Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Пусть заданы вероятности q_j: q₁ = 0,1; q₂ = 0,5; q₃ = q₄ = 0,2.

Тогда:

a₁ = 1·0,1+4·0,5+14·0,2 = 4,9;

a₂ = 3·0,1+8·0,5+7·0,2 = 5,7;

a₃ = 4·0,1+6·0,5+8·0,2 = 5.

Согласно критерию Лапласа оптимальной является стратегия А₂.

Расчет относительно рисков также приведет к стратегии А₂:

r₁ = 3·0,1+4·0,5+1·0,2 = 2,5;

r₂ = 1·0,1+0·0,5+8·0,2 = 1,7;

r₃ = 0·0,1+2·0,5+7·0,2 = 2.4.

5.2.2.Случай с неизвестными вероятностями
состояний «природы»

Если вероятности состояний «природы» не известны, то для поиска решения ЛПР может применять различные критерии оптимальности. Рассмотрим наиболее используемые критерии.

Критерий Вальда – наиболее осторожный критерий (критерий крайнего пессимизма), согласно которому оптимальной для ЛПР является стратегия, максимизирующая минимальный выигрыш:

.

Критерий Сэвиджа – также осторожный критерий, согласно которому оптимальной для ЛПР является стратегия, минимизирующая максимальный риск:

.

Компромиссный критерий Гурвица – компромиссный критерий, согласно которому в качестве оптимальной для ЛПР выбирается стратегия, максимизирующая следующее выражение:

,

где k – коэффициент осторожности (пессимизма), 0  k  1. Заметим, что при k = 1 критерий Гурвица переходит в критерий Вальда, а при k = 0 имеем так называемый критерий «крайнего оптимизма», предлагающий ЛПР в качестве оптимальной стратегию, максимизирующую максимальный выигрыш.

Естественно, чем ответственнее выбор и чем меньше склонен рисковать ЛПР, тем ближе к 1 следует выбирать коэффициент k. При отсутствии у ЛПР информации для выбора или «по умолчанию» рекомендуется выбирать k  0,6.

Если ЛПР сомневается при выборе критерия оптимальности, то рекомендуется применить несколько критериев и выбрать ту стратегию, которую рекомендует большинство из них.

В качестве примера рассмотрим игру с «природой», матрицы G(34) и R(34) которой с некоторыми дополнительными столбцами представлены соответственно табл. 5.4 и табл. 5.5.

Таблица 5.29

G(34)

Таблица 5.30

G(34)

Дополнительные столбцы таблиц содержат следующую информацию, определяемую по соответствующим матрицам выигрышей и рисков: , , , .

Применение соответствующих критериев приведет к следующим результатам:

• согласно критерию Вальда оптимальной для ЛПР стратегией будет A₁;

• согласно критерию Сэвиджа оптимальной для ЛПР стратегией будет A₃;

• согласно критерию Гурвица (с k = 0,6) оптимальной для ЛПР стратегией будет A₃.

Два критерия из трех рекомендуют ЛПР выбрать стратегию A_3., что и следует сделать, если ЛПР не боится риска получить очень маленький выигрыш 11, возможный при выборе этой стратегии. Если такой риск не приемлем для ЛПР, то следует выбрать наиболее осторожную стратегию A₁, рекомендуемую критерием Вальда и гарантирующую минимальный выигрыш 19.

Заметим, что в играх с «природой», как правило, не используются смешанные стратегии по следующим причинам:

• в антагонистических играх смешанные стратегии применяются часто для того, чтобы обмануть, запутать противника, что в играх с «природой» не имеет смысла;

• аппарат смешанных стратегий ориентирован на получение максимального среднего выигрыша, т.е. выигрыша, который будет получен при многократном повторении игры, но в таком случае накапливается статистика и выявляются вероятности q_i состояний «природы», при наличии которых может быть применен критерий Лапласа, дающий решение в чистых стратегиях.

5.3.Контрольные вопросы к разделу 5

• Дайте определение игры с «природой».

• Определите понятие риска.

• Сформулируйте критерий Лапласа для случая стохастической неопределенности.

• Сформулируйте критерий Вальда.

• Сформулируйте критерий Сэвиджа.

• Сформулируйте критерий Гурвица.

• Приведите пример на решение игры с «природой».

• Рассмотрите игру с природой G(43), заданную следующей матрицей игры для случая стохастической неопределенности при q₁ = 0,3; q₂ = 0,4; q₃ = 0,1; q₄ = 0,2 и случая отсутствия вероятностей состояний природы:

• Дайте пояснения по поводу использования смешанных стратегий в играх с «природой».

6.ИГРЫ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ ИСХОДАМИ

6.1.Определение игры с упорядоченными исходами
при наличии ряда критериев

Рассмотрим следующий пример. Пусть ожидается эпидемия некоторого заболевания, который может быть вызван вирусами, условно обозначенными В₁, В₂, В₃. Против данного типа вирусов могут быть использованы вакцины типа V₁, …, V₇. Предполагается, что чем больше номер вакцины i, тем меньше затраты α_i (в некоторых условных единицах) на ее производство, пусть α_i  {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Эффективность вакцины типа V_i, i = 1, …, 7, оценивается величиной _i  {1; 2; 3; 4} (чем больше значение _i, тем эффективнее вакцина).

Технология производства вакцины такова, что одновременно в массовом порядке может производиться вакцина только одного типа. Требуется определить, какого типа вакцину следует производить с целью минимизации затрат на производство (что позволит произвести больше вакцины при тех же затратах) и максимизации ее эффективности.

Введем понятие исхода R(V_i, B_j) = (_i, _i) – результата (выигрыша), отражающего как затраты α_i на производство вакцины V_i, так и ее эффективность _i применительно к вирусу типа B_j. Тогда для поиска оптимального решения (стратегии производства) может быть использован критерий

R(V_i, B_j)  (max, max).

6.2.Поиск решения игры с упорядоченными исходами

Пусть задана табл. 6.1 возможных исходов. Нетрудно заметить, что проблемная ситуация моделируется игрой с «природой», где стратегиями (выборами) ЛПР являются типы вакцин, а состояниями «природы» (условиями) – типы вирусов. Поскольку вероятности состояний «природы» неизвестны, то в качестве критерия оптимальности выберем наиболее осторожный критерий Вальда, предварительно выделив наихудший исход для вакцины каждого типа (см. последний столбец табл. 6.1).

Таблица 6.31

B j Vi	B1	B2	B3	min(i, j)
V 1	(1; 4)	(1; 3)	(1; 3)	(1; 3)
V2	(2; 3)	(2; 3)	(2; 4)	(2; 3)
V 3	(3; 4)	(3; 3)	(3; 2)	(3; 2)
V 4	(4; 3)	(4; 2)	(4; 3)	(4; 2)
V5	(5; 2)	(5; 3)	(5; 2)	(5; 2)
V 6	(6; 3)	(6; 2)	(6; 1)	(6; 1)
V7	(7; 1)	(7; 2)	(7; 3)	(7; 1)

Применение критерия Вальда сводится к установлению отношения предпочтения (доминирования) на множестве выделенных исходов и удаления доминируемых исходов, а значит, и соответствующих им стратегий (вакцин) ЛПР (отмечены перечеркнутыми строками). В результате получаем множество эффективных (недоминируемых) решений Парето {V₂, V₅, V₇}, для окончательного выбора из которого ЛПР необходима дополнительная информация. Например, если известно, что эпидемия не носит всеобщего характера (заболевают в основном дети и пожилые люди), но болезнь протекает тяжело, то предпочтение следует отдать наиболее дорогой, но и наиболее эффективной в целом вакцине типа V₂. Для противоположного случая – всеобщность эпидемии при сравнительной легкости заболевания – целесообразно производить наиболее дешевую (но и менее эффективную) вакцину типа V₇. Для промежуточного случая или при отсутствии дополнительной информации может быть рекомендована вакцина типа V₅. Заметим, что если имеется достаточно средств, то следует производить наиболее эффективную вакцину V₂.

Характеристики

Список файлов книги