1004147_1 (540917)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

12.11. Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности на отрезке.U t = 9U xx , 0 < x < 10, t > 0 x 2 5, 0 ≤ x ≤ 5,U ( x, 0 ) = 10 − x, 4 < x ≤ 10,U ( 0, t ) = U (10, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид:∞ π na − t l 2U ( x, t ) = ∑ An esinn =1π nxl,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ... .l 0llВ нашем случае a = 3, l = 10 .Находим:5102 1 2π nxπ nx An =  ∫ x sindx + ∫ (10 − x ) sindx  .10  5 010105Вычислим отдельно:5∫x0π nxdu = 2 xdx10π nx =cos1010πn5u = x,du = dx510 x 220π nxπ nxcosx cosdx ==−+π nxπ nx =10πn10 0 π n ∫010dv = cosdx, v =sin1010πn2sin10dx =u = x2 ,dv = sinπ nxdx, v = −510 x 2200 x200 xπ nxπ nxπ nx=−cos+ 2 2 sin− 2 2 ∫ sindx =10 0 π n10 0 π n 010πn555 10 x 2π nx 200 x π nx 2000π nx = −cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos =πππn10n10n100=−250π n 1000 π n 2000  π n cos+sin+− 1 . cos2 π 2n22 π 3 n3 2πn110∫ (10 − x ) sin5π nx10u = 10 − x,dx =dv = sinπ nx10du = −dxdx, v = −π nx =10cosπn81010 (10 − x )10π nxπ nx=−cos−cosdx =∫10 5 π n 510πn10 10 (10 − x )π nx 100π nx 50π n 100πn= −cos− 2 2 sincos+ 2 2 sin . =πn10 π n10  5 π n2 π n210Тогда1  1  250π n 1000 π n 2000  π n  An =   −cossin++− 1  + cos5 5 πn2 π 2n22 π 3n3 2π n 100π n  60π n 100  π n 50+cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cosπn2 π n2  π n2 π 3 n3 2Общее решение исходного уравнения: 3π n  t 3πn4 π n   − 10U ( x, t ) = 2 ∑  2 sin+ 3  cos− 1  eπ n=1  n2 πn 220∞22sinπ nx10.13.11.

Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности в круге.U t = 10∆U , 0 ≤ r < 2, t > 0, U ( r , 0 ) = 4 − r 2 , U ( 2, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2   µ r U ( r , t ) = ∑ An exp  − 2 n t  J 0  n  ,n =1 R   R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r  dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ...

– положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 10, R = 2 . Находим2r (4 − r ) J(µ ) ∫2An =22 J21Сделаем замену2n00 µn r  dr . 2 r= x ⇒ r = 2 x, dr = 2dx , тогда21112 ⋅ 228 23An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()().0n0n0n∫0J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n )  ∫0Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:3u = ξ 2,x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =3du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ0=x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .

Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==8( S1 − S2 ) =84 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n )  J−−µ() =1nµn3  J12 ( µn )  µ n µn832.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: 5µn2t  µn r U ( r , t ) = 32∑ 3J0 . exp  −2 2 n =1 µ n J1 ( µ n )∞14Найти12.12.решениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности на отрезке.U t = 25U xx , 0 < x < 9, t > 02 x 2 9, 0 ≤ x ≤ 9 2,U ( x, 0 ) = 9 − x, 9 2 < x ≤ 5,U ( 0, t ) = U ( 9, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид: π na − t l 2∞U ( x, t ) = ∑ An esinπ nxn =1l,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ... .l 0llВ нашем случае a = 5, l = 9 .Находим:2  2An = 9 992∫0x sindx + ∫ ( 9 − x ) sindx  .99922π nxπ nx9Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 9 dx = dv = sin π nx dx, v = − 9 cos π nx =πn9999u = x,du = dx9 x2π nx 2 18 2π nx=−cos+x cosdx =9π nxπ nx =9 0 π n ∫09πndv = cosdx, v =sin99πn922π nxu = x2 ,9 9 x2π nx 162 x π nx 1458π nx  2cos= −+ 2 2 sin+ 3 3 cos =n9n9n9πππ0=−729π n 1458  π n π n 729cos+ 2 2 sin+− 1 . cos4π n2 π n2 π 3n3 25du = − dx∫ ( 9 − x ) sin 9 dx = dv = sin π nx dx, v = − 9 cos π nx =9299πn9π nxu = 9 − x, 9(9 − x )π nx 81π nx 81π n 81πn= −− 2 2 sin+ 2 2 sin .coscos =πn9π n9 92π n2 π n292Тогда2  2  729π n 729π n 1458  π n  An =   −cos+ 2 2 sin+− 1  + cos9  9  4π n2 π n2 π 3n3 2π n 81π n  54π n 72  π n 81+cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cos2π n2 π n2  π n2 π 3n 3 2Общее решение исходного уравнения: 5π n  t9  3πn4 π n   −U ( x, t ) = 2 ∑  2 sin+ 3  cos− 1  eπ n=1  n2 πn 218∞62sinπ nx9.13.12.

Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности в круге.U t = 25∆U , 0 ≤ r < 4, t > 0, U ( r , 0 ) = 16 − r 2 , U ( 4, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2   µ r U ( r , t ) = ∑ An exp  − 2 n t  J 0  n  ,n =1 R   R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r  dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ...

– положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 5, R = 4 . Находим4r (16 − r ) J(µ ) ∫2An =24 J21Сделаем замену2n00 µn r  dr . 4 r= x ⇒ r = 4 x, dr = 4dx , тогда41112 ⋅ 4232 23An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()()0n0n∫0 0 n .J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n )  ∫0Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:7x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =30u = ξ 2,du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ=x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .

Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==32( S1 − S2 ) =324 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n )  µJ−−() =1nµn3  J12 ( µn )  µ n µn32128.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: 25µ n2  µn r U ( r , t ) = 128∑ 3J0 t . exp  −16 4 n =1 µ n J1 ( µ n )∞1812.17. Найтирешениепервойсмешаннойзадачитеплопроводности на отрезке.U t = 9U xx , 0 < x < 4, t > 0 x 2 2, 0 ≤ x ≤ 2,U ( x, 0 ) = 4 − x, 2 < x ≤ 4,U ( 0, t ) = U ( 4, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид: π na − t l 2∞U ( x, t ) = ∑ An esinn =1π nxl,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ...

.l 0llВ нашем случае a = 3, l = 4 .Находим:242 1 2π nxπ nx An =  ∫ x sindx + ∫ ( 4 − x ) sindx  .4 2 0442Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =πn4422u = x2 ,π nx2π nxπ nx4 x28=−cos+x cosdx =∫πn4 0 πn 042u = x,du = dx=π nxπ nx =4dv = cosdx, v =sinπn442 4 x2π nx 32 xπ nx 128π nx = −cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos =πππn4n4n40=−π n 64π n 128  π n 16cos+ 2 2 sin+− 1 . cosπn2 π n2 π 3n3 29дляуравненияdu = − dx∫2 ( 4 − x ) sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =44πn4π nxu = 4 − x, 4(4 − x)π nx 16π nx = −cos− 2 2 sin =n4n4ππ28π n 16πn=cos+ 2 2 sin .πn2 π n24Тогда1  1  16π n 64π n 128  π n  An =   − cos+ 2 2 sin+− 1  + cos2 2 πn2 π n2 π 3n3 2π n 16π n  24π n 32  π n 8+ cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cosπn2 π n2  π n2 π 3 n3 2Общее решение исходного уравнения: 3π n  t4  3πn4 π n   −U ( x, t ) = 2 ∑  2 sin+ 3  cos− 1  eπ n=1  n2 πn 28∞102sinπ nx4.13.17.

Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности в круге.U t = ∆U , 0 ≤ r < 1, t > 0, U ( r , 0 ) = 1 − r 2 , U (1, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2   µ r U ( r , t ) = ∑ An exp  − 2 n t  J 0  n  ,n =1 R   R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r  dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ... – положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 1, R = 1 . Находим1r (1 − r ) J(µ ) ∫2An =21J212n00 µn r  dr . 1 Сделаем замену r = x ⇒ r = x, dr = dx , тогда113An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()()nn00∫0 0 n .J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n )  ∫02122Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20120010Вычислим по частям интеграл:x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =30u = ξ 2,du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξx== ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .3x0011Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) =3300101= 2 x 2 J 0 ( x ) + x ( x 2 − 4 ) J1 ( x ) .Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания