2sem_3 (552397), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Поэтому должно быть A ≤ 0 . Поскольку температура, измеренная по абсолютной шкале,является существенно положительной величиной, то приходим к выражению∆Q1 ∆Q2+≤ 0.T1T2(3.17)Т.о., мы получили частный случай неравенства Клаузиуса.Неравенство Клаузиуса, конечно, можно получить, исходя из постулата Клаузиуса.Для этого выберем ∆Q1′ таким, чтобыA = ∆Q1 + ∆Q1′ + ∆Q2 + ∆Q2′ = 0 , или ∆Q1 + ∆Q1′ = −(∆Q2 + ∆Q2′ ) .(!.18)Тогда единственным результатом кругового процесса, совершенного сложной системой, будет передачатеплоты ∆Q1 + ∆Q1′ от резервуара R1 к резервуару R2 .

Найдем эту теплоту.Теплоту ∆Q1′ можно определить из (!.18), воспользовавшись (!.12),∆Q1 + ∆Q1′ + ∆Q2 −T2∆Q1′ = 0 ⇒T1∆Q1′ =T1(∆Q1 + ∆Q2 ) .T2 − T1(!.19)ТогдаT1  T2T T  ∆Q ∆Q2  . ∆Q1 − ∆Q1 + ∆Q1 + ∆Q2  = 1 2  1 +T2 − T1  T1TTTT−21 12 Согласно постулату Клаузиуса ∆Q1 + ∆Q1′ ≥ 0 , если T1 > T , и ∆Q1 + ∆Q1′ ≤ 0 , если T1 < T .∆Q1 + ∆Q1′ =(!.20)В обоих случаях снова получаем∆Q1 ∆Q2+≤ 0.T1T2Теперь, используя полученное соотношение (3.17), докажем вторую теорему Карно.Вторая теорема Карно.Вернемся в этом параграфе к первоначальному разделению тепловых машин на нагреватель с температуройT1 и холодильник ( T2 ). Количество теплоты ∆Q2 будем, как и прежде, считать положительным, еслихолодильник его получает.

При таком выборе знаков (3.17) принимает вид∆Q1 ∆Q2−≤ 0.T1T2Отсюда легко получить∆Q1 − ∆Q2 T1 − T2≤, или∆Q1T1η ≤ ηC .(!.21)Коэффициент полезного действия всякой тепловой машины не может превосходить коэффициентполезного действия идеальной машины, работающей по циклу Карно с теми же температурами холодильникаи нагревателя.Т.о., мы доказали вторую теорему, принадлежащую Карно, которая позволяет оценить верхний пределКПД тепловой машины.Неравенство Клаузиуса (общий вид).Чтобы получить фундаментальное соотношение, называемое неравенством Клаузиуса в общем виде,рассматривают совершаемый термодинамической системой I круговой процесс (обратимый илинеобратимый), в ходе которого она заимствует у произвольного числа тепловых резервуаров Ri количестватеплоты∆Q1 , ∆Q2 ,..., ∆Qi ,..., ∆Qn ,за счет чего производит эквивалентную работу∆Q1 + ∆Q2 + ...

+ ∆Qi + ... + ∆Qn .8Далее систему I теплоизолируют и для обеспечения необходимого теплового баланса привлекают n машинКарно, совершающих круговой процесс, и вспомогательный тепловой резервуар R0 , настолько большой,чтобы в процессе теплообмена его температура не менялась.Схема такой установки показана на рисунке.Основываясь на приведенной схеме, и, например, постулате Томсона-Планка, приходят к неравенству,имеющему вид (3.22).n∑I∆Q1i =1R1R2RnT1T2Tn∆Q1′K1∆Q2′∆Qn′∆Q01R01. Вспомогательные приспособления – машиныКарно и тепловой резервуар R0 - использовалисьKnK2∆Q02(3.22)Кружок у знака суммы означает, что соотношение(3.22) относится к круговому процессу, выполненномусистемой I .Для того, чтобы придать фундаментальностьнеравенству (3.22), т.е. обосновать его применимость кпроизвольной термодинамической системе,совершающей круговой процесс, проведем поэтапноследующие рассуждения.∆Qn∆Q2∆Qi≤ 0.Tiтолько для построения схемы доказательства и былипривлечены уже после того, как круговой процесс вуже произошел.термодинамической системе IПоэтому их наличие не может отразиться насправедливости полученного соотношения (3.22).2.

Предполагалось, что резервуары Ri не∆Q0 nT0обмениваютсятеплотоймеждусобой.Вдействительности такой теплообмен не играет роли, т.е. неравенство (3.22) остается справедливым и при егоналичии, а при необходимости всегда можно ввести адиабатические перегородки, исключающие указанныйтеплообмен.3. Предполагалось, что тепловые резервуары достаточно (в пределе, бесконечно) велики, чтобы отбор у нихтепла не влиял на температуру резервуаров, которая должна оставаться постоянной.В общем случае резервуары должны быть конечными, а их температуры могут произвольно меняться вовремени. Формально этот случай сводится к рассмотренному следующим образом. Разобьем процесстеплообмена, в результате которого резервуар Ri отдает системе I теплоту ∆Qi на сколь угодно большоечисло N бесконечно малых процессов, в которых от резервуара систему передается бесконечно малоеколичество теплоты δQi при постоянной для каждого из этих процессов температуре.

Смысл такой операции вследующем. Один большой резервуар с переменной температурой эквивалентен N последовательновключаемым резервуарам с разными, но постоянными температурами, отдающими в свою очередь системе Iтеплоту δQi и остающимися все остальное время теплоизолированными.4.

Такой подход позволяет при окончательной формулировке неравенства Клаузиуса пользоватьсяпредставлением о теплообмене системы I с окружающей средой, не вводя в рассмотрение тепловыерезервуары Ri . При этом температура T окружающей среды может меняться как во времени, так и впространстве.Итак, фундаментальное соотношение, называемое неравенством Клаузиуса, имеет вид:∫δQT≤ 0.(3.22)Равенство Клаузиуса.Пусть круговой процесс, совершаемый системой, – квазистатический. Для него справедливо неравенствоКлаузиуса∫δQT≤ 0.9Под температурой T для такого процесса мы можем понимать температуру самой системы, посколькутемпературы системы и среды одинаковы.Т.к. квазистатический процесс обратим в узком смысле, то мы можем провести тот же процесс по тому жепути, но в противоположном направлении.Для обратного процесса также справедливо неравенство Клаузиуса∫δQ ′≤ 0.T(!.23)и δQ ′ обозначают элементарные количества теплоты, получаемые системой на отдельных участкахпрямого и обратного процессов, соответственно.

Поскольку система проходит в обоих случаях через одни и теже равновесные состояния, то δ ′Q = −δQ , и выражение (!.23) приводится к виду:δQ∫δQT≥ 0.(!.24)Выражения (!.22) и (!.24) совместимы только в том случае, если взят знак равенства.Т.о., для квазистатического процесса неравенство Клаузиуса переходит в равенство:∫квстδQT= 0.(!.25)Энтропия.Допустим, что система может переходить из начального состояния 1 в конечное состояние 2 несколькимипутями, причем каждый из них представляет собой квазистатический процесс.Рассмотрим два из них – I и II .

Объединим эти процессы в одинI2квазистатический круговой процесс 1I 2 II1 и применим к нему равенствоКлаузиуса:∫1I 2δQT+∫2 II 1δQT= 0 , или∫δQ1I 2Т.о,∫1I 2δQT=∫1II 2δQTT.−∫1II 2δQT= 0.II1(!.26).Отношение количества теплоты, полученного системой при данной температуре, к значению T этойтемпературы называется приведенным количеством теплоты.

Тогда величинаδQTприведенное количество теплоты, полученное в бесконечно малом процессе, а интегралесть элементарное∫δQT- приведенноеколичество теплоты, полученное системой в конечном процессе.Пояснить физический смысл понятия «приведенное количество теплоты» можно, рассматривая передачуодного и того же количества теплоты при разных температурах.

Тепло, переданное газу и вызвавшееповышение его температуры, например от 1K до 2 K , приведет к весьма заметной активизациибеспорядочного теплового движения молекул газа, в то время как количество теплоты, вызвавшее повышениетемпературы газа от 100 K до 101K , практически не окажет влияния на тепловое движение молекул. Т.о.,приведенное количество теплоты показывает «ценность» полученного тепла, учитывая температуру системы,при которой оно было получено.Используя такую терминологию, равенству Клаузиуса (!.26) можно дать следующее определение.Приведенное количество теплоты, полученное системой при любом квазистатическом круговом процессе,равно нулю.Или эквивалентное ему.Приведенное количество теплоты, квазистатически полученное системой, не зависит от пути перехода, аопределяется лишь начальным и конечным состояниями системы.Мы получили весьма важный результат.

Равенство Клаузиуса, интерпретированное таким образом,позволяет ввести новую функцию состояния, которая получила название «энтропия» (от греческого entropia –поворот, превращение).Энтропия системы есть функция её состояния, определенная с точностью до произвольной постоянной.Разность энтропий системы в двух равновесных состояниях 2 и 1, по определению, равна приведенномуколичеству теплоты, которое надо сообщить системе, чтобы перевести её из состояния 1 в состояние 2 полюбому квазистатическому пути.Обозначив энтропии системы в состояниях 1 и 2 через S1 и S 2 , по определению, можем записать10δQ∫S 2 − S1 =1→ 2T.(!.27)С произвольной постоянной при определении энтропии дело обстоит так же, как и при определении энергиисистемы.

Физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропий в рассматриваемых состояниях. Принеобходимости за нуль можно принять значение энтропии в каком-либо определенном состоянии. Тогдапостоянной в определении энтропии можно придать определенное значение.Итак,S=∫квстδQT,(!.28)где интеграл берется для произвольного квазистатического процесса, переводящего систему в рассматриваемоесостояние из другого состояния, условно принятого за начальное.Для дифференциала функции S имеемУже неоднократно отмечалось, чтопоказывает, что еслиδQδQ δQ dS =  . T  квст(!.29)не является дифференциалом функции. В то же время формула (!.29)есть элементарное количество теплоты, квазистатически полученное системой притемпературе T , то после деления на T оно переходит в полный дифференциал функции состояния – энтропии.В качестве примера нахождения вновь введенной функции состояния вычислим энтропию S одного моляидеального газа.

Характеристики

Список файлов лекций