1625914339-bef439519923449298573107f5123b54 (532769)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ(5 семестр)профессор Давид Абрамович Шапиро1.УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА1. Метод характеристик для линейных и квазилинейных уравнений с частнымипроизводными. Задача Коши. Образование разрывов.2. Понятие характеристик для систем линейных и квазилинейных уравнений сдвумя переменными. Классификация по типам: гиперболические, эллиптические, параболические системы.3. Приведение гиперболической системы к каноническому виду. ИнвариантыРимана, простая волна Римана.4.

Метод годографа для уравнений газовой динамики. Точные решения дляполитропного газа.2.УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА1. Волновое уравнение. Вывод из уравнений Максвелла и газодинамики. Решение одномерного волнового уравнения, формула Даламбера.2. Приведение гиперболического, эллиптического и параболического уравнения с двумя переменными к каноническому виду.3.

Приведение многомерных уравнений второго порядка к каноническому виду. Характеристики гиперболического уравнения и их физический смысл.4. Понятие автомодельности. Автомодельные подстановки для уравнений теплопроводности. Бегущие волны.5. Разделение переменных. Метод Фурье.СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ1.

Разделение переменных в задаче круглой мембране. Функции Бесселя.2. Разделение переменных в уравнении Шрёдингера для частицы в центрально-симметричном поле. Присоединенные функции Лежандра. Сферическиегармоники. Функции Бесселя с полуцелым индексом.3. Решение дифференциального уравнения второго порядка вблизи обыкновенной точки и регулярной особой точки. Характеристические показатели.4. Функция Гаусса и вырожденная гипергеометрическая функция.5.

Уравнение Шрёдингера для осциллятора и атома водорода. Полиномы Эрмита и Лагерра.АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ1. Асимптотика интегралов Интеграл Лапласа.а) Случаи стационарной точки на границе и внутри отрезка интегрирования. Асимптотика Γ– функции Эйлера.б) Метод стационарной фазы. Асимптотика функции Бесселя.в) Метод перевала.

Асимптотика функций Лежандра и Эйри.2. Метод усреднения. Асимптотика усредненного решения дифференциального уравнения.Литература1. В. Я. Арсенин. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука,1984.2. С. К. Годунов. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.3. И.В. Колоколов и др.

Задачи по математическим методам физики. УРСС, 2002.4. Е.В. Подивилов и др. Рабочая тетрадь по математическим методам физики, Новосибирск: НГУ, 2012.5. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика; Гидродинамика.6. Дж. Мэтьюз, Д. Уокер. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1972.7. Ф. Олвер. Асимптотика и специальные функции.

М.: Наука, 1990.Дополнительная литература8. В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальныхуравнений. М.: Наука, 1978. — § 7; Обыкновенные дифференциальные уравнения. —Изд. 3e. М.: Наука, 1984. — § 11.9. А. Найфэ. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.10. Р. Рихтмайер. Принципы современной математической физики.

М.: Мир, Т.1 —1982.11. Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1976. — Гл.VII.Примерная программа семинаровдоцент Евгений Вадимович Подивилов1. Собственные значения. Функции от матриц. Резольвента. Задачи 14, 2, 5, 20.Решить задачу 20 с помощью собственных значений.2.

Унитарные и эрмитовы матрицы, проекторы. Матрицы Паули.Задачи 1, 4, 8. Вывести формулу =σ iσ j ieijkσ k + δ ij . Показать, что для всякой матрицы 12x2 коэффициенты разложения A= a0σ 0 + a ⋅ σ даются формулой aa = Tr ( Aσ a )2(σ0 – единичная матрица). Найти общий вид проектора 2x2. Решить задачу 20 с помощью раздожения по матрицам Паули.3.

