Боришанский Справочник по теплопередаче (555275), страница 11
Текст из файла (страница 11)
4-?[ даны решения для тех же слу'шев, что и для неограниченной пластины. Кроме того, дано приближенное решение для случая, когда шар помещен в неограниченный массив, причем охлаждение его происходит путем теплопроводности. 72 Теялонроводносгь нри несгачионарном режиме [ Гл. 4 где 4В!', 2812 В = .; В ш = )2 Пг + В12) .' 2= )г !В!2+ В +52 ) и 3, — корни характеристических уравнений (для цилиндра бес.
конечной длины см. табл. 4-3 и для неограниченной пластины— табл. 4-!). Пример. Стальной цилиндр !В 200 мм и длиной 200 мм нагрет до температуры 1, = 500' С. В момент времени т = 0 цилиндр номе. щен в тающий лед (т, = О' С). Коэффициент теплоотдачи а принимаем равным 5000 икал/м'град.час. Для стали а = 45 !О-'м'/час, Л = ЗО икал)м град час, Необходимо найти температуру в центре цилиндра через !2 мин.
Решение находим для бесконечной пластины толщиной 2З 200 мм и для бесконечного цилиндра 217, = 200 мм, Для пластиньс ат 45.10-'.0,2 Ро= — = ' =09; М О,!' аз 5000 0 ! В1 = — ' =!7! Л 30 По рис. 4-2: ! — В „„0,24; й 2 0,76. Для цилиндра: ат 45 10- ° .0,2 Ро = — * =09; 2 но О,! з ай, 5000 О,! В1 — = — = !7. Л 30 По рис. 4-5: ! — й 0,0! 6; й 0,98. Таким образом, для цилиндра конечной длины Ь, „, 0,76 0,98=0,745; =О+(500 — 0) 0745 372' С.
б) Для цилиндра ограниченной длины решение дано также для случая, когда поверхность цилиндра в начальный момент охлаждается до температуры ум которая .поддерживается все время постоянной. 4-7. Пластина конечных размеров (параллелепнпед) [Л. 4-7[ а) Условия задачи те же, что в 5 4.3, а, но пластина имеет конечные размеры, т.. ес представляет собою параллелепипед со сторонами 2ап 25, и 23м Начало координат помещено в центре параллелепипеда. 73 Метод конечных разностей й 4.3 ) Безразмерная температура в точке параллелепипеда с координа. тами (х, У, г) в момент времени ч: ! — !1 йчй2 ° . 2 1 Здесь й, — безразмерная температура в плоскости с координатой х для неограниченной пластины толщиной 251 — формула (4-1! ); й, — безразмерная температура в плоскости с координатой х У для неограниченной пластины толщиной 2бы й, — безразмерная температура в плоскости с координатой х г лля неограниченной пластины толщиной 24,, Количество тепла, отданное параллелепипедом, равно: ()=Вй,д,й,с!(1,— 1,)'Я ~~)~ ~~ ВЫ В,зВез Х л 1т 1Е 1 Х ехр 1 — 11 -1 — з+ — 11 аг (4-33) 2В!' 6(В!2+ И + Й Для пластины конечных размеров даны также решения для условий, аналогичных приведенным в й 4-3, б и 4-3, в.
где 4-8. Метод конечных разностей В тех случаях, когда аналитическое решение задачи нестапионарной теплопроводности затруднено, можно провести численный расчет с помощью мегола конечных разностей, заменив дифференпиальное уравнение (4-2) уравнением в конечных разностях. 1 Для тел с практически по. йш йл йчм йх стояннымн физическими свойствами этот метод сводится к следу- 1 ющемт (Д. 4-1). 1 Рассматриваемое тело разби! 1 1 1ту дл вается на слои одинаковое тол- !у лллл щнны Ьх, как то показано схема- 1 ой" 1 тически' на рис.
4-10. 1 '1 1 1 Далее выбирается достаточно 1 1 1 малый конечный промежуток вре. мени Лч. Символом 0„ обозначает- 1 тройй ся температура в середине и-го ' . ! 1 слоя в течение всего й-го проме- хр й .1 !в жутка времени. Непрерывное рас- 1 . 1 ! 1' 1 1 ' Псе расчете многослойной стенке Еч Еся абчнесс атКЛЧЛЫВ222тея РЧВЛМЕ Рес. Хчо. Схеме рчэбеече теле ее ЕЕЛЕЧЕЕЫ 1ХДслч ковечеме алое пределеиие температур заменяется, следовательно,лочаиой линией !(х).
Так как линия температур в пределах л-го слоя имеет два наклона, то первая производная температуры по координате получает в конечных разностях два значения; йб'~ В„+зд — В а (- -' йх + Лх (-, = йВ~ В„„— В„„ дх, йх (4-34) Вторая производная теиперзтуры по координате в конечных раз- ностях ( В — -) Вн Ьх Внз.~ з+ В ~ а — 29„а (4 33) йх (зх)з в*В (йх1+ Ьхз Производная теипературы по времени в конечных разностях для л-го слоя йВ В.,а+ — В, Б= йт (4-38) Такни образом, уравнение (4-2) в конечных разностях для одна. мерной задачи примет вид: 2а /Вн+!,и+ "н — !,а ч Вн.ачл Вна Отсюда приращение температуры л-го слоя за промежуток времени Ьч равно: 2айс у Вн.~-па+ Ва-1,* Вн ь+! — Внз = )з ~ 2 Внь).
(4-38) Для удобства грай!нческих построений целесообразно выбирать промежуток времени нз условия: (йх)' йи (4-33) При этом множитель пропорциональности в (4-37) равен единице, После выбора значения йх, удобного для графического пастрое. ния в данных конкретных условиях, строится начальное (заданное) распределение температур в виде ломаной линии 0723...
(см, рнс. 4-!!). Промежуток времени Ьт определяется' по заданным зизчениям зх.и а согласно условию (4-39). Затем соединяют прямыми точки ! н д, 2 и 4 и т. д., получая иа пересечении этих прямых с серединой соответствующего слоя точки 23 д'..., Точки 0' и 1' получаются с учетом условий на поверхности тела. Для этого находится точка й, ордвната нагорай равна температуре обра- 74 Теллолроеодносгь лри несгационарном режиме ( Гл. 4 9 4-9 ) Метод элвлемгарнык балансов 75 ной толщине дополни. лй тельной стенки (см, $3-1). Параллельно поверхности тела, на расстоянии Ьх проводится линия 2 ' ММ. Г!рячая, соединяющая точки О и и', определяет на линии МЬГточку а. Линия, соединяющая точку а с точкой 2, дает точку 1' новой температурной кривой.
Найденная температурная кривая О', !', 2',... принимается за исходную и построение повторяется для получения ЬГ кривой Оч, !", 2", и т. д„ согласно схеме на рис. 4-11, После некоторого времени, когда температурные меняться медленно, целесообразно увеличить отрезк ственно. Ьт, Рве. 4-Ы. Схема х оасчсту температуры па псвсрх- хостп потопам хоьсчпмч разсостсй кривые начнут и Ьх и, соответ- 4-9.
Метод элементарных балансов Метод элементарных балансов является развитием рассмотренного в Г! 4-8 метода конечных разностей на случай трехмерного тела, физические хзрзктернстикн которого явллются функцией температуры. Граничные условия могут быть заданы любым способом и являться фуннцией времени. Тело разбивается на ряд конечных, но достаточно малых параллелепипедов со сторонами Ьх, Ьу, Ьз. Контуры тела также описываются, с соответствующим приближением, серией таких параллелепипедов. Расчетными тачками являются углы параллелепипедов, Температура в расчетной точке в данный момент времени обозначается через г, Темперзтура в данный момент времени в соседних точках, находящихся на расстоянии Ьх, Ьу, Ьл, обознзчается через г„+д, !у+а», ! +а .
Температура расчетной точки в последующиз момент вРемени, т. е, чеРез пРочежУток Ьт, обозначаетса г,чат Начальное распределение течператур в теле задано. Известен закон изченения Физических харзктерастик и граничные условия. Внутри элементарных параллелепипедов изменение температуры считается линейным. Неже приводятся расчетные формулы для однородного тела, фн. зическне характеристики которого явля:отса функцией температуры, а граничные условия заданы в виде температуры поверхности )Л, 4-2), Схема расположения расчетной точки дана на рис. 4-12.
Принимается, что: ) Т=сопз1: )ь А+В!; с С+ 2) изотермические поверхности в пределах данного элемента представляют собой равноотстоящие параллельные плоскости; 3) величина среднего за промежуток времеви йт теплового потока через какую-либо поверхность пропорциональна начальному в пределах времени йт значению составляющей температурного градиента; 4) увеличение теплосодержания элемента йх дуй«считается пропорциональнымым приросту температуры в средней точке его объема. Расчетная формула имеет вид: Рнс. а-!Э.
Схема рэсиоложсннв расчствоя точки ири иольэоввиин методом элементарных балансов йг„ (1„ ,„)1„ ,„ я(т)т+ р((1) . + йг (г )! % (т )1 л х+ал х+ах ««Еа» «+ах (4-40) хх' (1) хх' (1) Здесь Ьт / В 1(йх)х ( 4+ 2 1); Ьт / В =,(ду) ~А+-2-1~' хх' (1) = С + Ру; 2 !1Г, (т) + яг (г) + йг,(г)) Я(1) ! ' м'(т) формула (4-40) позволяет по известному начальному распределению температур найти последовательно величины температур во всех расчетных точках в моменты времени ч=лт, с=йб-., с = Зйх..., и т.
д. За расчетный промежуток времени дх принимается н а и м е н ь. ш а я из следующих двух величин: у(с+В!„„) . У йхывх у(С+В! !„) ! "! „(йл)' (йу) (йх)' „ (4-'4! ) ы йтаих 76 Теплопроеодиость при нестационаряом режиме ( Гл. 4 $ 4-9) Метод злеменгаркых балансов Здесь г„,а„н ую!я — наибольшая аг кг Вг кг ц нзиченьшая температуры в теле при заданных начальных и грацичных условиях. М, И Если система состоит из не- ( ! 1 скольких всп! ств или окружена М ) ! и ! ! зг жидкой средой.
величина Ьт ,„ должна быть найдена для всех 1 г ! /~ расчетн:гх случаев, встречаюших. р л «(с ! !хю ~ 1г ся в системе, н из найденных ее значений в расчете принимается М ' , '! у ' и а им гн ь шее. м Для сложных систем расчет М вЂ” - -7-,~ — —— см. в (Л, 4-3). 3'~' Я Пример. Куб из магнезита с длиной ребра Ь=0,4 м, равномерно прогретый до ! = !000'С, помещен в проточную воду с Цекгяр куда — 0'С Величина в етом случае рнс. 4-!з. схема рсзечзхя яхве ввв велика, и можно считать, что на расчете поверхности куба во все время процесса Г = гь Физические характеристики магнезита: ! = 3003 кг/м', Х = !Π— 0,007! ккал/м час град т.
е. А=!О; В= — 0007)! с=022+000011 ккалгм.час град (т.е. ==0,22, 77 = 0,000!), Найти характер изменения температуры центра куба во времени, Разбиваем куб тремя систечачи взаимно-перпендикулярных плоскостей иа 64 куба с длиной ребра Ьк=бу=Ьг=0,1 м. Разбивка н расчетные точки показаны иа рнс. 4-!3; иа фигуре представлена '!', часть куба. Буквой В' обозначены точки, находящиеся на поверхности куба. Одинаковые номера имеют точки, температура которых равна по условию симметрии г „=1000'С, ! .,„=0'С. По формулам (4-41) соответственно получзем: Ьс ,„ = 0,246 часа; Ьс,„= 0,1! часа.
Прннниаеч наименьшее значение, т. е. полагаем Ьт 0,11 часа. Далее, поскольку Ьк= Ьу = Ьг, Ьс б В К' =%' =(гг =%'= —,'А -1- — !г)=00366 — 00000!26г; М (1) = 0,22 + О,ОООН; рх 6 (0,0366 — 0,00301231) 0,22 — 0,0000768! 0,22 + 0,000! ! 0,22 + О,ОООН Согласно (4-40) получаем расчетные формулы для всех точек: 607 (1,) 1, !!л+а, - )7 (г~)1~ + Л7 (! ) 78 20плопроаодыость яри нестоцпоыйрном режиме (Гл. 4 0 7000 000 000 000 0,00848 мцчас; 4) а! П)О.
— 0.00802 м*/час 5) а 0,00318 мт)час (прн 1- 1000'). 4(е'(уз] Уз (Г(!!) т! тгл+ат = )((тз)та+ д(1 ) + м(у,) 2Ю (1,) У, 2% (1,) 7, уз,т.|-ач )~ ( В) уа + ((7 (1 )! + Гу(! '! Зж'(У,) 1, !4, +аз= )т(тч) (ч + 7(7 (1,) Здесь цифровые индексы прн у означают номер точки иа рис, 4-!3. Результаты подсчетов сводятся в таблицу: тн 'С 1. 'с т !час.) гм 'С 0,00 0,1! 0,22 !000 !000 982 1000 925 843 108 1000 776 580 ! 000 851 709 1,21 48 На рис. 4-14 дано тра!рическое сопоставление результатов расчета по методу элементарных балансов с вычисленными по аналити.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
