Бакулев (560825), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Если сушествует НЭО, то она совпадает с ОМП. Оценка максимального правдоподобия асимптотически оптимальна, так как она состоятельна, асимптотическн не смещена и аснмптотически наиболее эффективна. Асилттотическая наибольи!ая эффективность — это стремление в пределе (при и-+се) дисперсии оценки к нижнему пределу неравенства Крамера — Рао: 210 (9.13) 11т„„М((0 „— О) ) = д!и И'(у/0) 9.4. Потенциапьная точность измерений Потеняяольпоя точность измерений реализуется только с помощью устройств, использующих оптимальное правило оценки параметра.
При этом достигается наименьшая погрешность измерений. Например, при байесовом правиле оценки — дисперсия ошибки М ]15(у) — О] ~ = ] ](5(у) — О] И'(у/0)йг(0)с/усЮ „ го а при небайесовых правилах — дисперсия ошибки М](5(у) — О] ~ = ~~5(у) — О] И'(у/О)г/у, и (э /о)и (о) . По формуле Байеса И'(О/у) =, поэтому И'(у) д1п И'(О/у) д Ж Ж = — ~1п И'(у/О) + !и И'(О) — 1п И'(у)] = д)пИ'(у/О) д!пйг(0) Ю Ю д!и И'(0) Следовательно, если = О, то гнэ д)пИ'(О/у) д!пИ'(у/О) дх) дО Таким образом, если количество информации об оцениваемом параметре 0 равно О, то байесова оценка по критерию максимума апостериорной вероятности и оценка максимального правдоподобия совпадают.
Используя ОМП, потенциальную точность определим с помощью соотношения (9.14) При этом удобно учесть, что ]! д дэ М ~ — 1пИг(у/0)~ =-М вЂ” 1пИ'(у/0) ]~дО 211 тогда ,'= М вЂ”,1 И(у/О) Если, связав 1и/Г(у/0) с отношением правдоподобия Л(у/О), использовать запись с индикатором наличия и отсутствия сигнала 0 Л(у / О) (У/ 0) н(у/б) ' то получим д д д — 1и Л(у/01 = — ~1и (г (у/О) — 1и сг (у/О)] = — 1и (г (у/О) . д(Э д(9 Формула для определения о, имеет вид сгоз = М вЂ” 1иЛ(у/О) (9.15) 9.б. Структура измерителей В соответствии с (9.3), (9.4) н (9.б) структуры оптимальных неследящих измерителей параметров сигнала включают устройства формирования функции/.(0), функции 1иЦО) нли формирователя функции Л(у/О) и устройства выбора (фиксации) максимума.
Обычно схема неследящих измерителей реализуется в виде многоканального устройства (рис. 9.1). Для этого диапазон измерения О„++О „разбиваем на поддиапазоны ОиО„.,,Оь..Ом, О, -О„„я где т= ' """, а бΠ— разьиьод Ю у решающая способность по параметру О. Структуру следящего оптимального измерителя можно представить в виде схемы рис. 9.2, которая содержит олма'ол тимальную схему обнаружения, формирующую отношеРььс. 9.И Еясмя оотнмяльного нзмсрнтсля нне правдоподобия Л(у/О), дискриминатора н линейного инерционного фильтра, управляющего сигналом ошибки. 212 При оценке по максимуму вероятности И'(О/у) и О=Ом можно по-прежнему использовать выходной эффект оптимальной системы ОС, таК КаК В ПРЕЛПОЛОжЕНИИ Иг(О)=еплаг, ПОЛуЧаЕМ И(0/у)=СОПМЛ(у/О).
Рис. Эд. Структура следящего измерителя с дискриминатором При унимодальности Иг(0/у) и его симметричности оценка получается несмещенной, а это обеспечивается лишь при больших отношениях сигнал/шум; д = Р,/ Р > 1. Входное напряжение измерителя является сложной нелинейной функцией оцениваемого параметра у(/,О) = и(/,О)+и(/), где О =0(/), поэтому оптимальный измеритель относится к нелинейным фильтрам. Обычно для упрощения анализа линеаризуют задачу, считая 9»1 (это обеспечивается при высокоточных намерениях).
