2sem_3 (552397), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Затем с помощью процесса Клаузиуса теплоту ∆Q2 отнимем у холодильника и вернемнагревателю. Тогда получится круговой процесс, единственным результатом которого является производствоработы A за счет эквивалентного ей количества теплоты ∆Q1 − ∆Q2 , полученного от нагревателя. Никакихдругих изменений в окружающей среде не произойдет. Т.о., будет проведен процесс Томсона-Планка, которыйпо предположению невозможен. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.Соответственно, из невозможности процесса Клаузиуса вытекает невозможность процесс Томсона-Планка.Предположим, что процесс Томсона-Планка возможен.
Тогда, используя этот круговой процесс, отнимем отменее нагретого тела теплоту ∆Q и за счет этой теплоты произведем механическую работу, подняв груз. Затемэнергию поднятого груза используем для нагревания (например, путем трения) более нагретого тела. Врезультате теплота ∆Q от менее нагретого перейдет к более нагретому телу, причем никаких другихизменений в окружающих телах не произойдет. Но это есть процесс Клаузиуса, который по предположениюневозможен. Это противоречие и доказывает высказанное утверждение.
При доказательстве был использован4не только постулат Клаузиуса, но и утверждение, что потенциальная энергия поднятого груза может бытьцеликом превращена в теплоту. Это утверждение является следствием опыта. Согласно первому началуколичество полученной теплоты точно равно потерянной потенциальной энергии груза.Т.о., постулаты Томсона-Планка и Клаузиуса эквивалентны.Обратимые и необратимые процессы.Если в результате какого-либо процесса система переходит из состояния A в состояние B и может бытьвозвращена хотя бы одним способом в исходное состояние A так, чтобы в окружающих телах не произошлоникаких изменений, процесс называется обратимым. Если такой возврат невозможен, то процесс называетсянеобратимым.Примерами обратимых процессов являются изобарический, изохорный, изотермический, адиабатический;необратимых – переход тепла от горячего тела к холодному, получение тепла через трение.Если систему можно вернуть в начальное состояние произвольным способом, не требуя, чтобы онапроходила через ту же последовательность состояний что и в прямом процессе, то прямой процесс называютобратимым в широком смысле.Если возможен обратный процесс, переводящий систему в исходное состояние через ту жепоследовательность состояний, которую она прошла в прямом процессе, то процесс A → B называютобратимым в узком смысле.Всякий процесс, обратимый в узком смысле, очевидно, обратим и в широком смысле.Любой квазистатический процесс обратим в узком смысле слова.
Для того, чтобы убедиться в этом,достаточно изменить знаки приращений всех параметров на обратные. Поэтому квазистатический процессможет идти как в прямом, так и в обратном направлении.Цикл Карно.В термодинамике из множества круговых процессов особое значение с точки зрения определениявозможности превращения тепла в механическую работу имеет круговой процесс, называемый циклом Карно.Это квазистатический круговой процесс, образованный из 2-х адиабат и 2-х изотерм. Рассмотрим в качестверабочего тела идеальный газ, помещенный в цилиндрический сосуд с поршнем.Сначала система, имеющая температуру T1 , приводится в тепловой контакт с нагревателем, имеющим туже температуру T1 .
Затем, бесконечно медленно уменьшая внешнее давление, систему заставляютквазистатически расширяться по изотерме 1-2. При этом системаP 1 Tпроизводит работу A12 против внешнего давления, заимствуя1теплоту ∆Q1 от нагревателя. После этого систему адиабатически2изолируют и заставляют квазистатически расширяться по адиабате2-3 до достижения ею температуры холодильника T2 . При этом4система снова совершает работу A23 против внешнего давления.T23В состоянии 3 систему приводят в тепловой контакт с холодильникомVи, непрерывно увеличивая давление, изотермически сжимают до′ < 0 ), и система отдаетсостояния 4.
В процессе 3-4 работа производится над системой ( A34 = − A34холодильнику теплоту ∆Q2 . Состояние 4 выбирается таким, чтобы можно было квазистатическим сжатием′ < 0 ).вернуть систему по адиабате 4-1 в исходное состояние 1, совершая работу над системой ( A41 = − A41В результате кругового процесса Карно внутренняя энергия системы не изменится, поэтому произведеннаясистемой работа равнаA = A12 + A23 + A34 + A41 = ∆Q1 − ∆Q2 .(!.1)Коэффициент полезного действия тепловой машины определяется выражением (1.43)η=∆Q1 − ∆Q2∆Q2= 1−.∆Q1∆Q1(!.2)Система участвует в теплообмене, получая теплоту от нагревателя в процессе 1-2 ( T = T1 ):δQ1 = CV dT + PdV = PdV0;V2V2V1V1∆Q1 = ∫ PdV = ∫ RT1и, отдавая теплоту холодильнику в процессе 3-4 ( T = T2 ):VdV= RT1 ln 2 ,VV1(!.3)5∆Q2 = RT2 lnV3.V4(!.4)Адиабаты 2-3 и 3-4 описываются уравнениями ПуассонаT1V2γ −1 = T2V3γ −1 , поделив, получаемT1V1γ −1 = T2V4γ −1 V2 V3=.V1 V4(!.5)Подставляя (!.3), (!.4) и (!.5) в (!.2), получаемVT2 ln 2 ∆Q2 V1 = 1 − T2 .η = 1−= 1−VT1∆Q1T1 ln 3 V4(!.6)Т.о., коэффициент полезного действия для цикла Карно:ηC = 1 −T2.T1(!.6)Мы получили аналитическое выражение знаменитой теоремы Карно.Заметим, что выбор адиабатического и изотермического процессов для построения цикла Карно не случаен,а определяется экономической целесообразностью, поскольку эти процессы обладают наибольшимикоэффициентами полезного действия среди всех квазистатических процессов.Теорема Карно.Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только оттемператур T1 и T2 нагревателя и холодильника, но не зависит от устройства машины, а также видаиспользуемого рабочего вещества.Насколько случайно в полученное выражение (!.6) не вошли характеристики рабочего тела, в данном случае– газа? Основываясь на втором начале термодинамики, можно показать, что КПД цикла Карно не зависит отвыбора рабочего тела.Рассмотрим две машины Карно имеющие общие нагреватель и холодильник с температурами T1 и T2 ,соответственно, но использующие разные рабочие вещества.
Пусть теперь КПД первой машины равен η , авторой - η ′ , причем η > η ′ . Покажем, что это допущение приводит к противоречию с постулатом второгоначала.Цикл Карно квазистатический, поэтому он может совершаться как в прямом, так и в обратном направлении.Пусть первая машина проходит m циклов в прямом направлении. При этом она отберет от нагревателятеплоту ∆Q1 , передаст холодильнику теплоту ∆Q2 и произведет работу A = ∆Q1 − ∆Q2 , например, поднявгруз.Остановим после этого первую машину и используем потенциальную энергию поднятого груза, чтобыпривести в действие вторую машину в обратном направлении.Очевидно, что вторая машина Карно будет работать как холодильная машина.
Пусть в результате m ′циклов она заберет от холодильника теплоту ∆Q2′ , передаст теплоту ∆Q1′ нагревателю и совершит работуA′ = ∆Q1′ − ∆Q2′ .Итог работы машин в m + m ′ циклах выражается уравнением:A − A′ = (∆Q1 − ∆Q2 ) − (∆Q1′ − ∆Q2′ ) = η ⋅ ∆Q1 − η ′ ⋅ ∆Q1′ .(!.7)Положим в основу доказательства постулат Клаузиуса.Выберем целые числа m и m ′ так, чтобы суммарная работа, выполненная обеими машинами, равнялась нулю:η ⋅ ∆Q1 − η ′ ⋅ ∆Q ′ = 0 .(!.8)Тогда результат завершившихся круговых процессов следующий:нагреватель получил теплоту∆Q1′ − ∆Q1 =η −η′∆Q1 > 0 ,η′(!.9)холодильник отдал теплоту∆Q2′ − ∆Q2 = (1 − η ′)∆Q1′ − (1 − η )∆Q1 = ∆Q1′ − ∆Q1 > 0 .(!.10)6Никаких других изменений не произошло. Поэтому единственным результатом процесса получился переходтеплоты от менее нагретого к более нагретому телу, что противоречит постулату Клаузиуса и доказываеттеорему Карно.Можно провести доказательство, положив в основу постулат Томсона-Планка (Сивухин, т.2, с.
102-103).Неравенство Клаузиуса.Используем рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы Карно, для получения весьма важногоследствия.Рассмотрим произвольную термодинамическую систему I , которая может обмениваться теплом с двумятепловыми резервуарами R1 и R2 , температуры T1 и T2 которых поддерживаются постоянными.Отвлечемся от понятий «нагреватель» и «холодильник» и поступим следующим образом. Будем считатьколичество теплоты, полученное системой I (отданное резервуаром), положительным, а отданное системой I(полученное резервуаром) – отрицательным. При таком подходе окончательный результат формулируетсясимметрично относительно обоих резервуаров.Пусть система I совершила произвольный круговой процесс (обратимый или необратимый), в котором онаполучила количество теплоты ∆Q1 от резервуара R1 и ∆Q2 от резервуара R2 .
Поскольку система вернуласьв исходное состояние, полное количество теплоты ∆Q1 + ∆Q2 , полученное ею, будет равно работе, которуюпроизвела система.После завершения системой I кругового процесса подключим к этим же резервуарам машину Карно,теплоизолировав с этого момента систему I . Теперь резервуары R1 и R2 могут обмениваться тепломтолько с машиной Карно.Пусть машина Карно совершила круговой процесс, в ходе которого она заимствовала теплоту ∆Q1′ отрезервуара R1 и теплоту ∆Q2′ от резервуара R2 . Машина Карно обратима, поэтому может работать какдвигатель и как холодильник. Кроме того, изотерма цикла Карно, а, следовательно, и работа могут бытьсделаны сколь угодно малыми.
С другой стороны, машина Карно может совершать много одинаковых циклов.Поэтому машина Карно позволяет получать как положительную, так и отрицательную работу любой напередзаданной величины. Т.о., образом всегда можно достичь, чтобы одна из величин ∆Q1′ или ∆Q2′ принялапроизвольное, положительное или отрицательное, значение.По определению∆Q2′T= 1− 2 ,∆Q1′T1(!.11)∆Q2′ ∆Q1′+= 0.T2T1(!.12)η = 1+илиОбъединим систему I и машину Карно в одну сложную систему. Циклы, последовательно совершенныесистемой I и машиной Карно, объединим в один общий круговой процесс.В этом процессе сложная система1. получила от резервуара R1 теплоту ∆Q1 + ∆Q1′ ;2.
получила от резервуара R2 теплоту ∆Q2 + ∆Q2′ ;3. совершила работу A = ∆Q1 + ∆Q1′ + ∆Q2 + ∆Q2′ .Дальнейшие рассуждения будем основывать на постулате Томсона-Планка.Подберем, используя возможности машины Карно, ∆Q1′ так, чтобы получилось∆Q1′ = − ∆Q1 .(!.13)Тогда из (!.12) получим∆Q2′ = −T2∆Q1∆Q1′ = T2.T1T1(!.14)Понятно, что при условии (!.13) в результате кругового процесса состояние резервуара R1 не изменится, атепловой резервуар R2 отдаст количество теплоты, равное∆Q2 + ∆Q2′ = ∆Q2 + T2 ∆Q ∆Q2∆Q1= T2 1 +T1T2 T1 .(!.15)7За счет этого тепла производится эквивалентная работаA = ∆Q2 + ∆Q2′ .(!.16)Если предположить, что произведенная работа положительна, то получим процесс Томсона-Планка, посколькуединственным результатом является получение работы за счет теплоты, взятой от одного источника, чтоневозможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
