Решение задач (555136), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

H₁ - оба канала защищены от воздействия помех;

H₂ - первый выбранный канал защищен, второй вы­бранный канал не защищен от воздействия помех;

H₃ - первый выбранный канал не защищен, второй выбранный канал защищен от воздействия помех;

H₄ — оба выбранных канала не защищены от помех. Тогда

и

Задача. 1.5.1 По каналу связи передается 6 сообщений. Каждое из сообщений может быть искажено помехами с вероятностью 0.2 независимо от других. Найти вероят­ность того, что

1. 4 сообщения из 6 не искажены;

2. не менее 3 из 6 переданы искаженными;

3. хотя бы одно сообщение из 6 искажено;

4. не более 2 из 6 не искажены;

5. все сообщения переданы без искажения.

Решение. Так как вероятность искажения 0.2, то вероят­ность передачи сообщения без помех — 0.8.

1. Используя формулу Бернулли (1.17), найдем вероят­
ность передачи 4 сообщений из 6 без помех:

2. не менее 3 из 6 переданы искаженными:

3. хотя бы одно сообщение из 6 искажено:

4. хотя бы одно сообщение из 6 искажено:

5. все сообщения переданы без искажения:

Задача. 1.5.2 Вероятность того, того, что летом день будет ясным, равна 0.42; вероятность пасмурного дня рав­на 0.36 и переменной облачности - 0.22. Сколько дней из 59 можно ожидать ясных и пасмурных?

Решение. Из условия задачи видно, что надо искать наи­более вероятное число ясных и пасмурных дней.

Для ясных дней p = 0.42, n = 59. Составляем неравен­ства (1.20):

59 • 0.42 + 0.42 — 1 < m₀ < 59 • 0.42 + 0.42.

Отсюда

24.2 ≤ m_o ≤ 25.2 → m_o = 25.

Для пасмурных дней p = 0.36, n = 59 и

0.36 • 59 + 0.36 — 1 ≤ M₀ ≤ 0.36 • 59 + 0.36;

Следовательно 20.16 ≤ M₀ ≤ 21.60; → M₀ = 21.

Таким образом, наиболее вероятное число ясных дней m_o =25, пасмурных дней - M₀ = 21. Тогда летом можно ожи­дать m_o + M₀ =46 ясных и пасмурных дней.

Задача. 1.5.3 На лекции по теории вероятностей при­сутствует 110 студентов курса. Найти вероятность того что

1. k студентов (k = 0,1,2) из присутствующих родились первого сентября;

2. хотя бы один студент курса родился первого сентя­бря.

Решение. Вероятность родиться 1 сентября любому сту­денту курса

p =1/365 очень мала, поэтому используем фор­мулу Пуассона (1.22). Найдем параметр Пуассона. Так как

n = 110, то λ = np = 110 • 1 /365 = 0.3.

Тогда по формуле Пуассона

Задача. 1.5.4 Вероятность того, что деталь не стан­дартная, равна 0.1. Сколько деталей нужно отобрать, чтобы с вероятностью P = 0.964228 можно было утвер­ждать, что относительная частота появления нестан­дартных деталей отклоняется от постоянной вероятно­сти p = 0.1 по абсолютной величине не более, чем на 0.01 ?

Решение.

Требуемое число n найдем по формуле (1.25). Имеем:

p = 1.1; q = 0.9; P = 0.96428. Подставим данные в формулу:

Откуда находим

По таблице значений функции Φ(x) находим, что

Задача. 1.5.5 Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0.2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 конденсаторов выйдут из строя

1. ровно 10 конденсаторов;

2. не менее 20 конденсаторов;

3. менее 28 конденсаторов;

4. от 14 до 26 конденсаторов.

Решение. Имеем п = 100, p = 0.2, q = 1 - p = 0.8.

1. Ровно 10 конденсаторов.

Так как п велико, воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа:

Вычислим

Так как функция φ(х) — четная, то φ(-2,5) = φ(2,50) = 0,0175 (находим по таблице значений функции φ(х). Искомая вероятность

2. Не менее 20 конденсаторов;

Требование, чтобы из 100 конденсаторов из строя вы­шли не менее 20, означает, что из строя выйдут либо 20, либо 21, ..., либо 100. Таким образом, т₁ = 20, т₂ =100. Тогда

По таблице значений функции Φ(x) найдем Φ(x₁) = Φ(0) = 0, Φ(x₂) = Φ(20) = 0.5. Искомая вероятность:

3. Менее 28 конденсаторов;

(здесь было учтено, что функция Лапласа Ф(x) - нечет­ная).

4. От 14 до 26 конденсаторов. По условию m1= 14, m₂ = 26.
Вычислим x ₁,x₂:

Задача. 1.5.6 Вероятность появления некоторого собы­тия в одном опыте равна 0.6. Какова вероятность, что это событие появиться в большинстве из 60 опытов?

Решение. Количество m появлений события в серии ис­пытаний находится в промежутке [0; 60]. «В большинстве опытов» означает, что m принадлежит промежутку [30, 60.] По условию n = 60, p = 0.6, q = 0.4, m₁ = 30, m₂ = 60. Вычислим x₁ и x₂:

Случайные величины и их распределения

Задача. 2.1.1 Дана таблица, где в верхней строке указа­ны возможные значения случайной величины X, а в нижней — их вероятности.

Может ли эта таблица быть рядом распределения X?

Ответ: Да, так как p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + p₅ = 1

Задача. 2.1.2 Выпущено 500 лотерейных билетов, причем 40 билетов принесут их владельцам выигрыш по 10000 руб., 20 билетов — по 50000 руб., 10 билетов — по 100000 руб., 5 билетов — по 200000 руб., 1 билет — 500000 руб., осталь­ные — без выигрыша. Найти закон распределения выигры­ша для владельца одного билета.

Решение.

Возможные значения X: x₅ = 10000, x₄ = 50000, x₃ = 100000, x₂ = 200000, x₁ = 500000, x₆ = 0. Вероятности этих возможных значений:

Искомый закон распределения:

Задача. 2.1.3 Стрелок, имея 5 патронов, стреляет до первого попадания в цель. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.7. Построить закон распределе­ния числа использованных патронов, найти функцию рас­пределения F(x) и построить ее график, найти P(2 < x < 5).

Решение.

Пространство элементарных событий опыта

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

где событие {1} - попал в цель, событие {0} - не попал в цель. Элементарным исходам соответствуют следующие значения случайной величины числа использованных па­тронов: 1, 2, 3, 4, 5. Так как результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущего, то вероятности воз­можных значений:

p₁ = P(x₁ = 1) = P(1) = 0.7; p2 = P(x₂ = 2) = P(01) = 0.3 · 0.7 = 0.21;

p₃ = P(x₃ = 3) = P(001) = 0.3² · 0.7 = 0.063;

p₄ = P(x₄ = 4) = P(0001) = 0.3³ · 0.7 = 0.0189;

p₅ = P(x5 = 5) = P(00001 + 00000) = 0.3⁴ · 0.7 + 0.3⁵ = 0.0081.

Искомый закон распределения:

Найдем функцию распределения F(x), пользуясь формулой (2.5)

x ≤1, F(x) = P(X < x) = 0

1. < x ≤2, F(x) = P(X < x) = P₁(X₁ = 1) = 0.7

2. < x ≤ 3, F(x) = P₁(X = 1) + P₂(x = 2) = 0.91

3. < x ≤ 4, F(x) = P₁ (x = 1) + P₂(x = 2) + P₃(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P₁(x = 1) + P₂(x = 2) + P₃(x = 3) +

+P₄(x = 4) = 0.973 + 0.0189 = 0.9919

x > 5, F(x) = 1

Найдем P(2 < x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < x < 5) = F(5) — F(2) = 0.9919 — 0.91 = 0.0819

Задача. 2.1.4 Дана F(x) некоторой случайной величины:

Записать ряд распределения дляX.

Решение.

Из свойств F(x) следует, что возможные значения слу­чайной величины X - точки разрыва функции F(x), а со­ответствующие им вероятности - скачки функции F(x). Находим возможные значения случайной величины X={0,1,2,3,4}.