В случае гауссовых шумов параметры 0(/) сами становятся гауссовыми процессами со средним значением, равным измеряемому параметру О. Линеаризация состоит в формировании линейной функции малых отклонений измеряемого параметра Π— О, (Оо — опорное значение параметра, близкое к истинному). Устройство, формирующее 0' = Π— О, называется дискриминатором (Д) (рис. 9.2). Линейный фильтр (ЛФ) выдает оценку 0', равную математическому ожиданиюО'. Если задано или выбрано опорное значение параметра, близкое к истинному, то разлагая в ряд в окрестности этой точки 1и Л(у/О) и ограничивая этот ряд тремя первыми членами, получаем 1пЛ(у/О)= 1пЛ(у/О)в в +(Π— О ) — 1пЛ(у/О) в + д + — (Π— Оо) —,1п Л(у/0)в 1, д' Подставляя это соотношение в уравнение для поиска максимума д 1и Л(у/0) дб находим 213 д 1п Л(у/О) д д = — (!пЛ(у/0)и н +(О-Оа) — 1пЛ(у/О)н„о, + 1 з д + — (Π— 0,)з —,1пЛ(У/0)о о 1= д д = — 1пЛ(у/0)в о +(е! — О,) —,!пЛ(у/0)н н =О.
Отсюда ОМП определяется по формуле Определим дискриминационную характеристику: (9.1 6) Обозначив !иЛ(у/0) =У, структурную схему оптимального дискриминатора пре/(ставим схемой рис. 9.3. Дискриминатор должен формировать характеристику /л(у/0) делением первой производной Г на вторую производную 2' . Для упрошения этого алгоритма возможны два подхода к вычислению величины Г'. 1) значение 2н в окрестРис. 9.3.
стртлоура оптимальною дискриминатора ности 0 — Он=О совпадает с точностью до знака со значением 2 (рис. 9.4), поэтому можно формировать /Э(у/О) как структуру рнс. 9.3, убрав из схемы блок вычисления 2; 2) можно аппроксимировать функцию 2=2„(0-Оо) в окрестности точки 0-Оа— - О зависимостью 2;-(с[! — (а/2)(Π— Оа)') (рис.
9.4). Очевидно, что 2"(О-Ор) и-/та = сонат и в окрестности точки О,— Он=О резко не изменяется. Вычисляем величину 2" = сопл| и вводим в схему заранее. Обшая схема следяшего измерителя показана на рис. 9.5. Как обычно, схема образует замкнутое кольцо авторегулирования, включающее дискриминатор, экстраполятор и синтезатор. 2т4 В реальных схемах измерителей производную от (п Л можно формировать методом перехода к отношению конечных разностей: д — !пЛ(у/О) = да Рис. 9.6.
Формирование лискриминацион- ной характеристики при вычислении произ- волных метололл конечных разностей Рн». 9.7. Слепящий измеритель со схе- мами поиска и захвата 2(й /9(9 ДЭ (9.17) !пЛ(у/О+ — )-!пЛ(у/Π— ) 2 2 Ю что соответствует схеме на рис. 9.6. Необходимо учесть, что линейный участок дискриминационной характеристики получается в достаточно узком диапазоне Лбз измеряемого параметра, протяженность которого определяется Рззе 94 Г!Овелеиие фуи,ций 2((9 (9! Г (О эффективной шириной спектра . 1 „-. (( Ьр, этого параметра: ЬОм! /Лр,. Обычно ЛΠ— очень узкий участок и про- У д Экстр цесс Π— Ое = О(/) со временем может выйти за его пределы. Йнерционность фильтра на выходе дискриминатора приводит к запаздыванию сиг- Синт нала в системе измерения.
На выходе эффект из- меРениЯ пРоЯвлЯетсЯ в виде О(/ /,), где /о— время запаздывания. Таким образом, недостат- Рнс 9.4. Обобщенная схеками следящих измерителей являются: ма кольца регулирования слелящспз измерителя 1) узость участка ЛО, что приводит к выходу процесса О-Ов=(9(/) за его пределы; 2) инерционность системы, проявляющаяся в запаздывании оценки. От этих недостатков свободны следящие измерители с экстраполирующими фильтрами.
Общая схема следящего измерителя со схемами поиска и захвата сигнала по измеряемому параметру представлена на рис. 9.7. 0.6. Оценка параметров сигнала на фоне "белого" шума Используем метод максимального правдоподобия. Пусть у(е)=и(е,О)+и(е), где 0<е<Т; пЯ вЂ” "белый" гауссов шум. В этом случае (см. гл, 3) Л(у! 0) = ехр — ! и(Е,О) у(Е)й — — (и Яй (2 г (ЛЕо о ЛЕо „ Все параметры сигнала делятся на энергетические, для которых и(Е 0)=0 при 0=0, и неэнергетические, для которых и(Е О) =0 при ОеО. Рассмотрим энергетический параметр — амплитуду(Е„,(е), а точнее амплитудный множитель 0 = а(е) в соотношении и(е,О) = а(Ео,(е), Т г Л(у, а) = ехр — ~ аее(Е)уЯй — — е а и Яй (г г ! г 2 2 ~ ЛЕ„) ЛЕ„" При этом д 2! г г г — !пЛ(у!а)= — Еи(Е)у(Е)оЕŠ— и(и Яй =0 ди ЛЕ„~ ) или ~ и(Е)у(Е)й а о (" '(Е)й о Оценка несмещенная н наиболее эффективная.
