемного тракта состоит из аддитивной смеси собственного белого шума, пассивной коррелированной помехи и активной помехи, то результирующую спектральную плотность помехи можно представить в виде 203 Коэффициент передачи системы оптимальной обработки для этого случая: (8.7) Соотношение (8.7) соответствует последовательному включению трех фильтров: оптимального для обнаружения сигнала на фоне «белого» шума, «обеляющего» коррелированную пассивную помеху и компенсирующего активную помеху.
Однако уравнение компенсирующего фильтра (третий сомножитель в (8.7)) показывает, что оно отображает устройство, у которого фильтр включен в цепь отрицательной обратной связи между выходом «обеляющего» фильтра и входом всего устройства, как показано на рис. 3.2К Обозначим О« = М„спектральную плотность мощности собственных шумов. Тогда алгоритм для коэффициента передачи оптимального фильтра запишем в виде где 5(7«о) — спектр ожидаемого сигнала. Зго соотношение можно представить так; (8.8) Структура фильтра изображена на рис. 8.8.
Таким образом, подтверждается рассмотренная выше теория борьбы с пассивными помехами путем обеления коррелированных помех и с активными помехами — методами компенсации помех на входе пространственно-временного фильтра. Более того, при априорной неизвестности относительно параметров пассивных или активных помех структура фильтра стремится к устройствам автокомпенсации помех (например, автокомпенсаторов с КОС). 204 Рнс. 8.8. Структура фильтря для прпема сипгвла ня фоне комбинирован- ных помех: а — прн воздействии комбинированной помехи; б — при воз- действии только пассивной помехи, в — при обнаружении сигнала на фоне только собственных шуьюв Контрольные вопросы 8.1. Что такое пространственно-временной сигнал? 8.2.
Какое устройство осуществляет пространственную фильтрацию сипщлов? 8.3. Какой тип антенн применяют для обработки пространственно-временных сигналов? 8.4. Поясните физику настройки на пространственно-временной сигнал пространственного фильтра (ФЛ!'). 8.5. Что такое наблюдасмость цели на фоне активной помехи? 8.6. Что такое подавление РЯС? 8.7. Как влияег расстояние на эффективность самоприкрытия? 8.8. Как осуществляется компенсация акгивных помех с помощью ФЛР! 8.9. Что такое автокомпенсатор и как он подавляет активнуго помеху? 8.10. В чем заключается борьба с комбинированными помехами? 8.11.
При использовании обработки сигналов во временной области какова структура устройства подавления суммы активной и пассивной помех? 8.12. Как осуществляется режекция (подавление) активной помехи' ? 8.13. Как осуществляется режскция (подавлсние) пассивной помехи? Глава 9. Измерение параметров сигнала В радиолокации определение координат и элементов движения объектов в пространстве осуществляется путем измерения параметров принимаемых радиосигналов, отраженных или нзлученных объектом. Поскольку такое измерение длится ограниченное время и происходит на фоне шумов и помех, задача измерения параметров сигнала является статистической.
Оптимальное решение этой задачи ищут методами теории статистических решений — так называемой шеории оценившим параметров, Несмотря на сходство терминов "измерение" и "оценивание", первый чаще употребляется при синтезе и анализе технического построения измерителей, а второй — при математическом синтезе и анализе алгоритмов и структур устройств оценивания параметров сигнала. Для решения задачи оптимального оценивания параметров сигналов возможны два основных подхода: !) параметр О считается случайной величиной с априорной плотностью распределения вероятностей И',(О), при этом можно использовать байесов подход; 2) параметр О считается неслучайной величиной, плотность распределения вероятностей наблюдений которой И'(УЮ) рассматривается как функция неслучайного параметра Π— так называемая функция правдоподобия Ь(О) = ИУ(у/О), при этом можно использовать метод максимального правдоподобия для получения оптимальных оценок.
9.1. Байесоеы оценки При нахождении процедур измерения или оценивания параметров сигналов используем математический аппарат и обозначения, принятые в гл. 3. Пусть Π— истинное значение параметра, которое считаем случайной величиной. Его оценку или измеренное значение обозначнмО . Введем функцию потерь С(О,О) = С(О,о(), где и'=О, при этом для получения наилучшей оценки нужно минимизировать средний риск, характеризующий погрешности измерения: «(»'о б) = М(С(О б(У)И= ИС(О,ЖУ))И'(У~О)Ио(О)4®4' (9 () гп или апостериорный риск 20в г(у,б)= М(С(О,Ь(у))/у~= ~С(О,Ь(у))И(0/у у/Ге, (9.2) а где Ь(у) — решающая функция; й — пространство параметров О; Г— пространство реализаций у. Минимальный риск получаем при использовании правила оценки б'(у): г(И',Ь )= пипг(Имб).
Пусть функция потерь квадратичная и равна С (0,0)=(0 -0),тогда Ь(у,б) = М~(Π— б(у)) /у~ = М(0 /у) — 2Ь(у)М(0/у)+б~(у) = =( б(у) М(0/у)1 +~М(0 /у~ М (О/у)Д. Поскольку первый член зависит, а второй не зависит от Ь, то Р(у,б) — >пни при условии (б(у)-М(б/у)]-эайп=О. Следовательно, (9.3) Дисперсия отклонения байесовой оценки Оа от истинного значения 9 М~(0 — 0 )') =,'< М((Π— Ь(у))'1) . Используем теорему Вайеса и найдем связь И'(О/у) и Л(у/0): И'(О)И (у/О) И (О)И (у/О) И (у) ~ И (0)И'(у/0)~/О И(О) — (У ) и (у/О) И«у/О) ) И (у ! ())~/О И (у/О) ~ сопагИ'(О)Л(у/О) .
)И (0)Л(у/0)~/О Алгоритмы (9.3) и (9.4) легко трансформируются в соотношения (9.4) Зти алгоритмы используют при синтезе структур измерителей. Вайесовы оценки являются математическим ожиданием оцениваемой величины и оптимальны по критерию минимума среднего квадрата ошибки. 207 Пусть функция потерь равна С(0, 0) = С, — 5(0 -0), где 5(0 -О)— дельта-функция, тогда Р= М((С, — 5(О-О))/у~ = ~[С, -5(О-О)) и (О/у)ЫО = С, — И (О/у) . Чтобы г -+ пнп, необходимо И'(О/у) -+ тах. Оценка Байеса при С(0,0)=С, — 5(О-О) оптимальна по критерию максимума апостериорной вероятности /Г(Е//у) и является максимальной апостериорной оценкой, которую можно найти из условий аИ (О/у) Ю (9.5) или д!и И'(О /у) дЭ (9.6) 9.2.
Оценки максимального правдоподобия Если оцениваемый параметр не является случайНой величиной, то можно воспользоваться, например, методом максимального правдоподобия, когда используется /Р(у/О)= А(0) — так называемая функция правдоподобия. Оценкой максимального правдоподобия (ОМП) 0„, на- зывается такое значение О, когда ЦО „) = тахььп 5(0), поэтому (9.7) обеспечивает оптимальную пропедуру нахожденияОм . 9.3.
Качество оценок Качество оценок характеризуется их состоятельностью, несмешенностью и эффективностью. Состоятельность оценок Оьи — это сходимость по вероятности к оцениваемому параметру 0 прн неограниченном увеличении размера выборки я, т.е. для любого малого наперед заданного положительного числа е > О !пп„„Р(~0 „-О~? е~ =О. (9.8) 208 г/еся/е//(е////осл/ь оленки 0„„— это равенство среднего по совокупности выборок размера л значения оценки истинному значению оцениваемого параметра при любом значении л: (9. 9) М/О„м) =О. Следовательно, смещение оценки Ь„(0) = М(0„„) — О. Если Ь„(д) -+ /) лишь при неограниченном увеличении и, то такая оценка называется асимптотически несмещенной, т.е. (9.10) 1нл„„М(Озм) = 0.
Оценки, которые можно получить из выборок размером 1 < и, называются достил/оч//ы//// оленкам// (или достаточными статистиками). Используя достаточные статистики, в число которых входит и отношение правдоподобия л(н/О), можно упростить процедуры оценки параметров или сократить процесс накопления входной информации для получения оценок.
Э/рфект//в//ость олелкл Ось обеспечивается, если среднее значе- ние квадрата отклонения оценки от истинного значения оцениваемого параметра не больше, чем для любой другой оценки: М((0 „— О) ) ~ М((Оям — О), . (9.! 1) Рассмотрим неравенство Крамера — Рао. Пусть 5(у) = 0 — несмещенная оценка параметра О, т.е. М(б(у)) = ~б(у)й (у!О) (г = О, /' или Яб(у)-О)ИР(у!О)) =О. /' Дифференцируя это выражение по О, получаем )1//л- о1 — ~ — /Π— .от~ /о/// =( . /' /' Так как ~й'(у/О)/(г =1, г ~(б(у)-О) (-' ) йу=). г 2ов д)п" 1 да В соответствии с соотношением:= — можно представить дх = д.т дИ'(у/О) д )и И'(у/О) = И'(у/О), следовательно, Ю Ю д )и И'(у/ О) = ~(б(у)-О),/Рб/О) '" (У ),/~57О)ду=!. д )и И'(у/О) г Применительно к последнему выражению, используя неравенство Буняковского — Коши — Шварца; У»"»" Х'- Х~~( )'Ч (»)'"" получаем з2 )!ьь!-ь!'но!мь)["" !У'~!) нь!!>ь», г г после чего переходим к неравенству м)(ьру! — о!') Таким образом, дисперсия несмещенной оценки (9.!2) Нижний предел дисперсии, получаемый при условии называется дисперсией наиболее эффективной оценки (НЭО).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