Задача. 2.1.5 Установить, какая из функций

является функцией распределения некоторой случайной величины.

В случае утвердительного ответа, найти вероят­ность того, что соответствующая случайная величина принимает значения на [-3,2].

Решение. Построим графики функций F₁(x) и F₂(x):

Функция F₂(x) не является функцией распределения, так как не является неубывающей. Функция F₁(x) является

функцией распределения некоторой случайной величины, так как является неубывающей и удовлетворяет условию (2.3). Найдем вероятность попадания на промежуток:

Задача. 2.1.6 Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X:

Найти:

1. коэффициент C;

2. функцию распределения F(x);

3. вероятность попадания случайной величины в интер­вал (1, 3).

Решение. Из условия нормировки (2.9)находим

Следовательно,

По формуле (2.10) находим:

Таким образом,

По формуле (2.4) находим

Задача. 2.1.7 Случайное время простоя радиоэлектрон­ной аппаратуры в ряде случаев имеет плотность вероят­ности

где M = lge = 0.4343...

Найти функцию распределения F(x).

Решение. По формуле (2.10) находим

где

Задача. 2.2.1 Дан ряд распределения дискретной случай­ной величины X:

Найти математическое ожидание, дисперсию, сред­нее квадратичное отклонение, M[2X + 3], D[-3X + 2].

Решение.

По формуле (2.12) находим математическое ожидание:

M[X] = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ + x₄p₄ = 10 · 0.2 + 20 · 0.15 + 30 · 0.25 + 40 · 0.4 = 28.5

M[2X + 5] = 2M[X] + M[5] = 2M[X] + 5 = 2 · 28.5 + 5 = 62. По формуле (2.19) найдем дисперсию:

Задача. 2.2.2 Найти математическое ожидание, диспер­сию и среднее квадратичное отклонение непрерывной слу­чайной величины X, функция распределения которой

.

Решение. Найдем плотность вероятности:

Математическое ожидание найдем по формуле (2.13):

Дисперсию найдем по формуле (2.19):

Найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины:

Тогда

Среднее квадратичное отклонение

Задача. 2.2.3 Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения:

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = e^X.

Решение. M[Y] = M[e^X] = e^{-- 1} · 0.2 + e⁰ · 0.3 + e¹ · 0.4 + e² · 0.1 =

= 0.2 · 0.3679 + 1 · 0.3 + 2.71828 · 0.4 + 7.389 · 0.1 = 2.2.

D[Y] = D[e^x] = M[(e^X )² — M² [e^X] =

[(e^-1 )² • 0.2 + (e⁰)² • 0.3 + (e¹ )² • 0.4 + (e²)² • 0.1] — (2.2)² =

= (e^--2 • 0.2 + 0.3 + e² • 0.4 + e⁴ • 0.1) — 4.84 = 8.741 — 4.84 = 3.9.

Задача. 2.2.4 Дискретная случайная величина X может принимать только два значения x₁ и x₂, причем x₁ < x₂. Известны вероятность p₁ = 0.2 возможного значения x₁, математическое ожидание M[X] = 3.8 и дисперсия D[X] = 0.16. Найти закон распределения случайной величины.

Решение. Так как случайная величина X принимает толь­ко два значения x₁ и x₂, то вероятность p₂ = P(X = x₂) = 1 - p₁ = 1 - 0.2 = 0.8.

По условию задачи имеем:

M[X] = x₁p₁ + x₂p₂ = 0.2x₁ + 0.8x₂ = 3.8;

D[X] = (x²₁p₁ + x²₂p₂) - M²[X] = (0.2x²₁ + 0.8x²₂) - (0.38)² = 0.16.

Таким образом получили систему уравнений:

Условию x₁2 удовлетворяет решение x₁ = 3. x = 4. По­этому искомый закон распределения имеет вид:

Задача. 2.2.5 Случайная величина X подчинена закону распределения, график плотности которого имеет вид:

Найти математическое ожидание, дисперсию и сред­нее квадратичное отклонение.

Решение. Найдем дифференциальную функцию распре­деления f(x). Вне интервала (0, 3) f(x) = 0. На интервале (0, 3) график плотности есть прямая с угловым коэффици­ентом k = 2/9, проходящая через начало координат. Таким образом,

Математическое ожидание:

Найдем дисперсию и среднее квадратичное отклоне­ние:

Задача. 2.2.6 Найти математическое ожидание и дис­персию суммы очков, выпадающих на четырех игральных кубиках при одном бросании.

Решение. Обозначим A — число очков на одном кубике при одном бросании, B – число очков на втором кубике, C — на третьем кубике, D — на четвертом кубике. Для случайных ве­личин A, B, C, D за­кон распределения один.

Тогда M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.5

Задача. 2.3.1 Вероятность того, что частица, вылетев­шая из радиоактивного источника, будет зарегистриро­вана счетчиком, равна 0.0001. За время наблюдения из ис­точника вылетело 30000 частиц. Найти вероятность то­го, что счетчик зарегистрировал:

1. ровно 3 частицы;

2. ни одной частицы;

3. не менее 10 частиц.

Решение. По условию п = 30000, p = 0.0001. События, со­стоящие в том, что частицы, вылетевшие из радиоактив­ного источника, зарегистрированы, независимы; число п велико, а вероятность p мала, поэтому воспользуемся рас­пределением Пуассона: Найдем λ : λ = пp = 30000 • 0.0001 = 3 = М[Х]. Искомые вероятности:

Задача. 2.3.2 В партии 5% нестандартных деталей. На­удачу отобраны 5 деталей. Написать закон распределе­ния дискретной случайной величины X — числа нестан­дартных деталей среди пяти отобранных; найти мате­матическое ожидание и дисперсию.

Решение. Дискретная случайная величина X — число нестандартных деталей — имеет биномиальное распреде­ление и может принимать следующие значения: x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 3, x₅ = 4, x₆ = 5. Вероятность нестандарт­ной детали в партии p = 5/100 = 0.05. Найдем вероятности этих возможных значений:

Напишем искомый закон распределения:

Найдем числовые характеристики:

0 • 0.7737809 + 1 • 0.2036267 + 2 • 0.0214343+

+ 3 • 0.0011281 + 4 • 0.0000297 + 5 • 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

или

M[X] = n • p = 5 • 0.05 = 0.25.

D[X] = M[X² ] – M² [X] = 0² • 0.7737809 + 1² • 0.2036267+

+ 2² • 0.0214343 + 3² • 0.0011281 + 4² • 0.0000297 + 5² • 0.0000003- 0.0625 =

= 0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

или D[X] = n • p • (1 - p) = 5 • 0.05 • 0.95 = 0.2375.

Задача. 2.3.3 Время обнаружения цели радиолокатором распределено по показательному закону

где 1/λ = 10 сек. - среднее время обнаружения цели. Найти вероятность того, что цель будет обнаружена за время от 5 до 15 сек. после начала поиска.

Решение. Вероятность попадания случайной величины X в интервал (5, 15) найдем по формуле (2.8):

При получаем

= 0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 • 0.6321 = 0.3834

Задача. 2.3.4 Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону с параметрами a = 0, σ = 20 мм. За­писать дифференциальную функцию распределения f(x) и найти вероятность того, что при измерении допущена ошибка в интервале от 5 до 10 мм.

Решение. Подставим значения параметров a и σ в диффе­ренциальную функцию распределения (2.35):

По формуле (2.42) найдем вероятность попадания слу­чайной величины X в интервале [0, 5) :

Здесь значения функции Лапласа взяты по таблице.

Задача. 2.3.5 Цена деления шкалы амперметра равна 0.1 ампера. Показания амперметра округляются до ближай­шего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0.03 ампе­ра. Найти математическое ожидание, дисперсию ошибки округления отсчета и функцию F(x).

Решение. Ошибку округления отсчета можно считать рас­пределенной равномерно на [0; 0.1], т.е. a = 0, b = 0.1. То­гда дифференциальная функция распределения f(x) будет иметь вид

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)