Потенциальная точность оценки амплитуды ог„= г = = и~/(20), 2Е~Ц 2 )и'(Е)й ецио о или относительная дисперсия при реальных шумах в области положительных частот ~~,.~.~'='~Д (9. ! 8) К неэнергетнческим параметрам относятся, например, фаза, частота, время запаздывания.
Оценка неэнергетических параметров осуществляется по формуле 216 г — !пЛ(у/0) = — — 2! и(Г, О)у(2) <2< = 0 . д 2 д г до <У„дО " я прежде, обозначить корреляционный интеграл то условием оценки будет <22/<20 = О, что Если, как = = Гл(до)у(О (г, соответствует структуре измерителя, показанной на рис.
9.1. Пример 1. Для определения потенциальной точности оценки фазы воспользуемся соотношением (9.14) и найдем <г. = г и —,<.~<у<~<. „1 „, ', !.«0<,,<<й!,„~ Л<2 о — — „')2<(Г.О)л(Г,Ое)<22~!о и Л 2 )~(О Оа)о=о„ о 1 (9.!9) — О,О . 22( о)о о„ о дО Тогда для оценки фазы сигнала имеем соотношение Е«р,<р„) Е Ез = р(<р, <р ) = — ~0„,(Осоз(е<„е+ <р(<) + <р) соз(е2<+ <р(г) + р„ЧГ = — — соз«р-<р )+соз12е2 2+2<р(г)+<р,) <(г = ! ~и,'„(<) о о ГУ2 (2) 1 ги.',() м — ~ — "-' — соз(<р — <р )<2< = соз«р — <р ) = соз«р <р ) . Е « о Поскольку при <р = <ры д2 —,соз(<р — <р,) = — 1, д<рз потенциальная точность а 2 Е,<Л'о Ч (9.20) 21т Для этого случая схема рис.
9.1 принимает вид, представленный на рис. 9.8. Здесь в многоканальный коррелятор опорный сигнал подается с линии задержки с отводами, обеспечивающими сдвиг фазы на величину ЬТгоо. Потенциальная точность оценки фазы приходящего радио- импульса может быть вычислена по найденному значению Р(О Оо) = Р('Р 12о) . гие. о.в. Измеритсль Фазы приходящего радио- Пример 2. Рассмотрим импульса измеритель для оценки времени запаздывания сигнала со случайной начальной фазой и амплитудой Б(г,ад,т) = Г2а(2 (г — т) сафо (( — т)+щ(г — т)+о2), где т = гд = 2 И/с, О < О < г — т < Тп .
Пусть 2 Иг(яу) =(2л] ', И'(а) = — ехр — — ), при этом зя Л(у!т) = ~ ~Л(у! т,а,за)К'(а)И'(р)(иоЛа. В соответствии с результатами гл. 3 Л(о ~ 2азг'(т) 1 Л(у/т) = ехр 2з О + Е ( ЛГО(ЛГО + Е) ) имеют вид т =,(т) = ~ Г20м(г — г)соз(ш (г — т)+яа(à — г)]у(г)о(т, о 7' - (т) = ~)Г2у (г — г)яп[га (г — т)+яо(г — т)1у(г)й, о Е = М(азЕ) = ЕМ(и ) =2гт, Е .
Максимально правдоподобная оценка, получаемая из соотношения Запишем выражение для среднеквадратической (эквивалентной) ширины спектра сигнала: тогда — — — — — — (2лЛ'„) '1о(ао+ Е) дг ),=о гоо(до+ Е) Обозначая, как всегда, Е(М„=д и Е~)то =9, получаем г (+Ч 2(у) (2ггЛ„.) (9.2! ) составим отношение правдоподобия л(, (2,'2'( ) ) А(у гн) о ехр( гУо+Е ~до('1о+Е) 7' где 7(н) = ((г',о(г)у(!)огг — модуль корреляционного интеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
