mordkovitch-gdz-9-2000-1-670 (542431), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Так что былоустановлено 9 колец.473.Если х-4,212x − 3 , х-6 образуют арифметическую прогрессию, тоx−4+ x−6= x − 3 , х-5= x − 3 , х2-10х+25=х-3, х2-11х+28=0,2х=4 и х=7, но х-5>0, так что х=7.474.1 1 1, , образуют прогрессию, тоa b c1 1+1 a+c 1а) a c = ,= , ab+bc=2ac, ab+bc+ac;b 2ac b2b bб) ab+bc=2ac|:ac, + =2. Что и требовалось доказать.c aЕсли475.Если111,,- образуют арифметическую прогрессию,a +b a +c c+b11+abcb = 1 , c+b+a+b = 1 ,++то2a + c 2(a + b)(c + b) a + c(2b+a+c)(a+c)=2(a+b)(b+c), 2ab+a2+ac+2bc+ac+c2=2ab+2ac+2b2+2bc,то естьa 2 + c2=b2, так что а2, b2, с2 - также образуют прогрессию,2что и требовалось доказать.§ 19. Геометрическая прогрессия476а) b1=-1, b2=-3, b3=-9, b4=-27, b5=-81, b6=-243;б) b1=-2, b2=1, b3=-1111, b4= , b5=- , b6= ;24816в) b1=-1, b2=3, b3=-9, b4=27, b5=-81, b6=243;г) b1=20, b2=20 5 , b3=100, b4=100 5 , b5=500, b6=500 5 .477.b1=3, b2=32=9, b3=33=27, ...Это геометрическая прогрессия со знаменателем q=3.478.b1=111, b2=, b3=, ...101001000Это геометрическая прогрессия со знаменателем q=1.10213479.а), в) и г).480.а), в) и г).481.а) и г) - возрастающие, в) - убывающая.482.а) - возрастающая, б) - убывающая..483.а) q=12317; в) q= ; г) q= .432; б) q=484.а) q=b3:b2=(-32):8=-4; b1=b2;q=-2;111):1=- ; b1=b4;q3=1:(- )3=-8;2223 3 1в) q=b3:b2= : = ; b1=b2;q=3;4 2 211г) q=b6:b5=3:6= ; b1=b5;q4=6:( )4=96.22б) q=b5:b4=(-485.а) b4=b1⋅q3=-2⋅(-3 3 27) = ; б) b5=b1⋅q4= 6 ⋅( 2 )4=4 6 ;241в) b4=b1⋅q3=3⋅(-−3 3 811) =- ; г) b6=b1⋅q5=5 5 ⋅( 5 2 )5=5-1= .4645486.а) bn=5n-1, bn=b1⋅qn-1, b1=1, q=5;356565б) bn= ⋅2n, bn= ⋅2n-1, b1= , q=2;3 1 n-131⋅( ) , b1=, q= ;242455 151г) bn= n +1 , bn= ( )n-1, b1= , q= .4 2422в) bn=487.b1=18, b3=2, тогда b22 =b1⋅b3=36 и так как b2>0 (по условию), то b2=6.То есть 18, 6, 2.214488.а) bn=5⋅2n-1, 640=5⋅2n-1, 2n-1=128, n=7, так что А=640 - членпрогрессии;б) bn=-77( 3 )n, -37,8=- ( 3 )n, ( 3 )n=27, n=6, так что А=-37,8 55член прогрессии;nnnв) bn=-2⋅ 5 2 , -1250=-2⋅ 5 2 , 5 2 =625, n=8, так что А=b8 - членпрогрессии;г) bn=3,5(12)n+3, -0,218=3,5⋅(12)n+3, (- 2 )-n-3=0,436, n - не7является натуральным числом, так что А - не член прогрессии.489.а) bn=4⋅3n-1, bn>324 при 4⋅3n-1>324, 3n-1>81, n>5, n=6;б) bn=3,5⋅( 2 )n-2, bn>14 при 3,5⋅( 2 )n-2>14, ( 2 )n-2>4, n>6, n=7;в) bn=2⋅5n-1, b4>253 при 2⋅5n-1>253, 5n-1>г) bn=253, n=5;222( 3 )n+3, bn>84 при ( 3 )n+3>210, n=7.55490.а) bn=3⋅2n-1; б) bn=-2,5⋅(12)n-1; в) bn=2,5⋅(-0,2)n-1; г) bn=3 3 ⋅(1 n-1) .3491.1 n-1111) ; б) bn=- ⋅(- )n-1=(- )n;24441в) bn=4⋅( )n-1; г) bn= 2 ⋅( 2 )n-1=( 2 )n.4а) bn=8⋅(492.а) b5=b1⋅q4;б) b41=b1⋅q40;в) bk=b1⋅qk-1;г) b2n=b1⋅q2n-1.493.а) b4=b1⋅q3=128⋅(151 3) =-16;2в) b8=b1⋅q7= ⋅( 5 )7=25 5 ;110;3311г) b6=b1⋅q5=625⋅(- )5=- .55б) b5=b1⋅q4=270⋅( )4=215494.bn=b1⋅qn-1:111⋅(- )5=;2348611405в) b5=b1⋅q4=8⋅ 4= ; г) b5=b1⋅q4=2,5⋅(1,5)4=.2232а) b10=b1⋅q9=1⋅39=39; б) b6=b1⋅q5=495.11 111= ⋅( )n-1,= ( )n, n=6;729 3 372931 n-1 1 n-1 1б) 2=256⋅( ) , ( ) =, n=8;22128111в) 4⋅10-3=2,5⋅( )n-1,=( )n-1, n=5;562551г) -2401=⋅(-7)n-1, (-7)n-1=-823543, n=8.343а)496.а) bn=3n-1, 3n-1<729 при n≤7, n=1, 2, ...

, 6, 7;1 n-111) , 3( )n-1<0,003 при ( )n-1<0,001, n>10, n=11, 12, 13…;2221 n-11 n-110,1в) bn=243⋅( ) , 243( ) <0,1 при ( )n-1<, n>8, n=9, 10, 11... ;3332431 n-11 n-11 n-1 1б) bn=3⋅(г) bn=16⋅(2) , 16(2) <1 при (2) <24, n>9, n= 10, 11... .497.а) q2=b7 192==4, q>0, так что q=2 и b1=b5:q4=48:16=3;48b581 2733= , q= и b1=b2:q=24: =16;24 82213 13 1132 13 1в) q =b6:b3=- : =- , q=- , b1=b3:q = : =13;32 4824 4б) q3=b5:b2=г) q2=b5:b3=48:12=4, q<0, так что q=-2 и b1=b3:q2=12:4=3.498.18b1=1, b4= , тогда q= 3 b4 :b1 =1111 1 1и b2= , b3= . То есть 1, , , .2242 4 8499.Рk - периметр k-го вписанного треугольника216Р1=3⋅32=96, Р2=3⋅32=48, Р3=24, ...2Так что Р1, Р2, Р3 ... - геометрическая прогрессия.Рn=96⋅(1 n-1) .2500.Sn=b1 ( q n − 1):q −13(44 − 1)1(24 − 1)=15; б) S4==255;2 −14 −1111(( ) 4 − 1)4 ⋅ ((− )4 − 1) 4 ⋅ 2 ⋅ 15 53 80 4032в) S4== ⋅ = ; г) S4=== .112 81 273 ⋅ 162− −1−123а) S4=501.118 ⋅ (( )6 − 1) 18 ⋅ 3 ⋅ 728 7283а) S6===;12 ⋅ 72927−13215 ⋅ (( )6 − 1) 15 ⋅ 3 ⋅ 665 33253б) S6===;272981−131− 12 ⋅ ((− ) 6 − 1)12 ⋅ 2 ⋅ 63 632в) S6===- ;13 ⋅ 648− −12г) S6=− 9 ⋅ (( 3 )6 − 1)3 −1=-2343 −1.502.5(26 − 1)− 1((−1,5)8 − 1) 1261=315; б) S8==;− 1,5 − 12 −112811− 4(( )13 − 1)4,5(( )8 − 1) 1640819123в) S13==; г) S8==.111024243−1−132а) S6=217503.а) b1=3, q=2, S5=3(2 5 − 1)=93;2 −1− 1((−2) 5 − 1)=-11;− 2 −11− 3(( ) 5 − 1)1932в) b1=-3, q= , S5==- ;1216−12б) b1=-1, q=-2, S5=г) b1= 2 , q=3, S5=2 (35 − 1)=121 2 .3 −1504.а) q=b5:b4=320:160=2, b1=b4:q3=160:8=20, S5=20( 25 − 1 )=620;2 −1б) q= b9 : b7 = 16:8 = 2 , b1=b7:q6=8:23=1,S5=1(( 2 ) 5 − 1)2 −1=(4 2 -1)(2 +1)=7+3 2 ; опечатка в ответезадачника.в) q= b5:b3 =1 2112: 1 = , b1=b3:q =1:( ) =9,93319 ⋅ (( )5 − 1) 9 ⋅ 3 ⋅ 242 1213S5===;12 ⋅ 2439−13г) q= 3 b7 :b4 = 3S5=1(( 3 )5 − 1)3 −19 3= 3 3 = 3 , b1=b4:q3=3 3 :3 3 =1,3=(9 3 − 1)( 3 + 1)=13+4 3 .2505.218b115q16-3 239 + 3 23713n3bnSn21321318252313131263494(3+ 3 )21732689961513658122b1qSn1351n4bn151693925131047642252 64638817( 6 + 1 )3506.а) b4= b3 ⋅ b5 = 36 ⋅ 49 =42; б) b4=- b3 ⋅ b5 =- 36 ⋅ 49 =-42;в) b8= b7 ⋅ b9 = 16 ⋅ 25 =20; г) b8=- b7 ⋅ b9 =- 16 ⋅ 25 =-20.507.а) b3= b4 ⋅ b2 = 16 ⋅ 4 =8; q=b3:b2=8:4=2;б) b6=- b5 ⋅ b7 =- 3 ⋅ 12 =-6; q=b6:b5=-6:12=-1;2в) b26=- b25 ⋅ b27 =- 7 ⋅ 21 =-7 3 ; q=b26:b25=- 3 ;г) b7= b6 ⋅ b8 = 15 ⋅ 5 =5 3 ; q=b8:b7=5: 5 3 =3.

опечатка в ответе3задачника.508.Если t, 4t, 8 - члены прогрессии, тоt⋅8=(4t)2, так что t=1.2509.Если -81, 3у, -1 - члены прогрессии, то (-81)⋅(-1)=(3у)2, откуда у=±3.510.Если х-1,3x , 6х - члены прогрессии, то3(х-1)6х=( 3x )2, (х-1)⋅6=3, х= .2219511.6155514в) b1= , q= ; г) b1=- , q=2.227а) b1= , q=3; б) b1=0,3, q=(- );512.b1=4, b3+b5=80, q>1, тогда b3+b5=b1(q2+q4)=80,то есть q2+q4=20, так что q=2 и b10=b1⋅q9=4⋅29=211=2048.513.b1=1, b5=81, тогда q4=b5⋅b1=81, q=±3, так что b2=±3, b3=9, b4=±2⋅7.То есть 1, 3, 9, 27, 81 или 1, -3, 9, -27, 81.514.b2 − b3 = 181, тогда b2=36, b3=18, q=b3:b2= и b1=b2:q=72.54+=bb223515.b1 + b2 + b3 = 14,b4 + b5 + b6 = 112b1( 1 + q + q 2 ) = 14, q3=8, q=2, b1=2. 32b1q ( 1 + q + q ) = 112Так что прогрессия: 2, 4, 8, 16, 32, 64.516.b 1 ⋅ b2 ⋅ b3 = 216, b1>0, b2>0, b3>0. 222 b1 + b2 + b3 = 364b3q3 = 216b1 ⋅ q = 6Тогда  1, ,2424b1 1 + q + q = 364 b1 1 + q + q = 2 91b1=2, q=3, b2=6, b3=18.517.S6* = b12 + b22 + ...

+ b62 = b12 (1+q2+q4+q6+q8+q10)=b12 ( q12 − 1 )q2 − 19( 64 − 1 )5( 46656 − 1 )=567; б) S6* ==46655;151243(− 1 ) 729 ⋅ 728729в) S6* ===364;12 ⋅ 729−13а) S6* =220:г) S6* =1− 1)24 ⋅ 63 18964==.1648−1212(518.b1 ( q n − 1) n S n (q − 1),q=+1:b1q −1200(3 − 1)+1, 3n=81, n=4;а) 3n=511 n − 127 ⋅ ( 2 − 1)11+1, ( )n=, n=7;б) ( ) =64 ⋅ (−1)22128189 ⋅ (2 − 1)+1, 2n=64, n=6;в) 2n=31121 ⋅ ( − 1)1 n113г) ( ) =+1, ( )n=, n=5.27 ⋅ 333243Sn=519.а) 1+2+22+ ... +28=S9=b1 (q 9 − 1) 1 ⋅ ((2 9 − 1)==511;q −12 −11111 ⋅ (− ) − 1)1 112049 ⋅ 2683b (q11 − 1)2б) 1- + 2 + 10 =S11= 1===;1q −12 23 ⋅ 2048 10242− −121 61 ⋅ (( ) − 1)1 11728 ⋅ 3364b ( q 6 − 1)3===;в) + 2 + ...

+ 6 =S6= 11q −13 33 ⋅ 729 ⋅ 2 72933( − 1)31010−b(q1)⋅1((−3)10 − 1) 3 − 1===-14762.г) 1-3+32-33+ ... -39=S10= 1q −1− 3 −1−4520.а) 1+х+х2+ ... +х100=S101=б) х+х3+х5+ ... +х35=S18=в) х2-х4+х6- ... -х20=S10=b1 (q 101 − 1) 1( x101 − 1) x101 − 1==;q −1x −1x −1b1 (q 18 − 1) x( x36 − 1)= 2;q −1x −1b1 (q 10 − 1) x 2 ( x 20 − 1) x 2 (1 − x 20 )==;q −1− x 2 −11+ x222111(( ) 40 − 1)1 11b (q 40 − 1)1 − x 40г) + 2 + ... + 40 =S40= 1= x= 40.1q −1x xxx (1 − x)x ⋅ ( − 1)x521.4а) 1+х+х2+х3=S4=b1 ( q 4 − 1) 1( x 4 − 1) x − 1==, ч.т.д.;q −1x −1x −1б) 1+х+х4+х6=S4=b1 ( q 4 − 1) 1( x 8 − 1) x − 1= 2= 2, ч.т.д.;q −1x −1x −1в) 1-х+х2-х3=S4=84b1 ( q 4 − 1) 1((− x) 4 − 1) 1 − x==, ч.т.д.;q −1− x −11+ xг) 1-х2+х4-х6=S4=8b1 ( q 4 − 1) 1((− x 2 ) 4 − 1) 1 − x== 2, ч.т.д.;q −1x +1− x 2 −1522.а) (х-1)(х4+х3+х2+х+1)=(х-1)⋅S5=(х-1)⋅1( x 5 − 1)=х5-1, ч.т.д.;x −1б) (х+1)(х4-х3+х2-х+1)=(х+1)⋅S5=(х+1)⋅в) (х2+1)(х6-х4+х2-1)=(х2+1)⋅S4=(х2+1)⋅1 ⋅ ((− x 5 ) − 1)=х5+1, ч.т.д.;− x −1− 1((− x 2 ) 4 − 1)− x2 − 1=х8-1,значит утверждение х8+1=(х2+1)(х6-х4+х2-1) - неверно.г) ) (1-х2)(х4+х2+1)=(1-х2)⋅S3=(1-х2)⋅1(( x 2 ) 3 − 1)x 2 −1=1-х6, ч.т.д.;523.Дана прогрессия b, b2, ...

, b2n.Тогдаb2 + b4 + ... + b2 nq (b + ... + b2 n −1 )= 1=q, ч.т.д.;b1 + b3 + ... + b2 n −1b1 + ... + b2 n −1524.bk - число бактерий после 20⋅k-минутb1 = 1, b2 = 2, b3 = 4,..., bk = 2k −1Тогда в сутках 20⋅3⋅24 - минут, то есть 20⋅k,где k=72 и Sk=222b1 (q k − 1) 1 ⋅ (272 − 1)==272–1.q −12 −1525.bk - количество денег, отданных богачом в k-й день (копеек).Тогда b1=1, b2=2, b3=4,... b30=229.Тогда богач отдал S30=b1 (q 30 − 1) 1 ⋅ (2 30 − 1)==230-1 копеекq −12 −1≈1070000000 коп.≈10 млн.

Характеристики

Список файлов книги