mordkovitch-gdz-9-2000-1-670 (542431), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Тригонометрические функции числового аргумента610.а) 1 − sin2 t = cos2 t.в) 1 − cos2t = sin2t.б) cos2t − 1 = − sin 2t.г) sin2t − 1 = − cos2t.611.а) (1 − sin t )(1 + sin t) = 1 − sin2t = cos2t.б) cos2t + (1 − sin2t) = 2cos2t.в) (1 − cos t )(1 + cos t) = 1 − cos2t = sin2t.г) sin2t + 2cos2t − 1 =1+cos2t − 1 = cos2t.612.а) sin2t + cos2t + 1 = 2.б) 1 − sin2t + cos2t = 2cos2t.в) cos2t − (1 − 2sin2t) = cos2t + sin2t − 1 + sin2t = sin2t.г) 1 − (cos2t − sin2t) = sin2t + sin2t = 2sin2t.613.а)б)1cos 2 t−1 =1 − sin 2 t2cos t=1 − cos 2 tcos 2 tcos 2 tcos 2 t= tg 2 t .=1, t ≠π+ πk , k ∈ Z.2241в) 1 −г)12sin t1 − cos 2 t1 − sin 2 t=sin 2 t − 1=2sin tsin 2 tcos 2 t=−cos 2 tsin 2 t= −ctg 2 t= tg 2 t .614.πsin t= sin t, t ≠ + πk , k ∈ Z.2cos tπб) sin t + cos t ⋅ tg t = sin t + sin t = 2 sin t , t ≠ + πk , k ∈ Z.2cos tв) sin t ⋅ ctg t = sin t ⋅= cos t , t ≠ πk , k ∈ Z.sin tг) 2 sin t ⋅ ctg t + cos t = 3 cos t , t ≠ πk , k ∈ Z.а) cost ⋅ tg t = cost ⋅615.а) sin t ⋅ cos t ⋅ ctg t − 1 = sin t ⋅cos 2 t− 1 = cos 2 t − 1 = − sin 2 t ,sin tt ≠ πk , k ∈ Z.б) sin 2 t + cos 2 t + tg 2 t = 1 + tg 2 t = 1 +sin 2 t1=.cos 2 tπkв) sin 2 t − tg t ⋅ ctg t = sin 2 t − 1 = − cos 2 t , t ≠, k ∈ Z.2г) tg t ⋅ ctg t + ctg 2 t = 1 + ctg 2 t =2cos tsin 2 t + cos 2 tsin 2 tt ≠ πk , k ∈ Z.616.π< t < π , то есть cos t < 0,23cos t = − 1 − sin 2 t = − ,5sin t4cos t3tg t == − ; ctg t ==− .cos t3sin t45πб) sin t = , 0 < t < , то есть cos t > 0,13212,cos t = 1 − sin 2 t =13sin t5cos t 12; ctg t =.tg t ===cos t 12sin t545а) sin t = ,242=1sin 2 t,в) sin t = −0,6; −π< t < 0 , то есть cos t > 0,2cos t = 1 − sin 2 t = 0,8 ,34tg t = − ; ctg t = − .43г) sin t = −0,28 ; π < t <3π, то есть cos t < 0,2cos t = − 1 − sin 2 t = −0,96 ,sin t724tg t =; ctg t =.=cos t 247617.а) cos t = 0,8 , 0 < t <π, то есть sin t > 0,2sin t = 1 − cos 2 t = 0,6 ,sin t 34tg t == ; ctg t = .cos t 435 πб) cos t = − , < t < π , то есть sin t > 013 212sin t = 1 − cos 2 t =13sin t125tg t == − ; ctg t = − .cos t5123πв) cos t = 0,6 ,< t < 2π , то есть sin t < 0,2sin t = − 1 − cos 2 t = −0,8 ,sin t −0,843tg t === − ; ctg t = − .

Ошибка в ответе задачника.cos t0,634243πг) cos t = − , π < t < , то есть sin t < 02527,sin t = − 1 − cos 2 t = −25724tg t =; ctg t =.247618.а) tg t =3π, 0 < t < , то есть cos t > 0.422431cos 2 t =; cos t =1 + tg 2 t11 + tg 2 t=4;534; ctg t = .533πб) tg t = 2,4 , π < t <, то есть cos t < 0,2sin t = tg t ⋅ cos t =1cos t = −1 + tg t1cos t = −=−1 + tg 2 t13г) tg t = − ,5125; sin t = tg t ⋅ cos t = − ; ctg t =.131312π< t < π , то есть cos t < 0.234в) tg t = − ,cos t ==−2434; sin t = tg t ⋅ cos t = ; ctg t = − .5533π< t < 2π , то есть cos t > 0.213=1 + tg 2 t10; sin t = tg t ⋅ cos t = −110; ctg t = −3.619.а) ctg t =1sin t = −1 + ctg t121 + ctg t24424724; cos t = ctg t ⋅ sin t = ; tg t=.25257=5 3π,< t < 2π , то есть sin t < 0,12 211 + ctg 2 tг) ctg t = −sin t =5125; cos t = ctg t ⋅ sin t = − ; tg t = .1313127π, 0 < t < , то есть sin t > 0,242в) ctg t = −sin t = −=−2б) ctg t =sin t =123π,π<t<, то есть sin t < 0.52=−12512; cos t = ctg t ⋅ sin t = ; tg t = − .131358 π, < t < π , то есть sin t > 0,15 211 + ctg 2 t=15815; cos t = sin t ⋅ ctg t = − ; tg t = − .17178620.а) (sin t + cos t)2 − 2sin t cos t == sin2t + cos2t + 2sin t cos t − 2sin t cos t = 1.б)2 − sin 2 t − cos 2 t3 sin 2 t + 3 cos 2 t=2 −1 1= .33в) sin4t + cos4t + 2sin2t cos2t = (sin2t + cos2t)2 = 1.г)sin 4 t − cos 4 t22=(sin 2 t − cos 2 t )(sin 2 t + cos 2 t )sin 2 t − cos 2 tsin t − cos tπ πk, k ∈ Z.t≠ +4 2=1,621.а) (sin t + cos t)2 + (sin t − cos t)2 == sin2 t + cos2 t + 2sin t cos t + sin2t + cos2t − 2sin t cos t = 2.б) (tg t + ctg t)2 − (tg t − ctg t)2 == tg2t + ctg2t + 2 − tg2t − ctg2t + 2 = 4. sin t cos t += cos t sin t в) sin t cos t ⋅ (tg t + ctg t) = sin t cos t = sin t cos tsin 2 t + cos 2 tπk=1, t ≠, k ∈ Z.sin t cos t2г) sin2t cos2t (tg2t + ctg2t + 2) = sin2t cos2t (tg t + ctg t)2 =2 sin 2 t + cos 2 t  = 1, t ≠ πk , k ∈ Z.= sin t cos t  cos t sin t 222622.2 sin t2sin tsin tsin t (1 − cos t + 1 + cos t )а)+===.1 + cos t 1 − cos tsin 2 t sin t1 − cos 2 tб) (1 + tg t)2 + (1 − tg t)2 = 1 + tg2 t + 2 tg t + 1 + tg2 t − 2tg t == 2(tg2 t + 1) =2.cos 2 tcos tcos tcos t (1 − sin t + 1 + sin t ) 2 cos t2в)+===.1 + sin t 1 − sin tcos t1 − sin 2 tcos 2г) (1 + ctg t)2 + (1 − ctg t)2 = 1 + ctg2t + 2ctg t + 1 + ctg2t − 2 ctg t == 2(ctg2t + 1) =2sin 2 t.623.а)1 − sin 2 t1 − cos 2 t+ tg t ⋅ ctg t =cos 2 tsin 2 t+1 =1sin 2 t.245б) ctg t +в)1sin tcos tsin tsin 2 t + cos t + cos 2 t=+==.1 + cos t sin t 1 + cos tsin t (1 + cos t )sin tcos 2 t − 12sin t − 1+ tg t ⋅ ctg t =− sin 2 t2− cos t+1 =1cos 2 t.cos tsin tcos tsin t + sin 2 t + cos 2 t=+==1 + sin t cos t 1 + sin tcos t (1 + sin t )1 + sin t1.==cos t (1 + sin t ) cos tг) tg t +624.sin tsin tsin t (1 − cos t + 1 + cos t ) 2 sin t2+===.1 + cos t 1 − cos t1 − cos 2 tsin 2 t sin tа) −16.б) 2 3 .625.1 − cos 2 t sin 2 t== sin t = sin (t + 4π ) .sin tsin tcos tб) ctg t ⋅ sin t =⋅ sin t = cos t = cos(t − 2π ) .sin tsin tв) tg t ⋅ cos(t + 6π) =⋅ cos t = sin t = sin (t + 2π ) .cos tа)г) sin 2 (t + 4π) + cos 2 (t + 2π) − sin 2 (t − 2π) − cos 2 (t − 8π) == sin 2 t + cos 2 t − sin 2 t − cos 2 t = 0 .626.tg ttg ttg tа)===2sintcosttg t + ctg tsin t + cos 2 t+cost sin tcos t sin tsin t=⋅ cos t ⋅ sin t = sin 2 t .cos t1 + tgt1 + tg ttgt + 1б)= tg t .=1 + ctg ttgtв)cos tctg tctg tctg t===⋅ cos t ⋅ sin t = cos 2 t .22sintcosttg t + ctg tsin tsint+cost+cos t sin tcos t ⋅ sin t2461 − ctg tг)=1 − tg tsin t − cos tcos tcos tsin tsin t ==−= −ctg t .cos t − sin tsin tsin t1−cos tcos t1−627.sin (4π + t ) =3π, 0 < t < , то есть cos t > 0,5233sin tsin (4π + t )tg (π − t ) = tg (− t ) = −tg t = −=−= − 5 =− .4cos t241 − sin (4π + t )5628.12 3π,< t < 2π , то есть sin t < 0,13 2cos tcos(−t )ctg (π − t ) = ctg (− t ) = −ctg t = −=−=sin tsin t12cos(2π − t )1213=−=−=+ .25144− 1 − cos (2π − t )− 1−169cos(2π − t ) =629.5, 8,5 < t < 9π, то есть sin t > 0,1312sin (− t ) = − sin t = − 1 − cos 2 t = − .13cos t = −630.4 9π< t < 5π , то есть cos t < 0.sin t = ,5 2cos(− t ) + sin (− t ) = cos t − sin t = − 1 − sin 2 t − sin t = −3 47− =− .5 55§ 25.

Тригонометрические функции углового аргумента631.11π2πа). б).935π1в). г) 4 π .43247632.5π7πа). б).6611π11πв). г).63633.128π43πа). б).453635π171πв). г).1836634.а) 135°. б) 660° . в) 216°. г) 920°.635.а) 480°. б) 315°. в) 324°. г) 555°.636.а) 300°. б) 675°. в) 375°. г) 280°.637.а) sin αб) sin αв) sin αг) sin α= 1; cos α = 0; tg α − не существует ; ctg α = 0.= 1; cos α = 0; tg α − не существует ; ctg α = 0.= 0; cos α = 1; tg α = 0; ctg α − не существует.= −1; cos α = 0; tg α − не существует ; ctg α = 0.638.а) sin α =22; cos α = −; tg α = −1; ctg α = −1.22б) sin α = −22; cos α =; tg α = −1; ctg α = −1.22в) sin α = −22; cos α =; tg α = −1; ctg α = −1.22г) sin α =22; cos α = −; tg α = −1; ctg α = −1.22639.а) sin α = −311; cos α =; tg α = −; ctg α = − 3 .223б) sin α = −131; cos α = −; tg α =; ctg α =2232483.в) sin α = −311; cos α =; tg α = −; ctg α = − 3 .223г) sin α = −131; cos α = −; tg α =; ctg α =2233.640.а) sin α =131; cos α = − ; tg α = − 3 ; ctg α = −.223б) sin α =311; cos α = − ; tg α = − 3 ; ctg α = −.223в) sin α = −113; cos α = ; tg α = − 3 ; ctg α = −.223г) sin α = −113; cos α = ; tg α = − 3 ; ctg α = −.223641.а) х = 5 sin α .б) x = 4 cos α .3.в) x =cos αг) x =1= ctgα .tgα642.22.= 4 .

б) x = 1 ⋅ sin 45 =sin 302245=.г) x = 5 ⋅ cos 60 = .в) x =sin 6023а) x =643.31= 6 3 , b = c cos α = 12 ⋅ = 6 .22ab1Площадь: S == 18 3 , r = c = 6 .22а) Катеты: a = c sin α = 12 ⋅б) Катеты: a = c sin α = 6 ⋅Площадь: S =22= 3 2 , b = c cos α = 6 ⋅=3 2 .22ab=9.212Радиус описанной окружности r = c = 3 .249в) Катеты: a = c sin α = 4 ⋅Площадь: S =13=2 3 .= 2 . b = c cos α = 4 ⋅22ab=2 3.212Радиус описаной окружности r = c = 2г) Катеты: a = c sin α = 60 ⋅Площадь: S =31= 30 3 .

b = c cos α = 60 ⋅ = 30 .22ab= 450 3 .212Радиус описаной окружности r = c = 30 .644.sin 160, sin 40, sin 120, sin 80.645.cos 160, cos 120, cos 80, cos 40.646.sin 570, sin 210, cos 70, sin 110.647.∆АВС − прямоугольный (т.к. он вписан в окружность и одна егосторона является диаметром).Тогда АВ = АС cosα = 2R cos α .648.Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали АС и BDразбивают этот четырехугольник на четыре треугольника: ∆АВО,∆ВСО, ∆CDO и ∆DAO, где О — точка пересечения диагоналей АС иBD. Пусть α — угол между диагоналями, т.е. ∠СОВ = ∠AOD = α(как вертикальные).11AO ⋅ OB ⋅ sin(180° – α) = AO ⋅ OB ⋅ sinα;221S∆BCO = BO ⋅ OC ⋅ sinα;211S∆CDO = CO ⋅ OD ⋅ sin(180° – α) = CO ⋅ OD ⋅ sinα;221S∆DAO = AO ⋅ OD ⋅ sinα;2S∆ABO =SABCD = S∆ABO + S∆BCO + S∆CDO + S∆DAO =2501sinα(AO ⋅ OB + BO ⋅ OC + CO ⋅ OD + AO ⋅ OD) =21= BD ⋅ AC ⋅ sinα (поскольку BO + OD = BD; AO + OC = AC).2=Что и требовалось доказать.649.Из того, что сумма углов треугольника равна 180°, следует, что∠В = 180° –∠А – ∠С = 180° – 45° – 30° = 105°.По теореме синусов имеем:ABACBC4 2 1AB, откуда BC =⋅ sin A =⋅= 8 (см).==1sin Csin C sin B sin A2По теореме косинусов имеем:ВС2 = АВ2 + АС2 – 2 ⋅ АВ ⋅ АС ⋅ cosA;164 = 32 + AC2 – 8 2 ⋅ AC ⋅AC2 – 8AC – 32 = 0;22;( )2D = 64 + 128 = 192 = 8 3 ;8±8 3, откуда АС = 4(1 + 3 ) (см).2111S∆ABC = AC ⋅ BC ⋅ sin∠C = ⋅ 8 ⋅ 4((1 + 3 ) ⋅ = 8((1 + 3 ) (см2).222AC =Ответ: АС = 4(1 + 3 ) см; S∆ABC = 8(1 + 3 ) см2.§ 26.

Характеристики

Список файлов книги