2sem_1 (552395), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

По мереувеличения объема V и числа молекул в нем они становятся все меньше. Для больших объемов, содержащихгромадное количество молекул, флуктуации плотности мало заметны. Поэтому феноменологическаятермодинамика от флуктуаций отвлекается.Давление.Давление газа на стенку сосуда есть результат ударов молекул газа о стенку этого сосуда.Рассмотрим систему, состоящую из очень большого числа атомов или молекул, считая их маленькими, невзаимодействующими между собой шариками. Пусть вследствие малости объемов молекул по сравнению собъемом сосуда, в который они заключены, большую часть времени любая молекула находится в движении,относительно редко сталкиваясь с другими молекулами.

Столкновения молекул газа со стенками, какпоказывает опыт, вызывают её упругое отражение. За давление газа принимают величину P = FS,определяемую как отношение силы, действующей на участок стенки сосуда со стороны ударяющих молекул кплощади этого участка, усредненную за очень большие по сравнению с длительностью удара и длительностьюпромежутка времени между двумя последовательными ударами промежутки времени.6Давление газа воспринимается достаточно грубыми измерительными приборами как сила, непрерывнораспределенная во времени и по площади стенки, что объясняется как колоссальным количеством, так имикроскопичностью бомбардирующих стенку молекул. При повышении чувствительности приборов мы можемзарегистрировать самопроизвольные беспорядочные колебания давления – тепловые флуктуации.Установим количественную характеристику давления, применив в начале наиболее упрощенный подход.Очевидно, что в однородном изотропном пространстве любые направления движения молекул равновероятны.Как следствие, в трехмерном пространстве в направлении избранной оси движется1N61N61N61N молекул, если3N − полное число молекул, находящихся в рассматриваемомобъеме.

Если считать, что половина молекул движется«вдоль» оси, другая половина – «против», то в выделенном1N61N6направлении будет двигаться1от общего числа молекул.6Сделаем предельно упрощающее задачу приближение:все молекулы, содержащиеся в объеме, обладают одинаковойпо модулю скоростью v .rВозьмем плоскую площадку ∆S , перпендикулярную выбранной оси, нормаль n к которой направленанавстречу налетающим молекулам.II закон Ньютона устанавливает связь между силой, действующей состороны площадки и изменением импульса, налетающей молекулы:1N6rr(1)∆(mv ) = f ⋅ ∆t .Проектируя на направление нормали, получаемr(2)∆(mv )n = f n ⋅ ∆t = mv 2 − (− mv1 ) = mv 2 + mv1 .Если молекулы отражаются от площадки упруго, то v1 = v 2 = v иrn∆Sf n ⋅ ∆t = 2mv .(3)v∆Svv ⋅ ∆tv1v2Взаимодействие газа со стенкой будет определяться теми молекулами,которые смогут достичь стенки за время ∆t .

Если n − концентрациямолекул газа, то за время ∆t на площадку ∆S попадет ∆N молекул,равное∆N =1n ⋅ ∆S ⋅ v ⋅ ∆t .6(4)Следовательно,1Fn ⋅ ∆t = ∆N ⋅ f n ⋅ ∆t = 2mv nv ⋅ ∆S ⋅ ∆t .6(5)Одновременно о стенку сосуда ударяется громадное количество молекул. Практически бесконечномалые силы отдельных ударов складываются в конечную и практически постоянную силу.Т.о., давление, оказываемое молекулами газа на стенку, равноP=Fn 1= nmv 2 .∆S 3(6)Учитывая, что кинетическая энергия одной молекулы рассматриваемого газа равнаε=mv 2,2(7)получаемP=2nε .3Теперь последовательно устраним оба принятых упрощающих условия, попутно обсудив ценностьприближений, принимаемых в физике.Проведем рассмотрение применительно к единичному объему газа.Допустим, что молекулы газа имеют разные скорости:n1 молекул (в единице объема газа) движутся со скоростью v1 ,n2 → v2 ,.............., - это следующее приближение.ni → v i ................(8)7Причем полное число молекул газа (в единице объема) равноn1 + n2 + ...

