1Mehanika (552305), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Масса единицы длины нитиравна σ.5.38. Найти силу гравитационного взаимодействия между тонкойоднородной нитью длиной l и массой M и материальной точкоймассой m, лежащей на отрезке перпендикуляра длиной r0,восстановленного к середине нити. Рассмотреть также случай l>>r0.5.39. Имеется бесконечная однородная пластина толщины d = 0,1м, плотность которой ρ = 10 г/см3. С какой силой F действует этапластина на находящееся вблизи от нее тело массы m = 1 кг?5.40. С какой силой F в расчете на единицу площадипритягивают друг друга две параллельные бесконечные однородныепластины плотности ρ = 10 кг/см3 и и толщины d = 0,1 м каждая?5.41.
Имеется тонкий однородный слой в виде полусферырадиуса R и массы M. В центре полусферы находится частица массы m.Найти модуль F силы, с которой слой действует на частицу.5.42. Найти напряженность g в пространстве между двумятонкими, параллельными, бесконечными, однородными плоскостями ивне их. Масса единицы поверхности равна σ.5.43. Вывести выражение для напряженности гравитационногополя, создаваемого тонкой сферической оболочкой радиусом R внутрии вне оболочки. Масса единицы поверхности оболочки равна σ.Построить график зависимости g = f(r).5.44.
Определить напряженность гравитационного поля,создаваемого тонкой бесконечной однородной нитью на расстоянии r0,используя аналог теоремы Гаусса для электростатики. Масса единицыдлины нити равна σ.5.45. Найти напряженность g и потенциал ϕ гравитационногополя, создаваемого однородным шаром, масса которого M, радиус R.Нарисовать графики зависимостей g(r) и ϕ(r) для этого случая.5.46. С какой скоростью упадет на поверхность Луны метеорит,скорость которого вдали от Луны мала? Атмосферы на Луне нет.22RЛ = 1,74 ⋅ 10 6 м ,Масса Луны М Л = 7,3 ⋅ 10 кг , радиус Луны−1122гравитационная постоянная γ = 6,67 ⋅ 10 Н ⋅ м кг .5.47. Определить значение потенциала ϕ гравитационного поляна поверхности Земли и Солнца.5.48.
Определить высоту подъема снаряда зенитного орудия95запущенного вертикально вверх со скоростью v0 = 2 ⋅ 10 м с . Какойпуть пройдет снаряд за первую секунду своего падения на землю?Сопротивлением воздуха пренебречь.5.49. Во сколько раз кинетическая энергия Ек искусственногоспутника Земли, движущегося по круговой орбите, меньше егогравитационной потенциальной энергии U?5.50. Определить работу А, которую совершат силыгравитационного поля Земли, если тело массой М = 1 кг упадет наповерхность Земли 1) с высоты h, равной радиусу R Земли; 2) избесконечности.5.51. Метеорит падает на Солнце с очень большого расстояния,которое практически можно считать бесконечным.
Начальная скоростьметеорита пренебрежимо мала. Какую скорость v будет иметьметеорит в момент, когда его расстояние от Солнца будет равно11среднему расстоянию Земли от Солнца 1,49 ⋅ 10 м ?35.52. Два алюминиевых шарика ρ = 2,7 ⋅ 10 кг м радиусамиr1 = 3см иr2 = 5см соприкасаются друг с другом.
Определитьпотенциальную энергию их гравитационного взаимодействия.5.53.Бурподнимаютнаповерхность Земли из скважины глубиной h. Определитьотносительную погрешность, допускаемую при определении работыпо поднятию бура, без учета изменения его веса.5.54. Каким должен быть радиус однородной сферы плот-ностьюρ = 5500 кг/м3, чтобы потенциал ее гравитационного поля в точке,лежащей на поверхности сферы был равен ϕ = 104 Дж/кг?5.55. Каким должен быть радиус однородной сферыплотностью 5500 кг/м3, чтобы потенциальная энергия молекулыазота, расположенной у поверхности сферы, в гравитационном поле−20этой сферы была равна 1,6 ⋅ 10 Дж ?5.56.
Какую работу необходимо совершить, чтобы тело массой500 кг стало спутником Солнца?5.57. Имеется тонкий однородный стержень массой m идлинной l . Для точки, находящейся на одной прямой со стержнем нарасстоянии a от его ближайшего конца, определить 1)потенциалгравитационного поля стержня; 2) напряженность его гравитационногополя.5.58. Космический корабль движется вокруг Земли по круговойорбите, радиус которой в η = 2,5 раза больше радиуса Земли. Какуюдополнительную скорость надо кратковременно сообщить кораблюв направлении от центра Земли по ее радиусу, чтобы он смог покинутьполе тяготения Земли?33965.59. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту H= 3200 км и начала падать.
Какой путь h пройдет ракета за первуюсекунду своего падения?5.60. Планета Марс имеет два спутника Фобос и Деймос. Первый4находится на расстоянии r1 = 0,95 ⋅ 10 км от центра масс Марса,второй - на расстоянии r2 = 2,4 ⋅ 10 км . Найти периоды обращения Т1и Т2 этих спутников вокруг Марса.5.61. Спутник Земли обращается вокруг нее по окружности навысоте h = 3600 км.
Найти линейную скорость спутника. РадиусЗемли R и ускорение свободного падения g считать известными.5.62. Искусственный спутник Луны движется по круговой орбитена высоте h = 20 км. Найти линейную скорость v движения этогоспутника, а также период его обращения Т вокруг Луны.5.63.
Найти вторую космическую скорость для Луны.5.64. Луна движется вокруг Земли со скоростью v1 = 1,02 км/с,среднее расстояние Луны от Земли равно 60,3 радиуса Земли R.Определить по этим данным, с какой скоростью v2 должен двигатьсяискусственный спутник, обращающийся вокруг Земли нанезначительной высоте над ее поверхностью?5.65. Ближайший спутник Марса находится на расстоянииr = 9 Мм от центра планеты и движется вокруг нее со скоростьюv=2,1 км/с. Определить массу Марса M.5.66. Найти период обращения Т вокруг Солнца искусственнойпланеты, если известно, что большая полуось R1 ее эллиптическойорбиты превышает большую полуось R2 земной орбиты наΔR = 0,24 ⋅ 108 км .5.67. Один из спутников планеты Сатурн находитсяприблизительно на таком же расстоянии r от планеты, как Луна отЗемли, но период Т его обращения вокруг планеты в 10 раз меньше,чем у Луны.
Определить отношение масс Сатурна и Земли.5.68. Большая полуось R1 эллиптической орбиты первого в миреискусственного спутника Земли меньше большой полуоси R2 орбитывторого спутника на ΔR = 800 км. Период обращения вокруг Землипервого спутника в начале его движения был Т1 = 96,3 мин. Найтибольшую полуось R2 орбиты второго искусственного спутника Земли ипериод T2 его обращения вокруг Земли.5.69.
Период обращения одного из спутников Юпитера Т1 = 2года, его среднее расстояние от планеты r1 = 23,5 млн. км. Периодобращения Юпитера вокруг Солнца Т2 = 12 лет, его среднее расстояниеот Солнца r2 = 7 млн. км. Определить отношение массы Солнца M С кмассе Юпитера M Ю .45.70.МинимальноеудалениеотповерхностиЗемли97космического корабля "Восток-2" составляло hmin = 183 км, амаксимальное удаление - hmax = 244 км.
Найти период обращениякорабля вокруг Земли.5.71. Какова будет скорость v ракеты на высоте, равной радиусуЗемли, если ракета запущена с Земли с начальной скоростью v0 = 10км/c? Сопротивление воздуха не учитывать.5.72. Космический корабльвывели на круговую орбиту вблизи поверхности Земли. Какуюдополнительную скорость в направлении его движения необходимократковременно сообщить кораблю, чтобы он мог преодолеть земноетяготение?5.73.
Ракета запущена с Земли с начальной скоростью v0 =15 км/с. К какому пределу будет стремиться скорость ракеты, еслирасстояние ракеты от Земли будет бесконечно возрастать?Сопротивление воздуха и притяжение других небесных тел, кромеЗемли, не учитывать.5.74. С какой линейной скоростью v будет двигатьсяискусственный спутник Земли по круговой орбите: а) у поверхностиЗемли; б) на высоте h = 200 км и h = 7000 км от поверхности Земли?Найти период обращения Т спутника Земли при этих условиях.5.75.
Найти центростремительное ускорение an, с которымдвижется по круговой орбите искусственный спутник Земли,находящийся на высоте h = 200 км от поверхности Земли.5.76. Радиус Луны R1 = 0,27R2 радиуса Земли. Средняя плотностьρ1 = 0,61ρ2 - средней плотности Земли. Зная ускорение свободногопадения на поверхности Земли, определить по этим данным ускорениеg 1 свободного падения на поверхности Луны.5.77. Период обращения искусственного спутника ЗемлиT = 2 часа . Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высотеh над поверхностью Земли движется спутник.986.Колебания6.1.Основные понятия и законыДвижение называется периодическим, еслиx(t ) = x(t + T ) , где T - период.(6.1)Колебание–это хпериодическое движение околоположения равновесия. На рис.6.1 вкачествепримераизображеныпериодическиенегармоническиеколебанияоколоположения 0равновесия x0 = 0.tПериод T – это время, заTкоторое совершается одно полноеколебание.Рис.6.1Частота – число полныхколебаний в единицу времени1ν= .(6.2)TКруговая (циклическая) частота2πω = 2πν =.(6.3)TГармоническими называются колебания, при которых смещениеточкиот положения равновесия в зависимости от времениизменяется по закону синуса или косинуса(6.4)x = A sin (ω0t + α ) ,где A - амплитуда колебаний (максимальное смещение точки отположения равновесия), ω0 - круговая частота гармоническихколебаний, ω0t + α - фаза, α - начальная фаза (при t = 0).Система, совершающая гармонические колебания, называетсяклассическим гармоническим осциллятором или колебательнойсистемой.Скоростьи ускорениепри гармонических колебанияхизменяются по законамdxv== x& = Aω0 cos(ω0t + α ) ,(6.5)dtd 2xa = 2 = &x& = − Aω02 sin (ω0t + α ) .(6.6)dtИз соотношений (6.6) и (6.4) получимa = −ω02 x ,(6.7)99откуда следует, что при гармонических колебаниях ускорение прямопропорционально смещению точки от положения равновесия инаправлено противоположно смещению.Из уравнений (6,6), (6,7) получим&x& + ω02 x = 0 .(6.8)Уравнение (6.8) называется дифференциальным уравнениемгармонических колебаний, а (6.4)r является его решением.
Подставивr(6.7) во второй закон Ньютона F = ma , получим силу, под действиемкоторой происходят гармонические колебанияF = −mω02 x .(6.9)Обозначим mω02 = k .(6.10)Из (6.9), (6.10) получимrrF = −kx .(6.11)Эта сила, прямо пропорциональная смещению точки отположения равновесия и направленная противоположно смещению,называется возвращающей силой, k называется коэффициентомвозвращающей силы. Таким свойством обладает сила упругости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
