pogorelov-gdz-11-2001z (546201), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Так что2AC·BD=2(м2). Диагональные сечения — прямоугольники АСС1А1и BDD1B1 с площадями S1=AC·CC1 и S2=BD·DD1. ТогдаS1·S2 = AC⋅BD⋅СС12 = 2СС12 = 3⋅6 = 18 (м2), так что СС1=3 (м) иV=S⋅СС1=1⋅3=3 (м2).14. Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадьромба Q, а площади диагональных сечений М и N. В основаниилежит ромб.1d1⋅d2.
Диагональ2ными сечениями являются прямоугольники, у которых одной стороной является диагональ ромба, а другой — высота прямого параллелепипеда.Так что их площади:M = d1⋅h и N = d2⋅h, где h — высота.Пусть d1 и d2 — диагонали ромба. Тогда Q=Тогда MN = d1⋅d2⋅h2 = 2Qh. Откуда h2 =h=86MN; Тогда V = Q ⋅ H =2QMNQ.2MNи2Q15. Основание наклонного параллелепипеда — квадрат, сторона которого равна 1м. Одно из боковых ребер равно 2м и образуетс каждой из прилежащих сторон основания угол 60°.
Найдите объем параллелепипеда.Из точки A1 проведем перпендикуляры к сторонам основания AD иАВ. Тогда AA1·cos60°=2⋅0,5=1м=AD. Так что основанием перпендикуляра является точка D. Далее, AA1·cos60°=1м=АВ, так что основание перпендикуляра, опущенного из точки А1 на АВ будет вточке В. То есть А1D⊥AD и A1B⊥AB. Тогда по теореме о трех перпендикулярах A1C⊥DC и, соответственно, A1C⊥BC. Так что А1С —высота параллелепипеда.В квадрате ABCD диагональ АС = 2 АВ = 2 (м).
Тогдав прямоугольном ∆AA1C по теореме Пифагора:А1С= AA12 − AC 2 = 4 − 2 = 2 (м). Так чтоV = S ABCD ⋅ A1C = AB 2 ⋅ A1C = 1 ⋅ 2 = 2 (м3).16. Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а иострым углом 60°.Найдите объем параллелепипеда.Проведем перпендикуляр А1О к плоскости основания, а такжеA1M⊥AD и Α1Κ⊥ΑΒ. По теореме о трех перпендикулярах ОМ⊥AD иОК⊥АВ. ∆АА1М=∆АА1К (по гипотенузе AA1 и острому углуa∠A1AM=∠A1AK=60°). Тогда AK=AM=AA1·cos60= .2Далее, ∆ΑΜО = ∆АКО (по гипотенузе и катету).87Так что ∠КАО=∠ОАМ=30°.AO =AМaaa 3===.cos ∠МAO 2 cos 30o33В прямоугольном ∆АА1О по теореме Пифагора:A1O =AA12 − AO 2 = a 2 −2a2=a.33Основание параллелепипеда — ромб с площадьюS=AB⋅AD⋅sin∠BAD= a ⋅ a ⋅ sin 60o =Тогда V = S ⋅ A1O =a2 3;22a2 3a3⋅a=.23217.
Каждое ребро параллелепипеда равно 1см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2α каждый.Найдите объем параллелепипеда.Проведем перпендикуляр А1О к плоскости основания, а такжеA1M⊥AD и A1K⊥AB. Тогда по теореме о трех перпендикулярахOM⊥AD и ОК⊥АВ. ∆АА1М=∆AA1K (по гипотенузе и острому углу2α). Так что AK=AM=AA1·cos2α=cos2α. Далее, ∆АМО=∆АКО (погипотенузе и катету). Так что ∠КАО=∠МАО=α.AKcos 2α.=AO =cos ∠KAO cos αДалее, в прямоугольном ∆АА1О по теореме Пифагора получаем:A1O ==AA12 − AO 2 = 1 −1 + cos 2α − 1 − cos 4α22 cos α=cos 2 2αcos 2 α=cos 2 α − cos 2 2αcos 2α − cos 4α22 cos αcos 2 α==sin α ⋅ sin 3α(см).cos αДалее, основание параллелепипеда — ромб с площадьюS=АВ⋅AD⋅sinα=1 ⋅ 1sin2α=sin2α (см2). Тогда объем88V = S ⋅ AP = sin 2α ⋅sin α sin 3α 2 sin α cos α sin α sin 3α==cos αcos α= 2 sin 3 α sin 3α (см3).18.
В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из однойвершины, равны a, b, c. Ребра a и b взаимно перпендикулярны, аребро с образует с каждым из них угол α. Найдите объем параллелепипеда.Основание параллелепипеда — прямоугольник ABCD со сторонами АВ=a и AD=b. Его площадь S=AB⋅AD=ab. Из точки A1 проведемперпендикуляры А1О к плоскости основания, а также A1M⊥AD иА1К⊥АВ. Тогда по теореме o трех перпендикулярах OM⊥AD иОК⊥АВ. Далее, ∆АА1М=∆АА1К(по гипотенузе и острому углу α).Так что АК=АМ=АА1⋅ cosα=c⋅cosα.Далее, ∆ΑΜΟ = ∆АКО (АО − общая сторона и АК=АМ).
Так что∠МАО=∠КАО=45°. ТогдаAO =AМc ⋅ cos α== c 2 cos α .cos ∠МAO cos 45oВ ∆AA1O по теореме Пифагора получаем:A1O =AA12 − AO 2 = c 2 − 2c 2 cos 2 α = c 1 − 2 cos 2 α = c ⋅ − cos 2α .Тогда V = S ABCD ⋅ A1O = abc − cos 2α .19. По стороне основания a и боковому ребру b найдите объемправильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.Объем призмы равен V=Sосн ⋅h, где h — высота. Но в правильнойпризме высота равна боковому ребру, так что h = b (по условию) иV = b⋅Sосн. Тогда:1) Основание — равносторонний треугольник.
Его площадь равна:Sосн =a2 3ba 2 3. Тогда V =.442) Площадь квадрата Sосн=a2, V=ba2.893) Правильный шестиугольник представляет собой шесть равносторонних треугольников со стороной a. Так чтоSосн = 6 ⋅ S ∆ = 6 ⋅V =a 2 3 3a 2 3=.423ba 2 3.220. Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника состороной 3,2см. и толщиной 0,7см имеет массу 17,3 г. Найдитеплотность дерева.АВ ∆ВСО: ∠ОСВ=90° и ∠ВОС=22°30′.ТогдаCO =1,6CBAB==(см).tg∠BOC 2 tg 22o30′ tg22°30′Далее, площадь правильного восьмиугольника14 ⋅ 3,2 ⋅1,620,48=(см2).S = 8 ⋅ S AOB = 8 ⋅ ⋅ AB ⋅ OC = 4 AB ⋅ CO =′2tg22°30tg22°30′Тогда объем трубы V = S ⋅ h =Далее, ρ =9014,36(см3).tg22°30′ г17,3 ⋅ tg 22o30′≈ 0,514,336 см 3 .21. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5см, а диагональ боковой грани 2,5 см.Найдите объем призмы.Так как по условию призма правильная, то CC1⊥DC и DC⊥AD.Так что по теореме о трех перпендикулярах C1D⊥AD.
Далее, впрямоугольном ∆АС1D по теореме Пифагора находим:AD =AC12 − DC12 = 3,5 2 − 2,5 2 = 6 (см).Тогда в прямоугольном ∆DC1С по теореме Пифагора найдем:С1С = DC12 − DC 2 = DC12 − AD 2 = 2,52 − 6 = 0,5(см).Далее, V = S ABCD ⋅ CC1 = AD 2 ⋅ CC1 = 6 ⋅ 0,5 = 3 (см3).22. Сторона основания правильной треугольной призмы равна a,боковая поверхность равновелика сумме оснований.Найдите ее объем.Площадь основания равна площади равностороннего треугольника со стороной а. Так что Sосн =a2 3.4Далее, площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту, то есть Sбок=3a ⋅ h. Но по условиюSбок=2Sосн ⋅ 3a ⋅ h =2a 2 3a 3, h=.46Тогда V = Sосн ⋅ h =a 2 3 a 3 a3⋅=.46823.В правильной шестиугольной призме площадь наибольшегодиагонального сечения 4м2, а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями 2м.Найдите объем призмы.91KНаибольше диагональное сечение — это AA1D1D.
Тогда AD —диаметр окружности, описанной около правильного шестиугольника. Так что AD=2R и АВ=АМ=R. ∠МАВ найдем по формуле:180 o ⋅ (n − 2) 180 o ⋅ (6 − 2)∠MAB === 120o . Тогдаn6∠MAX =111∠MAB = 60o и MX = MB = ⋅ 2 = 1(м) .222Далее, в прямоугольном ∆ΑΜХ: ΑΜ=Так что R = AM =2 3(м).3Значит, AD = 2R =4 3(м).3MX1⋅ 2 2 3==.sin ∠MAX33А поскольку S AA1D1D = AA1 ⋅ AD =4 м2, то АА1 =4⋅34 3= 3 (м)Далее, площадь основания равна площади шести равносторонних∆, то есть Sосн = 6⋅SAMO =211 2 3 3⋅= 2 3 (м)3.= 6 ⋅ MO ⋅ AO ⋅ sin 60o = 6 ⋅ ⋅ 22 3 2Тогда V = Sосн ⋅ АА1 = 2 3 ⋅ 3 = 6(м3).Ответ: 6 м3.24.
В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярноебоковым ребрам и пересекающее все боковые ребра.Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребраравны l.Задача решена в учебнике п. 202, стр. 102.25. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15м, арасстояние между содержащими их параллельными прямыми 26м,25м и 17м. Найдите объем призмы.92Проведем сечение, перпендикулярное боковым ребрам.
Получится∆MΝΚ со сторонами, равными расстояниям между параллельнымипрямыми, содержащими боковые ребра призмы.Используя задачу № 24, имеем, что: объем призмы равен произведению площади сечения, проведенного перпендикулярного боковым ребрам, на длину бокового ребра. Далее, найдем по формулеГерона SMNK:S=p ( p − MK )( p − MN )( p − NK ) == 34 ⋅ (34 − 26) ⋅ (34 − 25) ⋅ (34 − 17) = 204 (м2).Тогда V = S ⋅ BB1 = 204 ⋅ 15 = 3060 (м3).26. Вычислите пропускную способность (в кубических метрахза 1ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4м и высотой 1,2м. Скоростьтечения воды 2м/с.Если d — длина труб, которую проходит вода за 1 час, тоV=S⋅d=S⋅v⋅t, где v — скорость течения воды за t=1 час=3600 сек.S — площадь треугольника, так чтоS=1⋅ 1,4 ⋅ 1,2 = 0,84(м2), поэтому количество прошедшей воды рав2ноV = S ⋅ v ⋅ t = 0,84 ⋅ 2 ⋅ 3600 = 6048(м3).Ответ: 6048 м3.27.
Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции снижнем основанием 14м, верхним 8м и высотой 3,2м.Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1км насыпи.Железнодорожная насыпь представляет собой прямую призму соснованием в виде трапеции и высотой, равной боковому ребрудлиной 1 км=1000 м. ТогдаV = Sосн ⋅ h =14 + 8a+b⋅l ⋅h =⋅ 3,2 ⋅ 1000 =35200(м3).229328.
В прямой треугольной призме стороны оснований равны4см, 5см и 7см, а боковое ребро равно большей высоте основания.Найдите объем призмы.Найдем площадь основания по формуле Герона:Sосн =p ( p − a )( p − b)( p − c) == 8 ⋅ (8 − 4) ⋅ (8 − 5) ⋅ (8 − 7) = 4 6 (см2).Далее, высота призмы равна боковому ребру, то есть большей высоте основания. Большая высота основания та, которая проведенак меньшему основанию. Тогда, если она равна h, тоSосн =12Sah = 4 6 (см2). Так что h == 2 6 (см).2aНу, и V = Sосн ⋅ h = 4 6 ⋅ 2 6 = 48(см3).Ответ: 48 см3.29. Площадь основания прямой треугольной призмы равна4см2, а площади боковых граней — 9 см2, 10 см2 и 17 см2.Найдите объем.Боковые грани призмы — это прямоугольник с одной из сторон,равной длине бокового ребра, то есть АА1, а другой — равной стороне ∆АВС, лежащего в основании.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