Свойства δ-функции. Ортогонализация. Полнота системы функций. Проверкасамосопряженности дифференциальных операторов. Задачи 21 а,б, 24, 27 а,б,30. Показать, что оператор –d2/dx2+U(x) самосопряжен на отрезке [0,1], если функции удовлетворяют граничным условиям: u(0)=u(1)=0; u'(0)=u'(1)=0, линейной комбинации этих двух, или периодическим u(0)=u(1), u'(0)=u'(1).4. Линейные уравнения первого порядка. Характеристики. Условие разрешимости задачи Коши. Задачи 36 а,б, 37, 38, 42.5. Квазилинейные уравнения. Опрокидывание. Задача 43. Найти точку опрокидывания уравнения Хопфа для начального условия u(x,0)=1-th(x) .

Найти закон расширения области неоднозначности. Найти точку опрокидывания неоднородногоуравнения Хопфа ut+uux=1. [+ 45a].6. Системы линейных уравнений. Приведение к каноническому виду. Задачи 48,47 а,б. Пример системы квазилинейных уравнений, задача 53.7. Инварианты Римана и характеристики в случае двух переменных. Задача ополитропном газе. Задачи 49, 50, 51, 52 [+58].8. Характеристические переменные. Области эллиптичности и гиперболичности. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду. Исключение первых производных.

Задачи 59 а,б,в, 60 а. Исключить первую производную в уравнениях u xx − u yy + u x + u y = 0 ; ( x − y )u xy − u x + u y = 0 .9. Поиск автомодельной подстановки с помощью масштабных преобразований.Автомодельные решения линейного и нелинейного уравнения теплопроводности. Решения нелинейных уравнений типа бегущей волны. Солитоны.Задача 98. Найти автомодельное решение задачи ut=uxx, u(x,0)=x3, u(0,t)=0.

Задача100 при n=2. Задачи 102, 103, 110 [+108,111].10. Решение волнового уравнения, уравнений теплопроводности и Лапласаметодом Фурье. Задачи 68, 71, 72, 73, 75,79. [+76,78].11. Разделение переменных уравнения Шредингера в ортогональных системахкоординат. Разделить переменные стационарного уравнения Шредингера в сферических координатах. Задачи 88 в, г.12-13. Сферические гармоники. Полиномы Лежандра, Лагерра и Эрмита: разложение, рекуррентные соотношения, производящая функция, интегральное представление, соотношение ортогональности. Задачи 127, 128, 130, 157,158, 137, 159. Получить формулу Родрига для полиномов Лагерра из интегральногопредставления14-15. Основные свойства функции Бесселя: разложение, рекуррентные соотношения, производящая функция, интегральное представление, соотношение ортогональности.

Задачи 161, 162, 139, 142, 143, 144, [+147, 148].16. Характеристические показатели в особых точках. Определяющее уравнение. Гипергеометрические функции. Выразить ln(1+z)/z и (1-z)n через гипергеометрическую функцию. Задачи 120, 152, 153. Выразить функцию Эйри через вырожденную гипергеометрическую функцию. [Решить уравнение Шредингера дляатома водорода в параболических координатах].17. Асимптотика интеграла Лапласа. Задачи 177, 163, 180, 181, 182.

Найти асимптотику интеграла∞∫ dt exp  −t02−a, a → ∞ .t2 18. Метод стационарной фазы. Задачи 173, 185, 186, 187.19. Метод перевала. Седловые точки, рельеф функции, линии Стокса. Асимптотика функции Эйри. Задачи 190, 189, 191, 165, 185 (методом перевала).20. Асимптотики функции Бесселя и Лежандра. Метод перевала для подынтегральной функции с полюсами. Найти асимптотику функции Бесселя с произвольным индексом, пользуясь представлением Шлефлиz1t− 12  t  −ν −1t dt , |z|→∞.

Задачи 194, 193.Jν ( z ) =e2π i ∫γ21. Метод усреднения. Преобразование Боголюбова – Крылова. Задачи167, 169, 170, 195, 196, 171, 197, 168 [+198].Контрольная работа: проводится по группам перед началом контрольной недели.Коллоквиум: проводится после окончания контрольной недели.ЗАДАНИЯЗАДАНИЕ № 1(сдать до 25 октября)1. Найти , = 1 −1��2 −1 1тремя способами: разложением в ряд, приведением к диагональному виду и с помощью резольвенты.2. Найти решение кинетического уравнения1+ � + [ ]�=0в скрещенных электрическом и магнитном полях E⋅H=0. Как выглядятхарактеристики?3.