+ ni + ... = ∑ ni = n ,(9)А средняя скорость молекулnnn64471 448 64472 448 6447i 448v1 + v1 + ... + v1 + v 2 + v 2 + ... + v 2 + vi + vi + ... + viv ==n∑n vi in.(10)Аналогично можем записать и для средней кинетической (другой нет) энергии молекул:ε =Заметим, что из (11) сразу следует∑n ε∑n εiinii.(11)=nε .(12)Выражение (12) определяет полную энергию молекул газа, содержащихся в рассматриваемом объеме.Поскольку все группы молекул распределены в пространстве изотропно, то понятно, что в выделенном нами1N молекул.6Число ударов о площадку ∆S за время ∆t со стороны молекул i − ой группы:1∆N i = ni vi ∆S∆t ,6направлении будет двигаться опять-таки(13)а полное число ударов равно∆N = ∑ ∆N i =Или1∆S∆t ∑ ni vi .6(14)1∆N= nv .∆S∆t 6Далее,r∑ ∆(mv )i n(15)1ni vi ∆S∆t =6mvi2 212= ∆S∆t ∑ 2ni= ∆S∆t ∑ ni ε i = ∆S∆t ⋅ n ε .3233= ∑ 2mvi ∆N i = ∑ 2mvi(16)Т.о., снова получаем основное уравнение кинетической теории газов:P=Fn2= nε .∆S∆t 3Наконец, сделаем последний штрих в проводимом нами рассмотрении: откажемся от коэффициента1и учтем6угловое распределение молекул.Зададим направление движения молекулы в точке 0 с помощью сферическихzкоординат, т.е.

введем углы ϑ и ϕ , однозначноопределяющие любое направление в пространстве.AОкружим точку 0 сферой произвольного радиуса r .A0xϑϕМолекулам, движущимся вдоль вектора OA , наповерхности сферы будет соответствовать точка A .Все направления движения молекул в пространстве,по-прежнему, равновероятны. Поэтому на единицуплощади поверхности сферы приходитсяρ=NN=.s 4πr 2точек, соответствующих возможным направлениям скорости молекул.Здесь N − число возможных направлений движения молекул (число точек на сфере),s = 4πr 2 − площадь поверхности сферы.0(17)8Естественно, в процессе столкновений молекул друг с другом направление их скорости меняется.

Однакоиз-за очень большого общего числа молекул газа можно считать, что число молекул, поменявших в результатестолкновений скорость со значения vi на v k в среднем равно числу молекул, у которых скорость изменилась сv k на vi .Это утверждение является важнейшей концепцией равновесия систем, содержащих очень большое числочастиц.Отметим следующее. Число возможных направлений бесконечно, а число молекул, даже в очень большихсистемах, конечно. Поэтому имеет смысл ставить вопрос не о точном значении угла, а о бесконечно узкоминтервале углов вблизи некоторого заданного значения.∆N ϑ ,ϕ = ρ ⋅ ds =dsNds4πr 2–(18)число молекул, летящих через площадку ds , нормаль к которой совпадает сrнаправлением вектора OA , задаваемого углами ϑ и ϕ .nПрежде, чем приступить к вычислениям, заметим, чтоϑ ϑимпульс, передаваемый молекулами площадке ∆S ,ориентированной по оси z , определяется только углом ϑr∆S∆(mv )n = 2mv cos ϑ(19)0и не зависит от углаϕ.Найдем, какое количество молекул dnϑ газа из общего числа молекул n , содержащихся в единице объемагаза, имеют скорость, направленную под углом, близким кdϑ , при всех возможных значениях ϕ .ϑ , т.е.

отличающуюся от него на малую величинуВеличина dnϑ определяется площадью ds , вырезаемой на поверхности сферы углами отпри измененииϕϑдоϑ + dϑот 0 до 2π .rn r sin ϑ2πr sin ϑϑ rrdϑ0ds = 2πr sin ϑ ⋅ rdϑ .Из (18) получаем2πr 2 sin ϑdϑ 1= n sin ϑ ⋅ dϑ .24πr 2Сосчитаем теперь число ударов молекул о площадку ∆S стенки за время ∆t .dnϑ = nИз всех молекул, векторы скоростей которых близки к ϑ (т.е. лежат в пределах от ϑ до ϑ + dϑ ), за время∆t до площадки ∆S долетят лишь попавшие внутрь косого цилиндра, объем которого равенV = ∆S ⋅ v ⋅ ∆t cos ϑ .Тогда число молекул, скорости которых характеризуются углом ϑ , ударяющихrnза время ∆t по площадке ∆S1dN ϑ = dnϑ ⋅ ∆S ⋅ v ⋅ ∆t cos ϑ = nv∆S∆t sin ϑ cos ϑdϑ .2Импульс, передаваемый стенке одной молекулой, налетающей под угломf n ⋅ ∆t = 2mv cos ϑ ,ϑ(19), равенdN ϑ молекул сообщат стенке импульс, равныйFn ⋅ ∆t = 2mv cos ϑ ⋅ dN ϑ .Тогда сила, с которой молекулы газа будут действовать на стенку, определится какπ 2Fn =∫ nmv0и давление на стенку2v ⋅ ∆tϑ∆S cos 2 ϑ sin ϑdϑ ,∆S9Pn =Fn 12= nmv 2 = n ε .∆S 33Неожиданный результат! Оказывается, что приближенный подход позволяет получить то же самое, что и пригораздо более трудоемком точном расчете.

Т.о., использованные приближения оказались весьма удачными,поскольку заведомо более грубые оценки, проявившиеся в заниженном числе ударов молекул о стенку,оказались скомпенсированными завышенным значением импульса, передаваемого каждой молекулой присоударении со стенкой, что в итоге позволило получить корректный результат.Полученный результат позволяет утверждать, что правильно сделанные приближения (выбранныефизические модели), зачастую позволяют сравнительно просто и наглядно (избегая сложных и громоздкихматематических вычислений, затрудняющих понимание явления) качественно, а иногда и количественно,описывать те или иные физические явления.Примечание.

Полезно подсчитать число ударов всех молекул о единичную поверхность стенкив единицу времениNϑ=∆S∆tπ 2∫0nvnv.sin ϑ cos ϑdϑ =24(20)Температура.Понятие температуры вводится для характеристики различной степени нагретости тел. Представление отемпературе вошло в науку через посредство наших чувственных восприятий – теплый, горячий, холодный ит.д. Однако ощущения субъективны и зависят от нашего собственного состояния. Поэтому в основуколичественного определения температуры и построения температурной шкалы должны быть положеныобъективные физические явления и факты.Существование температуры как параметра, единого для всех частей системы, находящейся в равновесииназывают нулевым началом термодинамики.Выясним физический смысл температуры в молекулярно-кинетической теории.

Рассмотрим пример споршнем, способным без трения перемещаться внутри цилиндра, заполненного по обе стороны от поршняидеальными газами, которые будем отмечать индексами 1 и 2.n1 , m1 , v1P1Mn2 , m2 , v 2P2Для механического равновесия поршня необходимо, чтобы давления газов были одинаковы:11n1 m1 v12 = n2 m2 v 22 .33P1 = P2 , или(1)Однако, для того, чтобы равновесие поддерживалось длительное время, необходимо равенство ещё величин,характеризующих степени нагретости газов, которые мы называем температурой. Действительно, еслитемпературы различны, то с течением времени степени нагретости будут выравниваться и давление газов поразные стороны поршня будет изменяться, что приведет к нарушению равновесия поршня.В результате ударов молекул о поршень последний может совершать беспорядочное движение как влево,так и вправо.

Характеристики

Список файлов лекций