2sem_1 (552395), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

С этим явлением связана возможность обмена кинетическими энергиями теплового движениягазов, расположенных по обе стороны поршня.Предельно упростив задачу, будем считать газы настолько разреженными, что в каждый момент времени споршнем сталкивается лишь одна молекула.Рассмотрим столкновение какой-либо молекулы первого газа с движущимся поршнем массой M . Пустьu − скорость поршня вдоль оси x цилиндра до удара, а u ′ − после удара. Соответствующие компонентыскорости молекулы обозначим v1x и v1′x .

Поскольку удар упругий, то выполняются как закон сохраненияимпульса, так и закон сохранения энергии (кинетической):m1v1x + Mu = m1v1′x + Mu ′ ,(2)mvm v′MuMu ′+=+.(3)2222Отсюда x − компоненты скорости молекулы после удара v1′x и её кинетической энергии равны, соответственно21 1x221 1x210v1′x =2 Mu − (M − m1 )v1x,M + m1(4)m1v1′x2 m1 4 M 2 u 2 − 4 M (M − m1 )uv1x + (M − m1 ) v12x.=22(M + m1 )22(5)Если состояние всей системы установилось, т.е. макроскопический процесс теплообмена закончился, топоршень будет совершать беспорядочные дрожания около положения равновесия, а его скорость u содинаковой вероятностью принимает положительные и отрицательные значения, т.е. средняя скорость поршняравна нулю.Написанные нами выражения справедливы для каждой из молекул газа. Поэтому, проводя усреднение повсем столкновениям, мы получим, что произведение u v1x , в соответствии со сказанным выше, обращаетсяв нуль, что дает222m1 4 M u + (M − m1 ) v1x=.2(M + m1 )2m1 v1′x222(6)Очевидно, что теплообмена между газами не будет в том случае, когда средняя кинетическая энергия молекулыв результате отражения от поршня будет оставаться неизменной.m1 v1′x2=2m1 v12x.2Поэтому в состоянии термодинамического равновесияm1 v12x2222m1 4 M u + (M − m1 ) v1x=.2(M + m1 )22(7)После элементарных преобразований это даетm1 v12x=2M u22.(8)Проведенное рассуждение, разумеется, применимо и ко второму газу.

Следовательно,m2 v 22x2m1 v12xпоэтому2==M u22m2 v 22x,(9).2(10)Если в пространстве нет выделенных по каким-либо физическим признакам направлений, то тепловоедвижение в газе хаотично и все направления движения молекул равноправны. При описании задачи вдекартовой системе координат это означаетv x2 = v y2 = v z2 .(11)И, следовательно, можем записатьm1 v122=m2 v 222.(12)Т.о., мы показали, что в состоянии теплового равновесия средние кинетические энергии всех молекул газаодинаковы. Отсюда следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газаε постобладает основным свойством температуры – в состоянии теплового равновесия она одинакова длявсех молекул газов, находящихся в тепловом контакте. Она не зависит от массы и внутренней структурымолекулы. Поэтому величинуε постможно принять в качестве меры температуры газа, а также любого тела,находящегося с ним в тепловом равновесии.За меру температуры удобно взять величинуθ=2ε пост .3(13)Тогда формуле (8) можно придать видPV =2N ε пост = Nθ , или P = nθ .3(14)11Из молекулярно-кинетического толкования температуры можно вывести закон Авогадро, утверждающий,что в равных объемах идеальных газов при одинаковых давлениях и температурах содержится одинаковоечисло молекул.

Действительно, для двух идеальных газов можно написатьP1V1 = N 1θ 1 и P2V2 = N 2θ 2 .Тогда, еслиP1 = P2 , V1 = V2 и θ 1 = θ 2 , то N 1 = N 2 .Из школьного курса физики хорошо известен закон Бойля-Мариотта, согласно которому произведениедавления некоторого количества газа на занимаемый им объем зависит только от температуры. Запишем этоутверждение в виде:PV = cT .(15)Такое определение температуры позволяет сформулировать закон, однозначно связывающий всесущественные для термодинамики параметры состояния:PV =mµRT - уравнение Менделеева-Клапейрона.(16)Заметим, что по закону Авогадро в одном моле газа содержится N A молекул.

Если m M − масса одноймолекулы, то m = m M N иµ = m M N A , где N − число молекул, содержащихся в объеме V. ПустьN− концентрация молекул. Тогда уравнение (14) можно записать в видеVP = nkT .RЭто другая форма записи уравнения состояния идеального газа, k == 1,381 ⋅ 10 −23 Дж .KNAn=(17)Тогда связь между кинетической и абсолютной термодинамической температурами имеет видθ = kT .(18)Величина θ называется энергетической или кинетической температурой. Она измеряется в тех жеединицах, что и энергия. Энергетические единицы температуры являются наиболее естественными,вытекающими из современных представлений о теплоте.

Исторически же сложилось так, что наряду сестественными энергетическими единицами в физике широко пользуются искусственно построеннымишкалами температур.Шкала температур – это некоторое правило, которое позволяет каждой температуре сопоставитьопределенное число.Чтобы построить шкалу, выбирают некоторую температурную точку эталонного тела (для определенноговещества это может быть точка плавления, кипения и т.п.), которая служит реперной точкой шкалы, а затемградуируют шкалу температур. Это можно сделать, например, с помощью уравнения (13), поддерживаяпостоянным давление или объем газа и измеряя второй параметр.Реперная точка должна измеряться с высокой точностью и обладать высокой степенью воспроизводимости.Шкала Кельвина.При построении шкалы температур Кельвина в качестве реперной точки взята тройная точка воды (точкаравновесия трех агрегатных состояний: пара, воды и льда).

За единицу шкалы принят 1 Кельвин. По этой шкалетройная точка воды имеет температуру T = 273,16 K при давлении 4,58 мм. рт.ст. ПоэтомуТемпература тройной точки воды.(19)273,16Абсолютный нуль температуры по шкале Кельвина лежит на 273,16 K ниже температуры тройной точки1K =воды.С классической точки зрения абсолютный нуль температуры определяет состояние, при котором в телахпрекращается всякое движение. Однако с точки зрения современной физики, использующей квантовыепредставления, в телах при абсолютном нуле атомы совершают нулевые колебания, которым соответствуетнулевая энергия. Это движение уже не является тепловым.

Ему соответствует минимальная энергия, котораяуже не может быть отнята у тела, если остаются постоянными объем и прочие внешние параметры,определяющие состояние тела.Величина нулевой энергии может быть весьма значительной. Так, например, энергия жидкого гелия притемпературе, близкой к абсолютному нулю, в три раза превышает его теплоту испарения. Вследствие этогокристалл гелия, находящийся под давлением собственных насыщенных паров, становится нестабильным ипереходит в жидкое состояние. Переход гелия в твердое состояние возможен лишь при повышенном давлении,под влиянием которого атомы гелия сближаются и силы молекулярного притяжения возрастают.12Абсолютный нуль может быть определен как такая температура, при которой в теле прекращаетсятепловое движение и остается только движение частиц, связанное с нулевой энергией.Абсолютный нуль является самой низкой из всех температур.

Температура, отсчитываемая от абсолютногонуля, называется абсолютной температурой.Шкала Цельсия.Наряду с абсолютной температурной шкалой в физике употребляется также шкала Цельсия, строящаяся подвум основным реперным точкам – нормальной точке плавления (температура плавления при нормальном0давлении) льда, принятой по этой шкале за нуль ( 0 C ), и нормальной точке кипения воды, принятой за100 0C . Т.о., шаг градуса Цельсия определяется делением интервала между этими реперными точками на 100и равен шагу градуса Кельвина.Температура плавления льда при нормальном давлении по шкале Кельвина равна 273,15 K ( на 0,01 Kниже тройной точки воды). Поэтому соотношение между шкалами Кельвина и Цельсия имеет вид:[ ]T [K ] = t 0 C + 273,15 0C .Шкала Кельвина(K )Шкала Цельсия( С)00,01 0C − тройная точка воды0 0С273,16 KТемпература плавления 273,15 Kльда− 273,15 0C0KРавнораспределение энергии по степеням свободы.Запишем P = nkT,2=Pnε3отсюда32ε = kT .(20)Возникает очень интересный вопрос: насколько случайно появление в числителе дроби числа 3 ? Мырассматривали идеальный газ как систему, состоящую из абсолютно твердых молекул-шариков,взаимодействием между которыми мы пренебрегали.

В нашей модели молекула-шарик может в одном из трехпространственных направлений в однородном изотропном пространстве. Здравый смысл подсказывает, что ниодно из этих направлений не имеет преимущества перед двумя другими. Поэтому нетрудно сообразить, что всреднем движению в каждом из этих направлений соответствует энергия, пропорциональнаясумме дает1kT , что в23kT .2Рассмотрим теперь молекулу, обладающую более сложной структурой.Предположим, что молекула состоит из двух жестко связанных между собой атомов. Центр масс такоймолекулы, совершающей поступательное движение, можетперемещаться в пространстве в 3-х независимых направлениях,zзадаваемых осями x, y , z .ц.м.В Ц-системе пространственноеположение оси молекулыϑполностью определяется двумяц.м.yуглами: ϑ и ϕ .xϕМолекула может произвольновращаться вокруг своего центра масс.13При этом она приобретает дополнительную кинетическую энергию, связанную с вращательным движением,величина которой определяется совокупностью двух членов:Kϕ =I ϕ ϕ& 22иKϑ =I ϑ ϑ& 2.2(21)Чем вращение с точки зрения его вклада в полную кинетическую энергию рассматриваемой системыотличается от её поступательного движения? С помощью очень сложных методов теоретической физики можнопоказать, а мы остановимся на этом результате как «гениальной» догадке, полагая, что, по крайней мере, всреднемK x = K y = K z = Kϕ = Kϑ .(22)Полная энергия такой молекулы5ε =∑i =1kT 5= kT .22(23)Назовем числом степеней свободы число независимых координат, которые следует задать для определенияположения молекулы в пространстве.Для одноатомной и многоатомных молекул всегда i пост = 3 ; для рассматриваемой молекулы добавляются ещевращательные степени свободы:Т.о.,iвращ = 2 .i = iпост + iвращ и средняя кинетическая энергия молекулы газа ε =ikT .2Рассмотрим двухатомную молекулу, связь между атомами которой упругая (в предыдущем случае связьмеду молекулами предполагалась жесткой).

Тогда наряду с 5-тьюстепенями свободы, определяющими кинетическую энергиюдвухатомной молекулы с жесткой недеформируемой связью,при наличии упругой связи следует задать ещё одну. Однакоколебательное движение характеризуется наряду с кинетическойеще и потенциальной энергией. Это означает, что при подсчете степеней свободы двухатомной молекулы супругой связью между атомами мы должны записатьi = iпост + iвращ + 2iколеб .(24)Из теории колебаний известно, что для гармонического осциллятора средние значения кинетической ипотенциальной энергии одинаковы.

Поэтому, по-прежнему, считая, что на каждую степень свободы молекулыприходится энергия, равная12ε = kT , получаем7ε =∑i =1kT 7= kT .22И, наконец, если молекула является многоатомной и имеет сложную пространственную конфигурацию, тодля её описания следует ввести еще одну вращательную степень свободы, т.е. число вращательных степенейсвободы становится равным трем: iвращ = 3 .В общем случае число степеней свободы молекулы определяется выражением (24):i = iпост + iвращ + 2iколеб ,гдеiпост = 3 , iвращ = 0 ÷ 3 и iколеб = 0 ÷ 1 , а среднее значение энергии молекулы в соответствии спринципом равнораспределения по степеням свободы равноi2ε = kT .(25)Уравнение (25) выражает закон классической статистической физики, утверждающий, что на каждуюстепень свободы системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, приходится в среднемэнергия, равная1kT .2Опыт показывает, что при низких температурах ( T < 50 K ) все молекулы ведут себя как твердые шарики,т.е.

атомы сложной молекулы участвуют только в поступательном движении, практически не совершаяколебательного и не вращаясь. В таком случае говорят, что все степени свободы молекулы, за исключениемпоступательных, «заморожены».14i7 включение колебательных53степеней свободы ⇒⇐ включение вращательныхстепеней свободы503006000 Tмасштаб оси логарифмическийПри повышении температуры (см. рисунок)«размораживаются» сначала вращательные, азатем и колебательные степени свободы.В используемом в технике диапазоне температурчисло степеней свободы у одноатомных газов(He, Ar , Ne и т.д.) : i1 = 3 ; двухатомныхгазов (H 2 , N 2 , O2 ) : i 2 = 5 ; более сложных –(CO2 , N 2 O4и т.п.) : i3 = 6 ..

Характеристики

Список файлов лекций