Решить задачу Коши для нелинейного уравнения Шредингера в оптическом волокне с запаздывающей нелинейностью+ ||2 = ||2, (0, ) = (1 + 2 /2 )−1 ,где A(z,t) – комплексная функция двух действительных переменных, a - действительный параметр. Найти точку опрокидывания.4. Определить тип уравнения� − � − 2 − = 0,привести к каноническому виду и решить задачу Коши (0, ) = ℎ−1 , (0, ) =0. Исследовать разрешимость.ЗАДАНИЕ № 2(сдать до 25 ноября)5. Найти семейство преобразований симметрии, свести к обыкновенному дифференциальному уравнению и найти точное решение нелинейного уравнения 2 2 += . 2 26.

Решить уравнение теплопроводности = ∆в бесконечном цилиндре радиуса R, если на границе цилиндра температура осциллирует как u(t)=T0 sin ωt. Исследовать распределение температуры по радиусу приω>>χ /R2.7. Найти собственные частоты ω колебаний шара радиуса R с граничным условием1 2 −Δ=0,��=0с2 2 =в пределе ωR/c>>1.8. Показать, что уравнение Шрёдингера для двумерного «атома водорода» в электрическом поле 1ψ− Δ2 ψ −+ ψ = ψ2� 2 + y 2допускает разделение переменных в параболических координат = , = 2 − 22.Найти уровни энергии E и волновые функции ψ связанных состояний при = 0.Сравнить с ответом в полярных координатах.ЗАДАНИЕ № 3 (сдать до 25 декабря)9.

Найти решение ψ(x,t) уравнения Шрёдингераi∂ψ 2 ∂ 2ψ=−+ mgxψ∂t2m ∂x 2с начальным условием ψ(x,0)=A exp(-|x|/a). Исследовать асимптотику на большихвременах. С какой скоростью движется центр пакета и как меняется его ширина?10. С помощью интегрального представления1Γ()� −1 (1 − )−−1 11 (; ; ) =Γ()Γ( − ) 0найти асимптотику вырожденной гипергеометрической функции, если = , →+∞, при > 1 или < 1.11. Методом усреднения исследовать эволюцию медленной переменной в уравненииВан дер Поля с нелинейным трением̈ + 02 = (̇ − ̇ 3 2 ), → 0.Пример экзаменационного билета∞1. Найти асимптотику интеграла ∫−∞ −3 − −3, → +∞.2.

Найти решение уравнения + − = 2 , (0, , ) = 2 + 2 .Примеры дополнительных задачA. Найти асимптотику интеграла:11. ∫0 ln , → +∞.2.2∞ −�ch2 − 2 �,∫−∞ ∞4 → +∞.3. ∫−∞ − , → +∞.В. Решить уравнение в частных производных:1. Задачу Коши − = 1, ( = 1) = 2 .2. Уравнения Лапласа в единичном шаре с граничным условием |=1 =3 cos 2 − 1.3. Задачу Коши + = , (, 0) = .Список вопросов, знание которых необходимо для сдачи экзамена1. Метод характеристик.2. Квазилинейное уравнения I порядка.3. Канонический вид уравнения II порядка.

Формула Даламбера.4. Автомодельное решение уравнения теплопроводности.5. Метод Фурье для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.6. Разделение переменных в цилиндрических и сферических координатах.Функции Бесселя, полиномы Лежандра и Эрмита.7. Асимптотика интеграла Лапласа. Метод стационарной фазы.МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ(6 семестр)профессор Давид Абрамович ШапироПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП1. Симметрия молекул (повороты, отражения, зеркальные повороты). Определениегруппы, гомоморфизм, изоморфизм.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций