1625914190-ed3c29641f6489f5beff0e2503f67c69 (532707)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Теория устойчивости разностных схем1Операторно-разностные схемы1.1ВведениеПусть B — банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданныхв некоторой области G ⊂ Rm , и пусть u(t) — абстрактная функция аргумента t ∈ [0, t0 ]со значениями в пространстве B. Пусть A — линейный оператор, действующий из B вB, D(A) — его область определения. Будем считать, что область определения оператораA является всюду плотным множеством в B, то есть замыкание D(A) совпадает с B:D(A) = B.Рассмотрим абстрактную задачу Коши: du + Au = f (t), t ∈ (0, t ],0dt u(0) = u ∈ D(A).(1.1)0Определение 1.1 Задача Коши (1.1) называется устойчивой по начальным данным ипо правой части, если при всех t ∈ [0, t0 ] справедливо неравенство:Ztku(t)k 6 M1 ku0 k + M2kf (t0 )kdt0 ,0где M1 > 0 и M2 > 0 — числа, не зависящие от t.Определение 1.2 Задача Коши (1.1) называется равномерно устойчивой по начальнымданным, если для решения задачи du + Au = 0, t ∈ (0, t ],0dt u(0) = u ∈ D(A)0справедливо неравенство:ku(t)k 6 M1 ku(t0 )k, t > t0 > 0.11.2Операторно-разностные схемыРассмотрим разностную аппроксимацию задачи (1.1).

Для этого введем в области G сеткуи будем далее рассматривать на ней сеточные функции yh (t). Пусть h = {h1 , h2 , ..., hm } —параметр, характеризующий выбранную сетку, hi — шаг по направлению xi , i = 1, 2, ..., m.Введем сеточный аналог банахова пространства B. Пусть Bh — линейная система сеточ(1)(2)ных функций, зависящих от параметра h, то есть для любых функций yh (t), yh (t) ∈ Bh(1)(2)и любых чисел α1 , α2 линейная комбинация α1 yh (t) + α2 yh (t) также принадлежит Bh .Если ввести на Bh норму, то получим сеточное линейное нормированное (банахово) пространство.Введем сетку по времени ω τ ≡ {tj = j · τ ; j = 0, 1, ..., j0 ; τ = t0 /j0 } и будем использовать обозначение ωτ для временных слоев tj , j = 1, 2, ..., j0 . Далее будем рассматривать абстрактные функции дискретного аргумента tj = jτ ∈ ω τ со значениями в Bh :y = y(tj ) = yj ∈ Bh .Определение 1.3 Семейство разностных уравнений (r − 1) -го порядка:B0 (tj )yj+1 =r−1XCs (tj )yj+1−s + Fj , j = r − 2, r − 1, r, r + 1, ...,(1.2)s=1зависящих от параметров h и τ , коэффициенты которых B0 , C1 , ..., Cr−1 представляютсобой линейные операторы, действующие на Bh и зависящие от h и τ , будем называтьr-слойной операторно-разностной схемой или просто r-слойной схемой.В r-слойной схеме значение yj+1 на (j + 1)-м слое определяется через (r − 1) значений: yj , yj−1 , yj−2 , ..., yj−r+2 .

Если существует B0−1 , то yj+1 может быть выражено черезy0 , y1 , ..., yr−2 и F .В случае r = 2 схема (1.2) называется двухслойной. Она может быть записана в виде: B (t )y + B (t )y = τ ϕ , j = 0, 1, ...;0 j j+11 j jj(1.3) y0 = y (0) ,где B1 = −C1 , ϕj = Fj /τ , y (0) ∈ Bh — заданная функция.В случае r = 3 схема (1.2) называется трехслойной. Она может быть записана в виде: B (t )y + B (t )y + B (t )y0 j j+11 j j2 j j−1 = τ ϕj , j = 1, 2, ...;(1.4) y0 = y (0) , y1 = y (1) ,где Bp = −Cp , p = 1, 2, ϕj = Fj /τ , y (0) , y (1) ∈ Bh — заданные функции.21.3Канонические формы двухслойной и трехслойной схемДвухслойную схему (1.3) можно переписать в виде, более наглядно отражающем структуру исходного дифференциального уравнения: B(tj ) yj+1 − yj + A(tj )yj = ϕj , j = 0, 1, ...;τ y = y (0) ,(1.5)0где B = B0 , A = (B0 + B1 )/τ .

Используя обозначение yt для односторонней разностнойпроизводной по времени, схему (1.5) можно записать более кратко: By + Ay = ϕ, j = 0, 1, ...t y0 = y (0) ,(1.6)Определение 1.4 Задачи (1.5) и (1.6) называют канонической формой двухслойных схем.Если B = E, то соответствующая двухслойная схема:yj+1 = yj − τ Ayj + τ ϕjназывается явной, если же B 6= E, то схема называется неявной. Наряду с (1.5) и (1.6)используется следующая запись двухслойной схемы:Byj+1 = Cyj + τ ϕj ,C = B − τ A.Если существует оператор B −1 , то схему (1.6) можно переписать в виде:ŷ = Sy + τ ϕ̃,S = E − τ B −1 A, ϕ̃ = B −1 ϕ.(1.7)Определение 1.5 Оператор S называют оператором перехода со слоя на слой.Пример 1.1.

В качестве примера двухслойной схемы рассмотрим схему с весами дляуравнения теплопроводности:∂u= Lu + f,∂t∂Lu =∂x∂uk(x).∂xСхема с весами имеет вид:yt = Λ (σ ŷ + (1 − σ)y) + ϕ, σ ∈ (0, 1],где Λy = (a(x)yx̄ )x , a(x) = k(x − 0.5h). Приведем схему к каноническому виду:yt − στ Λyt − Λy = ϕ ⇒ A = −Λ, B = E + στ A.3Если kστ Ak < 1, то существует B −1 .Рассмотрим теперь каноническую форму трехслойной разностной схемы, отражающуюструктуру исходного дифференциального уравнения:Byj+1 − yj−1+ R (yj+1 − 2yj + yj−1 ) + Ayj = ϕj ,2τ(1.8)11(B0 + B2 ), A = (B0 + B1 + B2 ). Уравнение (1.8) можно запи2ττсать более кратко, используя обозначения для первой центральной производной и второйгде B = B0 − B2 , R =производной по времени.Определение 1.6 Канонической формой трехслойной схемы называют схему вида: By + τ 2 Ry + Ay = ϕ(t), 0 < t = jτ ∈ ω ,τt̄tṫ(1.9) y0 = y (0) , y1 = y (1) ,где yṫ =1.4yt − yt̄yj+1 − 2yj + yj−1yj+1 − yj−1, yt̄t ==.2τττ2Понятие устойчивости для двухслойных схемОпределение 1.7 Схема By + Ay = ϕ, j = 0, 1, ...t y0 = y (0)(1.10)называется корректной, если при достаточно малых τ 6 τ0 и |h| 6 h0 :1) решение задачи (1.10) существует и единственно при любых начальных данных y (0) ∈Bh и правых частях ϕ(tj ) ∈ Bh для всех tj ∈ ω τ ;2) существуют такие постоянные M1 > 0 и M2 > 0, не зависящие от параметров τ и hи выбора y (0) и ϕ, что при любых начальных данных y (0) ∈ Bh и правых частях ϕ(tj ) ∈ Bhдля всех tj ∈ ω τ для решения задачи (1.10) справедлива оценка:ky(tj )k(h1) 6 M1 ky (0) k(h1) + M2 maxkϕ(t0 )k(h2) .006t 6tj(1.11)Неравенство (1.11) выражает свойство непрерывной зависимости, равномерной по h иτ , решения задачи Коши (1.10) от входных данных.

Это свойство и называется устойчивостью.Определение 1.8 Разностная схема называется абсолютно устойчивой, если она устойчива при любых τ и h, а не только при достаточно малых.4Если неравенство (1.11) выполняется при M2 = 0, то говорят, что разностная схемаустойчива по начальным данным, если (1.11) выполняется при M1 = 0, то говорят, чторазностная схема устойчива по правой части.1.5Достаточные условия устойчивости двухслойных схем в линейных нормированных пространствахКак было сказано выше, если существует обратный оператор B −1 , то задачу (1.10) можнопереписать в виде: yϕ̃j = Bj−1 ϕj , j = 0, 1, 2, ..., j0 − 1,j+1 = Sj yj + τ ϕ̃j , y0 = y (0) ∈ Bh ,(1.12)где Sj = E − τ Bj−1 Aj — оператор перехода со слоя на слой, зависящий от tj = jτ , h и τ .Из уравнения (1.12) получаем:yj+1 = Sj (Sj−1 yj−1 + τ ϕ̃j−1 ) + τ ϕ̃j = Sj Sj−1 yj−1 + τ (Sj ϕ̃j−1 + ϕ̃j ) = ...

