Пособие Моделирование1234 (538757), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

,

который содержит коэффициентов.

В рамках выбранной модели планирования в виде алгебраичес­ких полиномов строится план эксперимента путем варьирования каждого из факторов на нескольких уровнях q относи­тельно исходной точки , представляющей центр экспери­мента.

Виды планов экспериментов. Эксперимент, в котором реализуют­ся все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если выбранная модель плани­рования включает в себя только линейные члены полинома и их произведения, то для оценки коэффициентов модели используется план эксперимента с варьированием всех k факторов на двух уровнях, т. е. д=2. Такие планы называются планами типа 2 , где N=2 — число всех возможных испытаний.

Начальный этап планирования эксперимента для получения ко­эффициентов линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем и верхнем — симметрично расположенных относительно основного уровня ,. Геомет­рическая интерпретация показана на рисунке а.

Так как каждый фактор принимает лишь два значения то для стандартизации и упрощения записи условий каждого ис­пытания и обработки выборочных данных эксперимента масштабы по осям факторов выбираются так, чтобы нижний уровень соответ­ствовал -1, верхний +1, а основной — нулю. Это легко до­стигается с помощью преобразования вида

, где ,

где — кодированное значение i-гo фактора; — натуральное зна­чение фактора; — нулевой уровень; — интервал варьирования фактора.

Расположение точек для ПФЭ типа показано на рисунке б. Выписывая комбинации уровней факторов для каждой экспериментальной точки квадрата, получим план D полно­го факторного эксперимента типа .

При этом планы можно записывать сокращенно с помощью условных буквенных обозначений строк. Для этого порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита: и т. д.

Таблица 3.1

Затем для каждой строки плана выписываются латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях; испытание со всеми факторами на нижних уровнях обозначается как (1). Запись плана в буквенных обозначениях показана в последней строчке.

Геометрическая интерпретация ПФЭ приведена на рисунке, а его план ниже:

Таблица 3.2

Полный факторный эксперимент дает возможность определить не только коэф­фициенты регрессии, соответствующие линейным эффектам, но и коэффициенты регрессии, соответствующие всем эффектам взаимодействия. Эффект взаимодейст­вия двух (или более) факторов появляется при одновременном варьировании этих факторов, когда действие каждого из них на выход зависит от уровня, на которых находятся другие факторы.

Для оценки свободного члена и определения эффектов вза­имодействия план эксперимента D расширяют до матрицы планирования X путем добавления соответствующей «фик­тивной переменной»: единичного столбца и столбцов произведе­ний, как показано, например, для ПФЭ типа в таблице 3.2

Таблица 3.3

Как видно из рассмотренных планов экспериментов типов и , количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимен­та, т. е. ПФЭ обладает большой избыточностью и поэтому возника­ет проблема сокращения их количества.

Рассмотрим построение планов так называемого дробного фак­торного эксперимента. Пусть имеется простейший полный факторньй эксперимент типа . Используя матрицу планирования, приве­денную в табл. 3.4, можно вычислить коэффициенты и представить результаты в виде уравнения

Таблица 3.4

Если в выбранных интервалах варьирования уровня процесс можно описать линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента: и . Таким образом, остается одна степень свободы, которую можно использовать для минимизации числа испытаний. При линейном приближении и вектор-столбец (табл. 3.4) можно использовать для нового фактора . Поста­вим в табл. 3.4 этот фактор в скобках над взаимодействием . В этом случае раздельных оценок, которые имели место в ПФЭ типа 2 , уже не будет и оценки смещаются следующим образом: при постулировании линейной модели все парные взаимодейст­вия не учитывают. Таким образом, вместо восьми испытаний в пол­ном факторном эксперименте типа необходимо провести только четыре. Правило проведения дробного факторного эксперимента формулируется так: для сокращения числа испытаний новому фак­тору присваивается значение вектор-столбца матрицы, принадлежа­щего взаимодействию, которым можно пренебречь.

При проведении эксперимента из четырех испытаний для оценки влияния трех факторов пользуются половиной ПФЭ типа , так называемой «полурепликой». Если приравнять и , то мож­но получить вторую «полуреплику». Для обозначения дробных реплик, в которых d линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, пользуются условным обозначением . Напри­мер, «полуреплика» от записывается в виде , а «четвертьреплика» — .

Когда модель планирования анализируется методами дисперси­онного анализа, применяют планы дисперсионного анализа. Если при постановке эксперимента реализуются все возможные совокуп­ности условий, то говорят о полных классификациях дисперсион­ного анализа. Если проводится сокращение перебора вариантов — это неполная классификация дисперсионного анализа. Сокращение перебора может проводиться случайным образом (без ограничения на рандомизацию) или в соответствии с некоторыми правилами (с ограничениями на рандомизацию). Чаще всего в качестве таких планов используют блочные планы и планы типа латинского квад­рата.

Характеристики

Список файлов книги