Formultm (552022)
Текст из файла
8
http//:www.svkspb.nm.ruСтатика
Равнодействующая двух пересекающихся сил– ; диагональ параллелограмма
. Равнодействующая сходящихся сил
. Проекции силы на оси координат (для плоской сист.): Fx=Fcos; Fy=Fcos. Модуль силы:
; направляющие косинусы:
разложение на составляющие:
, Для пространст. сист.:
,
Fx=Fcos; Fy=Fcos; Fz=Fcos; ;
.
Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси: Rx=Fix; Ry=Fiy; Rz=Fiz; . Условия равновесия сист. сходящихся сил: геометрическое:
, аналитические: Fix=0; Fiy=0; Fiz=0. Условие равновесия пар сил:
. Момент силы относительно точки:
– векторное произведение. Модуль векторного произведения:
RFsin= Fh. Плоская сист. сил:
Fh, >0 – против час.стр.; <0 – по час.стр.
=(yFz – zFy)
+(zFx – xFz)
+(xFy – yFx)
, проекции момента силы на оси координат: М0x(
)=yFz – zFy; М0y(
)=zFx – xFz; М0z(
)=xFy – yFx.
Условия равновесия пл. сист. сил: аналитич.: , или
, А,В,С – точки не на одной прямой, или
, ось "х" не перпендикулярна отрезку АВ.
Закон Кулона (закон Амонта – Кулона): . Сила трения скольжения:
. tgсц=fсц; tgтр=f. Мтр= fkN – момент трения качения. Момент силы относительно оси:
. Моменты силы относительно осей координат: Мx(
)=yFz – zFy; Мy(
)=zFx – xFz; Мz(
)=xFy – yFx. Статические инварианты: 1-ый – квадрат модуля главного вектора: I1= Fo2= Fx2+Fy2+Fz2; 2-ой – скалярное произв. главного вектора на гл. момент: I2=
=FxMx+FyMy+FzMz.
Проекция гл. момента на направление гл. вектора . Мmin=M*
Главный вектор и гл.-ый момент
,
Условия равновес. простр. сист.сил: Fkx=0; Fky=0; Fkz=0; Mx(Fk)=0; My(Fk)=0; Mz(Fk)=0. Условия равновесия для сист. параллельных сил (||z): Fkz=0; Mx(Fk)=0; My(Fk)=0. Координаты центра ||-ых сил: . Координаты центра тяжести:
;
; где Р=рk. Центр тяжести плоской фигуры:
,
. Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом 2:
; кругового сектора:
.
Статический момент площади плоской фигуры – Sx=yiFi= Fyc; Sy=xiFi= Fxc.
Объем тела вращения V=2xcF; площадь поверхности вращения F=2xcL.
Центр тяжести плоской фигуры с вырезанной частью: .
Кинематика
s=f(t) –естественный способ задания движения, прямолинейное движение: х=f(t).
Координатный сп.: x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t). Уравнение траектории: f(x,y,z)=0.
Векторный сп.: радиус-вектор =
, модуль
, направляющие косинусы:
и т.д. Переход от координатного способа к естественному:
. Скорость точки. Вектор ск-сти:
;
. Проекции скорости:
,
,
. Модуль скорости:
, направляющие косинусы:
и т.д. Естественный сп.:
,
,
– орт касательной. Движение в полярной системе координат: r=r(t) – полярный радиус, =(t) – угол. Проекции скорости на радиальное направление
, поперечное направление
, модуль скорости
.; x=rcos, y=rsin. Ускорение точки.
. Проекции уск.-я:
и т.д. Модуль уск.-я:
, направляющ. косинусы:
, и т.д. Проекции уск. на радиальное напр-ние
, поперечное напр-ние
, модуль уск-я
.
. Модуль нормального ускорения:
, – радиус кривизны траектории, модуль касательного ускорения
,
,
. Прямолинейное движение: = , аn=0, a=a. Равномерное криволинейное движ-ие: v=const, a=0, a=an. s=s0+vt, при s0=0 v=s/t. Равномерное прямолинейное движ-ие: а=a=an=0.
4) Равнопеременное криволинейное движ-ие: a=const, v=v0+at, . Угловая ск-сть:
,
. Угловое ускорение тела:
. Равномерное вращение: =const, =t, =/t, равнопеременное вращение: =0+t;
. Скорости и ускорения точек вращающегося тела:
. v=rsin()= (CM), (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения. Формулы Эйлера:
,
vx=yz – zy; vy=zx – xz; vz=xy – yx. Если ось вращения совпадает с осью z, то vx= – y; vy=x. Ускорение: . Вращательное уск.
, авр=rsin, центростремительное уск.
, ац=2R. Полное ускорение:
. Угол, между полным и центростремит-ным ускорениями:
. Плоское движение твердого тела.
Ур-ния плоского движения: xA= f1(t), yA= f2(t), = f3(t), Скорость ;
, vBA= BA, vAcos = vBcos. Мгновенный центр ск-ей – Р:
.
,
. Ускорения:
,
.
,
,
,
. Мгновенный центр уск-ий – Q;
,
,
. Сферическое движение твердого тела. Уравнения сферического движения: =f1(t); =f2(t); =f3(t) – угол прецессии, – угол нутации, – угол собственного вращения — углы Эйлера. Угловое ускорение:
. Скорости точек при сферич. движ.:
, модуль v=rsin=h, h– расст. от точки до мгновенной оси вращения.
Ускорения: , вращательное ускорение
модуль вращат. уск. авр=rsin=h1, h1– расст. от точки до вектора
, осестремительное ускорение
, аос=2h. Движение свободного тв.тела. Ур-ия движ.св.тв.тела: xA=f1(t); yA=f2(t); zA=f3(t); =f4(t); =f5(t); =f6(t) (углы Эйлера). Скорость точки св.тв.тела:
. Уск-ие точки св.тв.тела:
.
Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей:
,
;
,
;
;
;
,
,
. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса):
;
;
.
.
,
; ас= 2|evr|sin(e^vr).
Сложное движение тверд. тела. Правило параллелограмма угл.ск-ей: .
. Угл. ск-сть. прецессии
, угл. ск-сть нутации
, угл. ск. собств-го вращ-ия
.
,
– кинематические уравнения Эйлера. Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.
Вращения направлены в одну сторону. =2+1, ,
. 2) Вращ-ия напр. в разные стороны.
, =2—1,
. 3) Пара вращений
; vA=vB, v=1AB – момент пары угловых скоростей. Винтовое движение: шагом винта – h. Если v и =const, то h=
=const,
. Динамика
Основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)): . Дифференциальные уравнения движения материальной точки:
,
;
.
– дифференциальное ур-ие прямолинейного движения точки, общее решение x=f(t,C1,C2), начальные условия: t=0, x=x0,
=Vx=V0.
Свободные колебания ; c/m=k2,
; x= C1coskt + C2sinkt,
= – kC1sinkt + kC2coskt, С1= х0, С2=
/k, т.е. x= х0coskt + (
/k)sinkt.
С1=Аsin, C2=Acos, x=Asin(kt+) – гармонические колебания, А= –амплитуда, tg=kx0/
, – начальная фаза свободных колеб.;
– собственная частота колеб.; период Т=2/k. Статическое отклонение ст=Р/с. Т=2
.
Затухающие колебания Rx= – b сила сопротивления,
, b/m=2n,
, характеристическое уравнение: z2 + 2nz + k2= 0, его корни:
x=Ae-ntsin(kt+). ,
; частота затухающих колебаний: k*=
; период:
.
– декремент колебаний; –nT*/2 логарифмический декремент; "n" – коэффициент затухания.
Б) Апериодическое движение n k . При n > k , обозначая С1=(В1+В2)/2, С2=(В1-В2)/2,
. При n = k
,
, Вынужденные колебания возмущающая сила: Q = Hsin(pt+), р – частота возмущающей силы, – начальная фаза.
, h=Н/m,
. х = х*+х**. х*= C1coskt + C2sinkt, х**= Asin(рt+).
– количество движения матер.точки,
– элементарный импульс силы.
– теорема об изменении количества движ. матер. точки в дифф. форме или
.
– импульс силы за [0,t]. В проекциях на оси координат:
и т.д.
- момент количества движения матер. точки относительно центра О. Теорема об изменении момента количества движения матер. точки.
. Если МО= 0,
=const.
=const, где
– секторная скорость. Элементарная работа dA = Fds, F – проекция силы на касательную к траектории, или dA = Fdscos. dA=
– скалярное произведение; dA= Fxdx+Fydy+Fzdz. Работа силы на любом конечном перемещении М0М1:
. Если F=const, то
= Fscos.
,
.
Работа силы тяжести: . A>0, если М0 выше М1.
Работа силы трения: , Fтр=fN. Сила притяжения (тяготения):
, k=gR2. Работа силы тяготения:
.
Мощность . Если N=const, то N=A/t.
Теорема об изменении кинетической энергии точки. В диффер-ной форме: .
– кинетическая энергия матер.точки. В конечном виде:
.
, U=U(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…xn,yn,zn) – силовой функцией. Элементарная работа сил поля: А=Аi= dU. Работа сил на конечном перемещении
. Потенциальная энергия – П равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. А1,2= П1– П2. Потенц. энергия поля силы тяжести: П= mgz. Потенц.энерг.поля центральных сил. Центральная сила –
,
. Гравитационная сила
,
, f = 6,6710-11м3/(кгс2) – постоянная тяготения. Первая космическая скорость v1=
7,9 км/с, R = 6,37106м – радиус Земли; вторая космическая скорость: v11=
11,2 км/с. Потенц. энергия восстанавливающей силы пружин:
, – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины:
.
Динамика материальной системы и твердого тела
Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством:
, где
– радиусы-векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс:
и т.д. Дифф-ные ур-ния движения системы матер.точек:
или в проекциях на оси координат:
и т.д. для каждой точки (тела) системы. Момент инерции матер.точки: mh2. Момент инерции тела: Jz= mkhk2. При непрерывном распределении масс: Jx= (y2+z2)dm; Jy= (z2+x2)dm; Jz= (x2+y2)dm. Jz= M2, – радиус инерции тела. Полярный момент инерции Jo= ( x2+y2+z2)dm; Jx+Jy+Jz= 2Jo. Центробежный момент инерции: Jxy=xy dm; Jyz=yz dm; Jzx=zx dm. Jxy=Jyx
Тензор инерции в данной точке:
Моменты инерции стержня:
;
. Сплошной диск:
.
Полый цилиндр: , цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч):
. Теорема Гюйгенса-Штейнера:
. Момент инерции относительно произвольной оси: J = Jxcos2 + Jycos2 + Jzcos2 – 2Jxycoscos – 2Jyzcoscos – 2Jzxcoscos, если координатные оси – главные, то:
J = Jxcos2 + Jycos2 + Jzcos2. Теорема о движении центра масс системы:
. дифференциальное уравнение движения центра масс:
.
Закон сохранения движения центра масс. Если
, если при этом в начальный момент vCx0= 0, то
xC= const. Количество движения системы
. Теорема об изменении количества движения системы:
, проекциях:
. Теорема об изменении кол-ва движения системы в интегральной форме:
.
– импульсы внешних сил. В проекциях: Q1x – Q0x = Sekx. Закон сохранения количества движения:
= const, в проекциях:
Qx= const. Дифф-ное уравнение движения точки переменной массы:
– уравнение Мещерского,
– реактивная сила,
секундный расход топлива,
. Формула Циолковского:
.
– число Циолковского, m0 – стартовая масса ракеты. Главный момент количеств движения матер. системы (кинетический момент)
. Теорема теорема об изменении кинетического момента:
;
. Закон сохранения кинетического момента: если
, то
. Кинетический момент вращающегося тела
Kz = Jz. Если Mz= 0, то Jz = const. Кинетическая энергия системы .
Т = Тк. Поступательное движение: Тпост= . Вращательное: Твр=
. Плоскопараллельное (плоское): Тпл=
+
, vC – скорость центра масс. Теорема Кенига: Т=
+
. Работа момента:
. Мощность: N=Mz.
Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме: dT = , в конечной форме: Т2 – Т1=
. Для неизменяемой системы
и Т2 – Т1=
. Коэфф-нт полезного действия:
, = Nмаш/Nдв. Закон сохранения полной механической энергии: Т + П = const.
Дифференциальные ур-ния поступательного движения тела: и т.д. Дифф-ные ур-ния вращения тела вокруг неподвижной оси:
,
. 1) если
= 0, то = const; 2)
= const, то = const.
Ур-ние вращательного движения физического маятника: ,
, дифф-ное уравнение колебаний маятника:
, sin , тогда
– дифф-ное уравнение гармонических колебаний. Решение этого уравнения: = С1coskt + C2 sinkt или = sin(kt + ). Период малых колебаний физического маятника Т= 2/k = 2
. Для математического маятника:
.
L= – приведенная длина физического маятника. полюса.
Дифф. ур.-я плоского движения тела: ;
;
.
— принцип Даламбера для материальной точки.
– главный вектор сил инерции,
– главный момент сил инерции.
,
— уравнения кинетостатики.
Главный вектор сил инерции . Главный момент сил инерции при плоском
, при вращении вокруг оси z
.
Определение реакций при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.
Центробежная сила инерции
, вращательная
.
,
– центробежные моменты инерции,
Уравнения равновесия кинетостатики:
Условия отсутствия динамических составляющих:
,
,
,
, откуда xC= 0, yC= 0, Jyz= 0, Jzx= 0.
Принцип возможных перемещений: ;
Уравнения Лагранжа 2-го рода: , (i=1,2…s), s – число степеней свободы; qi – обобщенная координата;
– обобщенная скорость,
Т = Т(q1,q2,…,qS, ,
…
,t) – кинетическая энергия; Qi – обобщенная сила.
.
, П = П(q1,q2,…,qS,t) – потенциальная энергия.
Функция Лагранжа: L = T – П, – уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы.
При стационарных связях – квадратичная форма обобщенных скоростей, aij= aji – коэффициенты инерции.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.