1Mehanika (552305), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тогда m&x& + a U 0 x = 0 и &x& +ma 2U 02π 2π m= ω02 . В итоге период равен T =где=.ω0 a U 0m22108Задача 6.7. Однородный диск массыm = 3 кг и радиусаR = 20 см скреплен с тонким стержнем (рис.6.8), другой конецкоторого прикреплен неподвижно кrпотолку.ОтношениеприложенногоMк углувращательного момента сил Mзакручивания ϕу стержня равноrk = 6 Н ⋅ м/рад .
Определить частотуωϕϕмалых крутильных колебаний диска.Решение. Если повернуть диск на угол ϕ ,то появится возвращающий момент сил M = −kϕ(см.рис.6.8). В соответствии с основнымРис.6.8уравнением динамики вращательного движения&& .M = Iε = IϕkmR 2&& + ϕ = 0 , где I =&& = −kϕ или ϕ.Тогда IϕI2В итоге дифференциальное уравнение крутильных колебаний2k&& +примет вид ϕϕ = 0 , откудаmR 22k1 2kω2 =; ω== 10 c −1 .2mRR mЗадача 6.8. Однородный стержень положили на два быстровращающихсяблокаrrN1N2(рис.6.9),расстояниеlмежду осями которыхrrxxFFтр1тр 2= 20 см. Коэффициенттрения между стержнем иrABμ = 0,18 .
rблокамиmgПоказать, что стержень Fтр1будетсовершатьl 2гармонические колебанияи найти их период.Рис.6.9Решение. При вращенииблоков на них действуют силы трения со стороны стержня. К стержнюприложены силы трения Fтр1 и Fтр 2 , противоположно направленные.Их величина определяется силами нормальной реакции опоры N1 иrN 2 . К середине стержня приложена сила тяжести mg . При смещениистержня на x влево тoчка приложения силы тяжести также сместитсяна x влево. Тогда сумма моментов сил, действующих на стерженьотносительно горизонтальной оси, проходящей через точку В , будетравна нулю: ∑ M B = 0 .109mg (l + 2 x )⎛l⎞N1 ⋅ l − mg ⎜ + x ⎟ = 0 . Откуда N1 =2l⎝2⎠μmg (l + 2 x )и сила трения Fтр1 = μN1 =.2lАналогично ∑ M A = 0 .mg (l − 2 x )μmg (l − 2 x )⎛l⎞, Fтр 2 = μN 2 =.N 2 ⋅ l − mg ⎜ − x ⎟ = 0 , N 2 =2l2l⎝2⎠При смещении влевоFтр1 > Fтр 2 и появляется возвращающаясила, смещающая стержень вправоμmg(l + 2 x − l + 2 x ) = μmg 4 x = 2μmgx .ΔF = Fтр1 − Fтр 2 =l2l2lС учетом разнонаправленности x и ΔF получим2μmgxΔF = −lС другой стороны ΔF = ma = m&x& .
Тогда2μmgx2μg2μg2μgm&x& = −x = 0; ω2 =, &x& +; ω=,llll2π2ll= 2π=π= 1,49 cа период T =2μgωμgЗадача 6.9. Тело массы m упало с высоты h на чашкупружинных весов (рис.6.10).Массы чашки и пружины пренебрежимомалы, коэффициент жесткости пружины k. Прилипнув к чашке, телоначинает совершать гармонические колебания в вертикальнойплоскости. Найти амплитуду колебаний,mсчитая их гармоническими.Решение.После падения грузаhпружина будет сжиматься на y1 , гдечашка остановится. В соответствии сy1закономсохраненияэнергии2kymg (h + y1 ) = 1 .2Решая квадратное уравнениеky12− mgy1 − mgh = 0 ,y2найдеммаксимальноесжатиепружиныРис.6.10110mg ± m 2 g 2 + 4 k 2 mgh mg ± m 2 g 2 + 2kmghy1 ==.2⋅k 2kТак как y1 > 0 , а подкоренное выражение больше m 2 g 2 , тоmg + m 2 g 2 + 2kmgh.y1 =kПоложение равновесия чашки с грузом определяется как mg = ky0 .mgy0 =.
Амплитуда колебаний – это максимальноеОткудаkотклонение от положения равновесия, поэтомуmg + m 2 g 2 + 2kmgh mgm 2 g 2 + 2kmgh.−=A = y1 − y0 =kkkЗадача 6.10. Логарифмический декремент затухания колебанийδ = 0,003. Определить число полных колебаний N, которые долженсовершить маятник, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в двараза.Решение. Число полных колебаний N = t T , где T - периодзатухающих колебаний.
Логарифмический декремент затуханияδ = βT , где β - коэффициент затухания. Амплитуда затухающихколебаний равна A(t ) = A0e −βt .По условию задачи A(t ) = A0 2 , поэтому A0 2 = A0e −βt ; eβt = 2 .Логарифмируя, получим βt = ln 2 , откуда t = ln 2 β . ТогдаN = t T = ln 2 β T = ln 2 δ = 231 .Задача 6.11.Колебательная система совершает затухающиеколебания с частотой ν = 1000 с-1.
Определить частоту собственныхколебаний системы, если резонансная частота ν p = 998 с-1.Решение. Круговая частота затухающих колебаний равнаω = ω02 − β2 . Так как ω = 2πν , ω0 = 2πν 0 ,то2πν = 4π2ν 02 − β2 , или ν = ν 02 − β2 4π2 .Резонансная частота ω p = ω02 − 2β2 ,или ν p = ν 02 − 2β2 4π2 = ν 02 − β2 2π 2 .Решая уравнения совместно находим ν 0 , исключая β :ν 2 = ν 02 − β2 4π2 ; ν 2p = ν 02 − β2 2π2 Вычитаем 2ν 2 − ν 2p = 2ν 02 − ν 02 = ν 02Находим ν 0 = 2ν 2 − ν 2p = 1002 c −1 .1116.3.Задачи для самостоятельного решения6.12. Через какое время от начала движения точка, совершающаягармоническое колебание, сместится относительно положенияравновесия на половину амплитуды? Период колебаний Т = 24 с,начальная фазаϕ0 = 0.6.13.
Найти амплитуду А, период Т, частоту ν и начальную фазу⎛ 39,2t + 5,2 ⎞ϕ0 колебания, заданного уравнением x = 5 sin ⎜⎟ см. Здесь t5⎝⎠в секундах.6.14. Точка совершает гармонические колебания по законусинуса. Наибольшее смещение точки А = 100 см, наибольшая скоростьv = 20 см/с. Написать уравнение колебаний и найти максимальноеускорение amax точки.6.15. Написать уравнение гармонического колебательногодвижения с амплитудой А = 50 мм, периодом Т = 4 с и начальной фазойϕ0 = π/4. Найти смещение x колеблющейся точки от положенияравновесия при t = 0 и t = 1,5 c.⎛ πt ⎞6.16.
Уравнение движения точки дано в виде x = sin ⎜ ⎟ . Найти⎝6⎠моменты времени t, в которые достигаются максимальная скорость имаксимальное ускорение.6.17. Точка колеблется гармонически по закону x = x0sin (ωt +ϕ0). Найти максимальные значения скорости и ускорения точки.6.18. Начальная фаза гармонического колебания ϕ0 = 0. Черезкакую долю периода скорость точки будет равна половине еемаксимальной скорости?6.19. Как изменится период колебания математическогомаятника при перенесении его с Земли на Луну?6.20. Точка равномерно вращается по окружности противd =часовой стрелки с периодом Т = 12 c. Диаметр окружности20 см.
Написать уравнение движения проекции точки на прямую,касательную к окружности. За начало отсчета принять момент, когдаточка, вращающаяся по окружности, проходит через точку касания.6.21. Точка совершает гармонические колебания с амплитудойА = 10 см и периодом Т = 2 с. Написать уравнение этих колебаний,считая, что при t = 0 смещение x = 0. Определить также фазу ϕ длядвух моментов времени: когда смещение точки х = 6 см; 2) когдаскорость точки v = 10 см/c.6.22.
Найти зависимость скорости гармонического колебанияматериальной точки от смещения.1126.23. Через какое время от начала движения точка, совершающая⎛ πt ⎞колебательное движение по уравнению x = 7 sin ⎜ ⎟ , проходит путь⎝2⎠от положения равновесия до максимального смещения?Уравнениедвиженияточкидановвиде6.24.⎛ πt π ⎞x = 2 sin ⎜ + ⎟ см. Найти период колебания Т, максимальную⎝ 2 4⎠скорость vmax и максимальное ускорение amax точки.6.25 Построить график зависимости скорости гармоническогоколебания материальной точки x = 5 sin(2 πt+ ϕ0) от смещения.6.26. Найти зависимость ускорения гармонического колебанияx = x0 sin(ωt+ ϕ0) от смещения.6.27.
Точка колеблется гармонически. Амплитуда колебанийА = 5 см, круговая частота ω = 2 c-1, начальная фаза ϕ0 = 0. Определитьускорение точки в момент, когда ее скорость v = 8 см/с.6.28. Найти закон, по которому изменяется со временемнатяжение F нити математического маятника, совершающегоколебание ϕ = ϕmcos(ωt). Масса маятника m, длина l.6.29. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси xоколо положения равновесия x = 0.
Частота колебаний ω = 4 c-1. Внекоторый момент координата частицы x0 = 25 см и ее скорость v0 =100 см/с. Найти координату x и скорость v частицы через t = 2,4 спосле этого момента.6.30. Точка совершает гармоническое колебание. Периодколебаний Т = 2 с, амплитуда А = 50 мм, начальная фаза ϕ0 = 0.Найти скорость v точки в момент времени, когда смещение точки отположения равновесия x = 25 мм.6.31. Точка совершает гармонические колебания. Максимальнаяскорость точки vmax = 10 см/c, максимальное ускорение amax = 100 см/c2.Найти циклическую частоту ω колебаний, их период t и амплитуду A.Написать уравнение колебаний.6.32.
Найти зависимость ускорения гармонического колебанияx = x0 sin(ωt + ϕ0) от скорости.6.33. Написать уравнение гармонических колебаний, еслимаксимальное ускорение amax = 49,3 см/c2, период колебаний Т = 2 с исмещение точки от положения равновесия в начальный моментвремени x0 = 25 мм.6.34. Точка совершает гармонические колебания. В некоторыймомент времени t смещение точки x1 = 5 см. При увеличении фазывдвое смещение точки стало x2 = 8 cм. Найти амплитуду А колебаний.1136.35. Начальная фаза колебаний точки равна π/3.
Периодколебаний Т = 0,06 с. Определить ближайшие моменты времени, вкоторые скорость и ускорение в два раза меньше амплитудныхзначений.6.36. Шарик массы m = 50 г подвешен на пружинес коэффициентом жесткости k = 49 Н/м. Шарик поднимают до такогоположения, когда пружина не напряжена, и отпускают без толчка.Пренебрегая трением и массой пружины, найти а) период Т иамплитуду А возникших колебаний; б) направив ось X вниз исовместив точку х = 0 с начальным положением шарика, написатьзакон движения шарика.6.37.
Найти круговую частоту и амплитуду гармоническихколебаний частицы, если на расстояниях x1 и x2 от положенияравновесия ее скорость равна соответственно v1 и v2.6.38. Начальная фаза гармонического колебания ϕ = 0. Присмещении точки от положения равновесия x1 = 2,4 см скорость точкиv1 = 3 см/с, а при смещении x2 = 2,8 см ее скорость v2 = 2 см/с. Найтиамплитуду А и период Т этого колебания.6.39.
Точка совершает гармонические колебания. В некоторыймомент времени t смещение точки x = 5 см, ее скорость v = 20 см/c иускорение a = 80 cм/с2. Найти амплитуду А, циклическую частоту ω,период колебаний Т и фазу ϕ колебаний в рассматриваемый моментвремени.Присложениидвуходинаковонаправленных6.40.гармонических колебаний с одной и той же частотой и амплитудами,равными 2 и 4 см, получается гармоническое колебание с амплитудой5 см. Найти разность фаз складываемых колебаний.6.41. Пренебрегая трением, определить частоту ω малыхколебаний ртути, налитой в U-образную трубку с внутреннимсечением σ = 0,5 cм 2.
Масса ртути m = 136 г.Плотность ртути равна13600 кг/м3 .6.42. Найти графически амплитуду А колебаний, которыевозникают при сложении следующих колебаний одного направления:x1 = 3 cos (ωt + π/3), x2 = 8 sin(ωt + π/6).6.43. Найти графически амплитуду А колебаний, которыевозникают при сложении следующих колебаний одного направления:x1 = 3 cos (ωt), x2 = 5 cos (ωt + π/4), x3 = 6 sin (ωt).6.44. Уравнение колебания материальной точки массой m = 10г⎛ π π⎞имеет вид x = 5 sin ⎜ t + ⎟ см.Найти максимальную силу,4⎠⎝6действующую на точку, и полную энергию E колеблющейся точки.1146.45. Материальная точка массой m = 0,05 кг совершаетгармонические колебания, уравнение которых имеет вид:x = 0,1 sin(5t) м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