== Sj Sj−1 ...S0 y0 + τ (ϕ̃j + Sj ϕ̃j−1 + Sj Sj−1 ϕ̃j−2 + ... + Sj Sj−1 ...S1 ϕ̃0 ) .Введем обозначения: Tj+1,j+1 = E, Tj+1,p = Sj Sj−1 ...Sp+1 Sp , p = 0, 1, ..., j. Тогда уравнение(1.12) можно записать в виде:yj+1 = Tj+1,0 y0 +jXTj+1,p+1 ϕ̃p τ.(1.13)p=0Определение 1.9 Оператор Tj+1,p называется оператором перехода со слоя p на слойj + 1, а оператор Tj+1,0 называется разрешающим оператором.Теорема 1.10 Для устойчивости схемы (1.12) достаточно, чтобы оператор B −1 былограниченным и выполнялось условие kTj,p k 6 M1 при всех 0 6 p 6 j 6 j0 . При этом длярешения задачи (1.12) верна априорная оценка:(kyj+1 k(h1) 6 M1ky0 k(h1) +jX)kBp−1 ϕp k(h1) τ(1.14)p=0для всех j = 0, 1, ..., j0 .Доказательство. Применим неравенство треугольника к уравнению (1.13): jjXXkyj+1 k(h1) 6 kTj+1,0 y0 k(h1) + τ Tj+1,p+1 ϕ̃p 6 kTj+1,0 k · ky0 k(h1) + τkTj+1,p+1 k · kϕ̃p k(1h) .

p=0p=05Так как по условию kTj,p k 6 M1 при всех 0 6 p 6 j 6 j0 , то)(jXkBp−1 ϕp k(h1) τ .kyj+1 k(h1) 6 M1 ky0 k(h1) +p=0Так какjXkϕ(t0 )k(h2) ,kBp−1 ϕp k(h1) τ 6 jτ max kBp−1 ϕp k(h1) 6 jτ max kBp−1 k · max0p=0p=0,...,jp=0,...,j06t 6tjто поскольку jτ 6 j0 τ = t0 , а max kBp−1 k 6 max kBp−1 k, для yj+1 справедливо неравенp=0,...,jство (1.11), где M2 = M1 · t0 · maxp=0,...,j0kBp−1 k.p=0,...,j0Теорема 1.11 Для устойчивости схемы (1.12) достаточно, чтобы для нормы ее оператора перехода со слоя на слой Sj выполнялась оценка:kSj k 6 1 + C0 τ, j = 0, 1, 2, ..., j0 − 1,(1.15)где C0 > 0 — постоянная, не зависящая от τ и h.

При этом для решения верна априорнаяоценка (1.14), где M1 = eC0 t0 .Доказательство. Оценим норму оператора Tj,p :kTj,p k = kSj−1 Sj−2 ...Sp+1 Sp k 6 kSj−1 k · kSj−2 k · ... · kSp+1 k · kSp k 6 (1 + C0 τ )j−p 66 (1 + C0 τ )j 6 (1 + C0 τ )j0 6∞X(C0 τ )kk=0!j0k!= eC0 τj0= eC0 τ j0 = eC0 t0 = M1 .Определение 1.12 Схема (1.10) называется равномерно устойчивой по начальным данным, еслиkyj k(h1) 6 M1 kyp k(h1) , 0 6 p 6 j 6 j0 ,(1.16)где M1 > 0 — постоянная, не зависящая от τ и h.Теорема 1.13 Если схема (1.12) равномерно устойчива по начальным данным, то онаустойчива и по правой части при условии, что kB −1 k 6 C1 , где C1 > 0 — постоянная,не зависящая от h и τ .Доказательство. Если выполнено условие равномерной устойчивости схемы по начальным данным, то kTj,p k 6 M1 . Тогда, в силу теоремы (1.10), схема устойчива и поправой части.6Рассмотрим двухслойную схему с постоянными операторами A и B.

Если оператор Bимеет ограниченный обратный, то она эквивалентна задаче y−1j+1 = Syj + τ ϕ̃j , ϕ̃j = B ϕj , j = 0, 1, ..., j0 − 1, y0 = y (0) ,(1.17)где S = E − τ B −1 A — постоянный оператор. Если схема с постоянным оператором Sустойчива по начальным данным, то она и равномерно устойчива по начальным данным,так какTj,p = Tj−p,0 = S j−p .(1.18)Теорема 1.14 Устойчивость по начальным данным схемы (1.17) с постоянными операторами необходима и достаточна для устойчивости по правой части при условии, чтоkB −1 k 6 C1 , где C1 > 0 — постоянная, не зависящая от h и τ . При этом верна априорнаяоценка:(kyj+1 k(h1) 6 M1ky0 k(h1) + C1jX)kϕp k(h2) τ(1.19)p=0для всех j = 0, 1, ..., j0 .Доказательство.1) Достаточность.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций