Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Пусть также известно, что в интересующий период времени (например за рабочий день) отдел П может произвести продукции в объеме 5 или 10 машин, а отдел Т для ее перевозки выделить малую автоколонну (4 машины), большую автоколонну (7 машин), две малые автоколонны (8 машин) или одну большую и одну малую автоколонны (11 машин).

Моделью описанной ситуации может быть биматричная игра, представленная табл. 4.6.

Таблица 4.23

Необходимо дать рекомендации руководителю отдела П о наиболее выгодном для него объеме производимой продукции (т.е. о выборе стратегии П₁ или П₂), учитывая, что отдел П заинтересован в максимизации своего дохода, а отдел Т – в минимизации своих затрат.

Для получения численных результатов примем a = 10, b = 6, c = 2. Тогда табл. 4.6 примет вид табл.4.7.

Таблица 4.24

Воспользуемся сначала методом максимина, ориентирующим руководителя отдела П на наиболее осторожное поведение. В этом случае оптимальной является стратегия П₁, гарантирующая отделу П доход в 37 денежных единиц (см. последний столбец табл. 4.7). Учитывая интересы отдела Т (как видно из табл. 4.7, минимальные затраты для Т будут при выборе стратегии Т₁), именно этот доход и будет получен отделом П.

Отметим, однако, что выбор стратегии П₁ вряд ли является наилучшим для отдела П. Так, если он выберет стратегию П₂ и сообщит о своем выборе руководителю отдела Т, то тот, руководствуясь интересами своего отдела, должен будет выбрать стратегии Т₃ или Т₄, что гарантирует доход отдела П в 74 или 100 денежных единиц. Более того, можно «стимулировать» отдел Т на выбор стратегии Т₄, поделившись с ним в этом случае частью дохода, например в 10 денежных единиц (при этом доход отдела П составит 90 денежных единиц, а затраты отдела Т – всего 12 единиц). Именно так скооперировано и рекомендуется действовать руководителю отдела П.

Изменим несколько исходную ситуацию, повысив стоимость хранения не вывезенной продукции: a = 10, b = 10, c = 2. Получим соответствующую таблицу табл. 4.8.

Таблица 4.25

Хотя в этом случае минимально возможный доход для отдела П при выборе стратегии П₁ в 3,5 раза больше, чем при выборе стратегии П₂ (35 и 10 соответственно),однако и в этом случае лучше выбрать стратегию П₂, проинформировав о своем решении руководителя отдела Т. Тот, руководствуясь интересами своего отдела, должен будет выбрать стратегию Т₄ (соответствующую минимальным затратам отдела Т), что гарантирует доход отдела П в 100 денежных единиц. Заметим, что в этой ситуации в «стимулировании» отдела Т нет необходимости.

4.5.Контрольные вопросы к разделу 4

1. Определите игру двух лиц с произвольной суммой.

2. Дайте определение ситуации равновесия в биматричной игре.

3. Сформулируйте теорему 4.1.

4. Приведите примеры биматричных игр, к которым плохо применима теория Нэша.

5. Почему игра типа «семейный спор» объявляется неразрешимой по Нэшу?

6. Определите рефлексивную игру.

7. Кто выигрывает в рефлексивной игре?

8. Рассмотрите практический пример на использование биматричной игры.

9. Рассмотрите в приведенном примере биматричной игры случаи a = 10, b = 6, c = 5 и a = 10, b = 10, c = 5.

5.ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ.
ИГРЫ С «ПРИРОДОЙ»

5.1.Определение игры «с природой»

Под игрой с «природой» понимается модель конфликтной ситуации, где в качестве одной из конфликтующих сторон выступает некая объективная реальность, называемая «природой», действия («поведение») которой может влиять на выбор другого игрока, принимающего решения и называемого ЛПР – лицом, принимающим решения.

Рассмотрим игру с природой G(mn), представленную в матричной форме (табл. 5.1).

Таблица 5.26

В табл. 5.1 а_ij, i = 1, …, m, j = 1, …, n, – выигрыш игрока А (ЛПР) при выборе им стратегии А_i в состоянии «природы» (условиях) П_j.

В играх с «природой» кроме выигрыша вводится также понятие риска, определяемое следующим образом.

Определение 5.1. Риском r_ij называется разность между выигрышем, который ЛПР получил бы, зная, в каких условиях П_j он принимает решение, и выигрышем, который он получит, не зная этих условий и выбирая стратегию A_i, т.е. .

Используя опр. 5.1, по матрице игры (выигрышей) G(mn) может быть построена матрица рисков R(mn), которая, как это будет показано ниже, также может быть применена для поиска оптимальной стратегии ЛПР. Матрица рисков R(34) для игры G(34) (табл. 5.2) представлена табл. 5.3.

Подчеркнем, что использовать методы решения антагонистических игр применительно к играм с «природой» нельзя, так как конфликтная ситуация имеет качественно иной характер из-за отсутствия сознательно противодействующего противника.

Таблица 5.27

G(34)

Таблица 5.28

R(34)

5.2.Методы решения игр «с природой»

5.2.1.Случай стохастической неопределенности

В случае стохастической неопределенности предполагаются известными вероятности q_j состояний «природы» П_j, j = 1, …, n. Для поиска оптимального решения применяется критерий Лапласа, согласно которому оптимальной для ЛПР является та стратегия, которая максимизирует средний выигрыш a_i:

Легко показать, что эта же стратегия будет минимизировать средний риск r_i:

В качестве примера рассмотрим игру, матрицы выигрышей и рисков которой представлены табл. 5.2 и табл. 5.3 соответственно.

Характеристики

Список файлов книги