1004147_2 (540919)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

14.2. Решить смешанную задачу.U tt = 9U xx ; U ( 0, t ) = 7, U (1, t ) = 2;U ( x, 0 ) = 7 − 5 x, U t ( x, 0 ) = 12π sin 4π x.Сведем задачу к задаче с однородными граничными условиями для функцииV ( x; t ) = U ( x; t ) − W ( x; t ) ,гдеW ( x; t ) = 7 +2−7x = 7 − 5x .1Тогда получаем следующую смешанную задачу:Vtt = 9Vxx , V ( 0; t ) = V (1; t ) = 0, V ( x; 0 ) = 0, Vt ( x; 0 ) = 12π sin 4π x .Общее решение данного уравнения:∞V ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlи2π nx2π nxAn = ∫ V ( x; 0 ) sindx , Bn =Vx;0sindx()π na ∫0 tl 0llllНаходимAn = 0 .11, n = 4;8ππππBn =12sin4xsindx=sin4xsinnxdx=3π n ∫01n ∫00, n ≠ 4.21π nxПолучилиV ( x; t ) = sin12π t sin 4π x .Общее решение исходного уравнения:U ( x; t ) = V ( x, t ) + W ( x, t ) = sin12π t sin 4π x + 7 − 5 x .15.2.

Решить смешанную задачу для данного неоднородного волновогоуравненияснулевыминачальнымииграничнымиусловиямиU ( x; 0 ) = U t ( x; 0 ) = 0 , U ( 0; t ) = U (π ; t ) = 0 .1U tt = U xx + 3sin 2t sin 2 x .4Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑U n ( t ) X n ( x ) ,n =1где X n ( x ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; U n ( t ) – решения задачКоши U n′′ + a2λn2U n = f n ( t ) , U n ( 0 ) = U n′ ( 0 ) = 0 ; λn – собственные числа задачиШтурма-Лиувилля и f n ( t ) – коэффициенты разложения f ( x;∞t ) = ∑ fn (t ) X n ( x ) .n =1Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примутвид X ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlВ нашем случае для данного уравнения X n ( x ) = sin nx ,λn = n .Задачи Коши: U n′′ + a n U n = f n ( t ) , где f n ( t ) находим из соотношения222π nxf n ( t ) = ∫ f ( x; t ) sindx .l 0llfn (t ) =2ππ6π∫ 3sin 2t sin 2 x sin nxdx = π sin 2t ∫ sin 2 x sin nxdx =03sin 2t , n = 2;=n ≠ 2.0,Получаем, чтоU 2′′ + U 2 = 3sin 2t , U 2 ( 0 ) = U 2′ ( 0 ) = 0 .k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i .U 2( общ.

од н.) = C1 cos t + C2 sin t .0U 2( част. неод н.) = A cos 2t + B sin 2t .U 2′( част. неод н.) = −2 A sin 2t + 2 B cos 2t , U 2′′( част. неод н.) = −4 A cos 2t − 4 B sin 2t .−4 A cos 2t − 4 B sin 2t + A cos 2t + B sin 2t = 3sin 2t .A = 0, B = −1 .U 2 ( t ) = C1 cos t + C2 sin t − sin 2t .U 2′ ( t ) = −C1 sin t + C2 cos t − 2cos 2t .C1 = 0,U 2 ( 0 ) = 0,⇒C2 = 2.U 2′ ( 0 ) = 0.U 2 ( t ) = 2sin t − sin 2t .Общее решение исходного уравненияU ( x; t ) = ( 2sin t − sin 2t ) sin 2 x .15.12.

Решить смешанную задачу для данного неоднородного волновогоуравненияснулевыминачальнымииграничнымиусловиямиU ( x; 0 ) = U t ( x; 0 ) = 0 , U ( 0; t ) = U (π ; t ) = 0U tt =1U xx + 15cos 4t sin 9 x .81Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑U n ( t ) X n ( x ) ,n =1где X n ( x ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; U n ( t ) – решения задачКоши U n′′ + a2λn2U n = f n ( t ) , U n ( 0 ) = U n′ ( 0 ) = 0 ; λn – собственные числа задачиШтурма-Лиувилля и f n ( t ) – коэффициенты разложения f ( x;∞t ) = ∑ fn (t ) X n ( x ) .n =1Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примутвид X ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlВ нашем случае для данного уравнения X n ( x ) = sin nx ,λn = n .Задачи Коши: U n′′ + a n U n = f n ( t ) , где f n ( t ) находим из соотношения222π nxf n ( t ) = ∫ f ( x; t ) sindx .l 0llfn (t ) =2ππ30∫15cos 4t sin 9 x sin nxdx = π015cos 4t , n = 9;=n ≠ 9.0,Получаем, чтоU 9′′ + U 9 = 15cos 4t , U 9 ( 0 ) = U 9′ ( 0 ) = 0 .k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i .U 9( общ.

од н.) = C1 cos t + C2 sin t .πcos 4t ∫ sin 9 x sin nxdx =0U 9( част. неод н.) = A cos 4t + B sin 4t .U 9′( част. неод н.) = −4 A sin 4t + 4 B cos 4t , U 9′′( част. неод н.) = −16 A cos 4t − 16 B sin 4t .−16 A cos 4t − 16 B sin 4t + A cos 4t + B sin 4t = 15cos 4t ⇒ A = −1, B = 0 .U 9 ( t ) = C1 cos t + C2 sin t − cos 4t .U 9′ ( t ) = −C1 sin t + C2 cos t + 4sin 4t .U 9 ( 0 ) = 0,C1 − 1 = 0,C1 = 1,⇒⇒C2 = 0.C2 = 0.U 9′ ( 0 ) = 0.U 9 ( t ) = cos t − cos 4t .Общее решение исходного уравненияU ( x; t ) = ( cos t − cos 4t ) sin 9 x ..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания