1625914190-ed3c29641f6489f5beff0e2503f67c69 (532707), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Устойчивость по начальным данным означает ограниченность разрешающего оператора: kTj,0 k 6 M1 . В силу равенства (1.18) получаем:Tj,0 = S j = Tj+p,p при 0 6 p 6 j 6 j0 ,что в свою очередь означает ограниченность операторов перехода Tj+p,p . Следовательно,пользуясь теоремой 1.10, получаем утверждение доказываемой теоремы.2) Необходимость. Пусть схема (1.17) устойчива по правой части:kyj+1 k(h1) 6 M1jXkϕ̃j k(h1) τ, j = 0, 1, 2, ..., j0 − 1.p=0Эта оценка справедлива для любой правой части ϕ̃j = B −1 ϕj .
В случае задачи с нулевымначальным условием (y (0) = 0) решение имеет вид:yj+1 = τjXTj+1,p+1 ϕ̃p .p=0Покажем, что разрешающий оператор Tj,0 = