1004147_1 (540917), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =S1 = ∫ J 0 (ξ )J1 ( µ n ) .µµµµnnn 0n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3= 4µµµnnn0=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==2( S1 − S2 ) =24 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n )  µJ−−()  =1n3µµJ12 ( µn )  µ nnn28µ J ( µn )3n 1.Общее решение исходного уравнения:∞U ( r , t ) = 8∑n =11µ J ( µn )3n 1J 0 ( µn r ) exp ( − µ n2t ) .1212.15.

Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности на отрезке.U t = 4U xx , 0 < x < 7, t > 02 x 2 7, 0 ≤ x ≤ 7 2,U ( x, 0 ) = 7 − x, 7 2 < x ≤ 7,U ( 0, t ) = U ( 7, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид: π na − t l 2∞U ( x, t ) = ∑ An esinπ nxn =1l,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ...

.l 0llВ нашем случае a = 2, l = 7 .Находим:2  2An = 7 772∫0x sindx + ∫ ( 7 − x ) sindx  .77722π nxπ nx7Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 7 dx = dv = sin π nx dx, v = − 7 cos π nx =πn7777u = x,du = dxπ nx 2 14 2π nx7 x2=−cos+x cosdx =π nxπ nx =7πn7 0 π n ∫07dv = cosdx, v =sinπn77722π nxu = x2 ,7 7 x2π nx 98 xπ nx 686π nx  2= −cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos =πππn7n7n70=−π n 343343π n 686  π n cos+ 2 2 sin+− 1 . cos4π n2 π n2 π 3n3 213du = − dx∫ ( 7 − x ) sin 7 dx = dv = sin π nx dx, v = − 7 cos π nx =72πn777π nxu = 7 − x, 7(7 − x)π nx 49π nx 49π n 49πn= −cos− 2 2 sincos+ 2 2 sin . =πn7π n7 72π n2 π n272Тогда2  2  343π n 343π n 686  π n  An =   −cos+ 2 2 sin+− 1  + cos7  7  4π n2 π n2 π 3n3 2π n 49π n  42π n 56  π n 49+cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cos2π n2 π n2  π n2 π 3n 3 2Общее решение исходного уравнения: 2π n  t7  3πn4 π n   −U ( x, t ) = 2 ∑  2 sin+ 3  cos− 1  eπ n=1  n2 πn 214∞142sinπ nx7.12.2.

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностина отрезке.U t = U xx , 0 < x < 2, t > 0 x 2 , 0 ≤ x ≤ 1,U ( x, 0 ) = 2 − x, 1 < x ≤ 2,U ( 0, t ) = U ( 2, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид: π na − t l 2∞U ( x, t ) = ∑ An esinn =1π nxl,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ... .l 0llВ нашем случае a = 1, l = 2 .Находим:122 2π nxπ nx An =  ∫ x sindx + ∫ ( 2 − x ) sindx  .2 0221Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 2 dx = dv = sin π nx dx, v = − 2 cos π nx =πn2212u = x2 ,π nx1π nxπ nx2 x24=−cos+x cosdx =∫πn2 0 πn 021u = x,du = dx=π nxπ nx =2dv = cosdx, v =sinπn221 2 x2π nx 8 xπ nx 16π nx = −cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos =πππn2n2n20=−πnπ n 16  π n 28cos+ 2 2 sin+− 1 . cosπn2 π n2 π 3n3 215du = − dx∫1 ( 2 − x ) sin 2 dx = dv = sin π nx dx, v = − 2 cos π nx =πn22π nx2u = 2 − x, 2(2 − x)π nxπ nx 4= −− 2 2 sincos =ππn2n21πnπn24=cos+ 2 2 sin .πn2 π n22ТогдаAn = −+2πn8π n 16  π n cos+ 2 2 sin+− 1 + cosπn2 π n2 π 3 n3 2πnπ n 12π n 16  π n 24cos+ 2 2 sin= 2 2 sin+− 1 . cosπn2 π n2 π n2 π 3n3 2Общее решение исходного уравнения:πn  t2  3πn4 π n   −U ( x, t ) = 2 ∑  2 sin+ 3  cos− 1  eπ n=1  n2 πn 24∞162sinπ nx2.13.2.

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностив круге.U t = 25∆U , 0 ≤ r < 3, t > 0, U ( r , 0 ) = 9 − r 2 , U ( 3, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2   µ r U ( r , t ) = ∑ An exp  − 2 n t  J 0  n  ,n =1 R   R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r  dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ... – положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 5, R = 3 . Находим3r (9 − r ) J(µ ) ∫2An =23 J21Сделаем замену2n00 µn r  dr . 3 r= x ⇒ r = 3 x, dr = 3dx , тогда3113An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()()0n0n∫0 0 n .J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n )  ∫02 ⋅ 321182Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:17u = ξ 2,x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =3du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ0=x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .

Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ12nµ n40nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==18( S1 − S2 ) =184 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n )  µJ−−() =1nJ12 ( µn )  µ nµn3   µn1872.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: 25µ n2  µn r U ( r , t ) = 72∑ 3J0 t. exp  −9 3 n =1 µ n J1 ( µ n )∞118.

Характеристики

Список файлов домашнего задания