1Mehanika (552305), страница 15
Текст из файла (страница 15)
По принципуlсуперпозиции напряженностьРис.5.11гравитационного поля в точкеА есть векторная суммаrrнапряженностей g1 и g 2 , создаваемых каждой звездойrr rg A = g1 + g 2Из векторных треугольников по теореме косинусов получимg 2 = g12 + g 22 + 2 g1 g 2 cos α ,l 2 = r12 + r22 − 2r1r2 cos α .Исключив cos α , найдем g 2 = g12 + g 22 + 2 g1 g 2l 2 − r12 − r22.2r1r2Подставив значения g1 и g 2 , получим⎤⎡ m12 m22mmg = γ ⎢ 4 + 4 − 2 21 22 (l 2 − r12 − r22 )⎥ .r22r 1r 2⎦⎣ r1rОпределим направление вектораg (угол β ) по теореме22косинусов g 22 = g12 + g 2 + 2 g1 g cos β , откудаg 2 + g12 − g 22.cos β =2 g1 gПотенциал гравитационного поляалгебраической сумме потенциалов ϕ1 и ϕ2 .вАточкеравен⎛m m ⎞ϕ A = ϕ1 + ϕ2 = − γ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ .r2 ⎠⎝ r1xЗадача 5.7. Двойная звезда– это система из двух звезд, m1движущихся вокруг их общегоцентра масс С (рис.5.12).Известны: расстояние lмежду компонентами двойнойзвезды и период ее обращения Tm2ClРис.5.1289вокруг точки С.
Считая, что l не меняется, найти суммарную массусистемы.Решение. Обозначим массы компонент двойной звезды m1 и m2 .Положение центра масс С определяется соотношениемxmlm2= 2 , откуда x =.l − x m1m1 + m2Используя закон всемирного тяготения, запишем второй законНьютона для компонентов двойной звезды⎧ m1m24π 22γ=ω=mxmx,11⎪⎪ l 2T2⎨2⎪γ m1m2 = m ω2 (l − x ) = m 4π (l − x ) .22⎪⎩ l 2T24π2 (l − x )l 24π2 xl 2Откуда m1 =, m2 =.γT 2γT 2Искомая масса равна4 π 2l 3.m1 + m2 =γT 2Задача 5.8. Найти вторую космическую скорость для Луны.Сопротивление среды не учитывать.
Ускорение свободного падения наповерхности Луныg 0 Л = g 0 5,76 , где g 0 = 9,81м с 2 - ускорениесвободного падения на поверхности Земли. Радиус Луны RЛ = R0 3,75 ,где радиус Земли R0 = 6400 км .Решение. Вторая космическая скорость для Луны - это скорость,которую необходимо сообщить телу на поверхности планеты, чтобыоно могло преодолетьее поле тяготения и удалиться набесконечность, где потенциальная и кинетическая энергия тела будутравны нулю.Поскольку гравитационные силы консервативны, а полепотенциально, запишем закон сохранения энергии2mvIIЛmM ЛM−γ= 0 . Откуда vIIЛ = 2 γ Л .E K + U = 0 илиRЛ2RЛУчитывая соотношение γM Л = g 0 Л RЛ2 , получимvIIЛg 0 Л RЛ2= 2= 2 g 0 Л RЛ ≈ 2,4 ⋅ 103 м с .RЛ90Задача 5.9. Найти работу по переносу тела массы m с однойпланеты на другую в отсутствии сил сопротивления. Массы M 1 , M 2 ирадиусыR1 ,R2m1m2планетизвестны,R2расстояниемеждуними велико (рис.5.13). R1Решение.lОчевидно,чтоA + Aсопр = ΔU .Рис.5.13Поусловиюзначит,Aсопр = 0 ,A = ΔU = m(ϕ1 − ϕ2 ) .Так как l >> R1 и l >> R2 , работа приближенно равна⎛M⎛M M ⎞M ⎞A ≈ − mγ ⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ = γm⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ .R1 ⎠R2 ⎠⎝ R2⎝ R1Задача5.10.Определитьlaгравитационную силу, действующуюна материальную точку массы m соMстороны тонкого однородного стержняmмассы M длины l, если точкаxрасположена на оси стержня на dxрасстоянии a от его ближайшегоРис.5.14конца (рис.5.14).Решение.
Обозначим линейную плотность массы стержняdM = τ dx ,τ = M l . Выделим элемент стержня длиной dx массойудаленный от m на расстояние x. Тогда для двух материальных точекdM и m можно записать закон всемирного тяготения в видеmdMmτdxdF = γ 2 = γ 2 .xxСилу найдем, проинтегрировав это выражениеa +lF = γm τ ∫adx1 ⎞ γmM⎛ 1⎞ a +l⎛1.= γmτ⎜ − ⎟= γmτ⎜ −⎟=2x⎝ x⎠ a⎝ a a + l ⎠ a (a + l )Задача 5.11. Напряженность гравитационного поля планеты наее поверхности равна g . Определить потенциал гравитационного поляв точке, удаленной от поверхности на расстояние, равное радиусу R .91m на поверхности планеты массыmMM радиуса R действует сила F = γ 2 .RСила и потенциальная энергия связаны соотношениемF = −gradU = − dU dr .mM.Откуда потенциальная энергия U = − γRrНапряженность гравитационного поля на поверхности планетыr FMg 0= ; следовательно, g 0= γ 2 , g 0 = −gradϕ .mRMПотенциал поля ϕ равен ϕ = − γ .RЕсли точка А удалена на расстояние 2R от центра планеты, тоM.потенциал в этой точке равен ϕ = − γ2RgRТак как g 0 R = γM , окончательно получим ϕ A = − 0 .2Решение.На тело массы925.3.Задачи для самостоятельного решения5.12.
Чему равна сила F взаимного притяжения двух космическихкораблей массой m = 10 т каждый, если они сблизятся до расстоянияr = 100 м?5.13. Найти силу гравитационного взаимодействия F междудвумя протонами, находящимися на расстоянии r = 10-16 м друг отдруга. Масса протона m = 1,67 10-27 кг.5.14. На какой высоте на поверхностью Земли напряженностьполя тяготения равна 0,5 Н кг ? Определить потенциал поля тяготенияна той же высоте.5.15. Найти выражение для напряженности поля и силыгравитационного взаимодействия между тонким однородным кольцомрадиусом R и массой М и материальной точкой массой m, лежащей вцентре кольца.5.16.
Считая орбиту Земли круговой, определить линейнуюскорость v движения Земли вокруг Солнца.5.17. Найти выражение для напряженности поля и силыгравитационного взаимодействия между тонким однородным кольцомрадиусом R и массой М и материальной точкой массой m, лежащей навысоте h на перпендикуляре к плоскости, восстановленном из центракольца.5.18.
Имеется тонкий однородный прямой стержень длиныl = 2a и массы М. На прямой, перпендикулярной к оси стержня,проходящей через его центр, на расстоянии b = 2a от центра находится1) Найти модуль силы F, с которой стерженьчастица массы m.действует на частицу. 2) Сравнить силу F с силой F', с которойвзаимодействовали бы материальные точки с массами M и m,находящиеся на расстоянии b = 2a друг от друга.5.19. Период обращения по круговой орбите спутника ЗемлиT = 3 ч.
На какой высоте от поверхности Земли находится спутник?5.20. Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу M.Определить силу гравитационного взаимодействия между этим дискоми материальной точкой массой m, лежащей: 1) на оси диска нарасстоянии h от него; 2) в центре диска.5.21. Определить среднюю плотность Земли, если известна−1122гравитационная постоянная γ = 6,67 ⋅ 10 Н ⋅ м кг и радиус ЗемлиR = 6,4 ⋅ 103 км .5.22. Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу M.Определить зависимость силы взаимодействия между этим диском иматериальной точкой массой m от ее расстояния h от плоскости диска внаправлении его оси симметрии.
При каких h сила F будет93максимальной и минимальной?5.23. Найти вес тела массой m = 1 кг, находящегося между Землейи Луной на расстоянии x = 108 м от центра Земли.5.24. Два предмета одинаковой массы во время лунного затмениянаходятся в диаметрально противоположных точках земнойповерхности на прямой, проходящей через центры Луны, Земли иСолнца. Вес какого из них будет больше?5.25.
Найти изменение ускорения свободного падения тела наглубине h от поверхности Земли. На какой глубине ускорениесвободного падения составит 0,3 от ускорения свободного падения наповерхности Земли? Плотность Земли считать постоянной.5.26. Сравнить ускорение свободного падения у поверхностиЛуны gл с ускорением свободного падения у поверхности Земли gз.5.27. Найти зависимость ускорения свободного падения g отвысоты h над поверхностью Земли. На какой высоте h ускорениесвободного падения gh составляет 0,25 ускорения свободного паденияg у поверхности Земли?5.28. Ускорение свободного падения на поверхности некоторойпланеты равно 1 м/c2. С каким ускорением начнет свободно падатьтело, поднятое над поверхностью планеты на высоту, равную 1)радиусу планеты, 2) 0,001 радиуса?5.29.
Два медных шарика с диаметрами D1 = 4 см и D2 = 6 смнаходятся в соприкосновении друг с другом. Найти гравитационнуюпотенциальную энергию Wп этой системы.5.30. Каково соотношение между высотой H горы и глубиной hшахты, если на вершине горы и на дне шахты ускорение свободногопадения одинаково?5.31. На какой высоте H над поверхностью Земли напряженностьполя тяготения g = 1 Н/кг?5.32.
Какое ускорение Солнце сообщает телам, находящимся наЗемле?5.33. Найти расстояние d планеты от Солнца, если даны: массаМ , период обращения планеты вокруг СолнцаТ иСолнцагравитационная постоянная γ .5.34.РадиуспланетыМарсR = 3,4 ⋅ 103км,массаm = 6,4 ⋅ 1023 кг. Определить напряженность g поля тяготения наповерхности Марса.5.35. Спутник нейтронной звезды вращается по круговой орбитев непосредственной близости от ее поверхности. Определить период173Т спутника, если плотность звезды ρ ≈ 10 кг м .5.36.
На каком расстоянии r от центра Земли находится точка, в94которой напряженность Е суммарного гравитационного поля Земли иЛуны равна нулю? Принять, что масса M Земли в 81 раз большемассы m Луны и что расстояние l от центра Земли до центра Луныравно 60 радиусам R Земли.5.37.Определитьнапряженностьгравитационногополя,создаваемого тонкой бесконечной однородной нитью на расстоянии r0,используя принцип суперпозиции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
