pogorelov-gdz-11-2001z (546201), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Сколько процентов материала сточено ?Радиус шара равен радиусу цилиндра и половине высоте цилиндра. Тогда, если R — радиус цилиндра, то объем шараV0 =4 3πR , а объем цилиндра V2=Sосн ⋅ 2R=πR2⋅2R=2πR3.3Тогда объем сточенного материала43V′=V−V0= 2πR3 − πR3 =2 3πR .3А процентное соотношение:2 3πR1V′⋅ 100% = 3 3 ⋅ 100% = 33 % .3V2πR25. Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок 3 см.Найдите объем материала, из которого изготовлен шар.Внешний радиус R=r=R–1⋅18=9(см). Тогда внутренний радиус22=6(см).3Объем материала равен разности объемов внешнего и внутреннего шаров, то есть V = V1 − V 2 ==444πR 3 − π ⋅ r 3 = π( R 3 − r 3 ) =3334π ⋅ (93 − 63 ) = 684π ≈ 2148 (см3).326.

Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного цилиндром.Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосудимел объем V?117Объем сосуда равен сумме объемов полушара радиусом R ицилиндра с радиусом основания R и искомой высотой Х.То есть V =2 3πR + πR 2 ⋅ Х .32V − πR3V23=− R.Х =πR 2πR 2 327. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делят его начасти 3см и9 см.На какие части делится объем шара?ОО1 = 3 см, так что объем верхнего сегмента равенОО1 V1 = πОО12 ⋅  R −.3 33+9OOV1 = π ⋅ 32 ⋅  6 −  = 45π (см3), так как R = 1 2 == 6 (см) —322радиус шара.Тогда объем нижней части равен разности объемов шара иверхнего сегмента, то естьV2 = V0 − V1 =4 34πR − V1 = π ⋅ 63 − 45π = 243π(см3 ) .3328.

Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?Высота h = 0,1d = 0,2R. Тогда объем шарового сегмента1180,2 R  0,112πR3hV0 = πh 2  R −  = 0,04πR 2  R −.=33 3Так чтоV0 0,112πR3 0,112=== 0,028 .44V3 ⋅ πR3329.

Два равных шара расположены так, что центр одного лежитна поверхности другого.Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?Общая часть шаров представляет собой сумму двух одинако1вых шаровых сегментов с высотой ОК=R, где R — радиус ша2ров.Так что V0 = 2πOK 2  R −R2 R  5 R 3πOK .R −  = = 2π ⋅3 4 612V05πR3 ⋅ 35==.3V 12 ⋅ 4πR1630. Диаметр шара, равный 30 см, является осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12см. Найдите объем части шара,заключенный внутри цилиндра.Рассмотрим осевое сечение шара.

Объем части шара, заключенный внутри цилиндра, равен сумме объемов цилиндра с радиу119сом основания NB=12 см и высотой BC, а также двух одинаковыхшаровых сегментов с высотой MN.1Имеем в ∆OBN: OB= ⋅30=15(см) и NB=12(см).2Так что по теореме Пифагора:ON = OB 2 − NB 2 = 9(см) .Далее ВС = 2NO = 18 (см) и NM = OM − ON = 15 − 9 = 6(см) .Так что объем шарового сегмента V1 = πNM 2  R −NM =3 = 36π(R–2) = 36π⋅13 = 468π (см3).Объем цилиндра V2 = πNB2⋅BC=π⋅122⋅18 = 2592π (cм3).Так что общий объем V = 2V1 + V2 = 3528π (см3).31. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания 60 см, а радиус шара 75 см.Рассмотрим осевое сечение шара. В прямоугольном ∆OВKOB=75см, KB=60см (по условию).Тогда по теореме ПифагораOK = OB 2 − BK 2 = 75 2 − 60 2 =45(cм).Так что высота шарового сегментаСК=СО−ОК=75−45=30(см).И объем одного сегмента:V1 =22πСО 2 ⋅ СК = π ⋅ 752 ⋅ 30 = 112500π (см3) = 112,5π (дм3).33Объем оставшегося шарового сектора равен разности объемашара и найденного объема сегмента:V2 =12044πСО3 − V1 = π ⋅ 753 − 112500π = 450000 (см3 ) = 450π (дм3).3332.

Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается околоодного из боковых радиусов.Найдите объем полученного тела.В прямоугольном ∆ΟΟ1B1 BO=R, ∠BOO1=30°.R 3Так что, OO1=ВO⋅cos30°=.2Далее, высота полученного шарового сегмента32− 3=R.22KO1=KO−OO1=R−RТак что его объемV =2 222− 32− 3= πR3πR ⋅ О1К = πR 2 ⋅ R ⋅.332333.

Поверхности двух шаров относятся как m:п.Как относятся их объемы?Поверхность вычисляется по формуле S = 4πR. Тогда, еслиRS1 4πR12 m= , то 1 ==2nR2S 2 4πR 24πR13RV13==  14V2RπR 23  233m; так чтоn33 m =  m  2 . = n n34. Гипотенуза и катеты треугольника являются диаметрамитрех шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями?По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике: с2=a2+b2.Так что πc2=πa2+πb2.

Площадь поверхности шара равна S=πd2,так что площадь шара с диаметром, равным гипотенузе, равнасумме двух шаров с диаметрами, равными катетам.12135. Поверхность тела, образуемого вращением квадрата околостороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону квадрата. Докажите.Так как ОBСО1 — квадрат, то высота цилиндра ОО1 равна радиусу основания ОВ.

Площадь поверхности цилиндра равна суммеплощадей боковой поверхности и двух оснований:S1=2Sосн+Sбок=2πОВ2+2πОВ⋅ОО1=4πОВ2.Далее, площадь поверхности шара, имеющего радиусом сторону основания, равна S2=4πR2=4πОВ2=S. Что и требовалось доказать.36. Радиус шара 15 см.Какую площадь имеет часть его поверхности, видимая из точки, удаленной от центра на 25 см?В прямоугольном треугольнике катет является средним геометрическим между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Такчто в ∆ОВА:ОB2=ОА⋅ОО1.Так что ОО1 =ОВ 2 152== 9 (см).ОА25Поэтому O1С=ОС−ОО1=15−9=6(см).Так что площадь видимого сферического сегмента равнаS=2πR⋅О1С=2πОВ⋅О1С=2π⋅15⋅6 = 180π (см2).37. Шар радиусом 10 см цилиндрически просверлен по оси.Диаметр отверстия 12 см.Найдите полную поверхность тела.122Рассмотрим осевое сечение шара.Тогда OB=R=10(см)11ВD=r= D= ⋅12= 6(см).22Так что в ∆DBO по теореме Пифагора получим:OD= OB 2 − ВD 2 = 102 − 62 = 8(см).Площадь искомой поверхности равна сумме площади боковойповерхности цилиндра с радиусом основания, равным DB, и высотой BM=2·OD =2⋅8=16(см) и площади S′, равной разности площадей шара и двух шаровых сегментов с высотойCD=CO−OD=10−8=2(см).То есть S=S0+S′=2π⋅DB⋅BM+(4π⋅OB2−2⋅2π·OB⋅CD)==π(2⋅6⋅16+4⋅102−4⋅10⋅2)=512π (cм3).38.

Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеетвысоту 18м.Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепкиуходит 10% материала?Боковая поверхность трубы равна боковой поверхности цилиндра с радиусом R=1⋅65=32,5(см) и высотой h=18(м).2Sбок = 2πRh = 2π⋅0,325⋅18=11,7 (м2).S=πD⋅H.Учитывая, что на заклепки уходит 10% материала, то общееколичество его: S=1,1Sбок=1,1⋅11,7π≈40,4 (м2).39. Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м в длину и5,8м в диаметре. Найдите полную поверхность подвала.Полная поверхность подвала состоит из половины полной поверхности цилиндра и площади пола, т.

е. площади прямоугольника со сторонами h=6 м и d=5,8 м.Так что S ==11πd 2 + h⋅d =( Sбок + 2 Sосн ) + h ⋅ d =  πdh +22 2 1(π ⋅ 5,8 ⋅ 6 + 16,82π) + 34,8 = 25,81π + 34,8 ≈ 116(м 2 ) .2Ответ: 116 (м2).12340. Из круглого листа металла выштампован цилиндрическийстакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что площадь листа при штамповке не изменилась, найдите диаметр листа.Площадь стакана S0 равна сумме площади боковой поверхностицилиндра и площади основанияS0=πd 2π ⋅ 252+ πdh =+ π ⋅ 25 ⋅ 50 = 1406,25π (см2).44Так как площадь не изменилась, то S=Откуда d =πd 2= S0 .44 S0= 5625 = 75 (см).πОтвет: 75 (см).41.

В цилиндре площадь основания равна Q, а площадь осевогосечения М. Чему равна полная поверхность цилиндра?Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами d — диаметр и h — высота цилиндра, так что M = d⋅h.Далее, S=Sбок+2Sосн=πd⋅h+2Q=πM+2Q.42. Конусообразная палатка высотой 3,5 м и диаметром основания 4 м покрыта парусиной.

Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?BO=1AB=2(м).2В прямоугольном ∆СВО по теореме Пифагора получим:СВ = СО 2 + ВО 2 = 3,52 + 22 = 16,25 (м).Далее площадь боковой поверхности конусаS=πRl=π⋅OB⋅BC=π⋅2⋅ 16,25 ≈25,3 (см2).12443. Крыша башни имеет форму конуса. Высота крыши 2м, диаметр башни 6 м.Найдите поверхность крыши.OB=1AB=3 (м).2В прямоугольном ∆СВО по теореме Пифагора получимBC = OB 2 + OC 2 = 32 + 22 = 13 (м).Далее, S=π⋅Rl=π·ОВ·BC=π· 3 13 ≈ 34(м 2 ) .Ответ: 34 (м2).44.

Площадь основания конуса S, а образующие наклонены кплоскости основания под углом а. Найдите боковую поверхностьконусаПлощадь основания конуса S=πR2=π·ОВ2. Откуда R=ОВ=Далее, в прямоугольном ∆СВО: CB=Тогда, Sбок=πRl=πОВ⋅ВС=π ⋅S.π1SОВ.=⋅cos α cos απS1SS⋅⋅=.π cos α π cos α45. Как относятся между собой боковая и полная поверхностиравностороннего конуса (в сечении правильный треугольник)?125Так как ∆АВС — равносторонний, то11R=OB= AB= BC.

Тогда боковая поверхность равна22Sбок=πRl=πR⋅BC=πR⋅2R=2πR2.А полная поверхность равна S=Sбок+Sосн=2πR2+πR2=3πR2.Так чтоSбок 2πR 2 2== .S3πR 2 346. Полная поверхность равностороннего конуса равновеликаповерхности шара, построенного на его высоте как на диаметре.Докажите.ВПолная поверхность равностороннего конуса равна S0 = 3πR2(смотри задачу №45).Далее рассмотрим осевое сечение. Тогда в равностороннем∆ABC высота CD=R 3АВ 3= R 3 . Так что OD=и22площадь поверхности шара равна2R 3 = 3πR 2 = S0 . 2 S=4πOC2 = 4π Что и требовалось доказать.47. Полукруг свернут в коническую поверхность.

Найдите уголмежду образующей и осью конуса.При сворачивании полукруга в конус длина дуги АВ будет равна длине окружности основания конуса. Так что2π ⋅ АО= π ⋅ AO = 2π ⋅ АО1 .2АОТак что АО1=.2l1 =126ОВ прямоугольном ∆AОО1:AO1 1= . Так что ∠AOO1=30°.sin∠AOO1=AO 2Ответ: 30°.48. Радиус кругового сектора равен 3 м, его угол 120°. Секторсвернут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конуса.Длина окружности основания конуса (б) равнадлине дуги АВ.

То естьl=2πAC ⋅ 120° 2π ⋅ 3== 2π = l = 2πAO .360°3Так что АО=2π= 1 (м).2πОтвет: 1 м.49. Сколько квадратных метров латунного листа потребуется,чтобы сделать рупор , у которого диаметр одного конца 0,43 м,другого конца — 0,036 м и образующая — 1,42 м?127Дополним усеченный конус до полного. Тогда из подобия коAB KBнусов следует, что=.DC KCПусть KB =а.Тогда0,036а=.0,43а + 1,42Так что а≈0,1297(м) и КС=а+1,42 =1,5497 (м).Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей конусов:AB DC⋅ KC −⋅ KB  =2 2S=S1 − S2=π⋅O1C·KC−π⋅OВ·KB= π=π(0,215⋅1,5497 – 0,018⋅0,1297)≈1,04 (м2).50.

Сколько олифы потребуется для окраски внешней поверхности 100 ведер, имеющих форму усеченного конуса с диаметрамиоснований 25 см и 30 см и образующей 27,5 см, если на 1 м2 требуется 150 г олифы?Дополним усеченный конус до полного.Пусть КВ=а.Из подобия конусов следует:AB KB 25а=, откуда=,DC KC 30 а + 27,5КВ=а=137,5(см) и КС=а+27,5=165(см).Полная площадь ведра состоит из площади основанияSосн =πAB 2= 156,25π (см2) и боковой поверхности ведра, равной4разности боковых поверхностей конусов:AB DC⋅ KC −⋅ KB  =2 2Sбок=S1–S2=π =π(15⋅165–12,5⋅137,5)=756,25π (см2).Так что S=Sосн+Sбок=912,5 (см2)=0,09125 (м2).Общее количество краски m=100⋅S⋅150≈4300 (г)=4,3 кг.128.

Характеристики

Список файлов книги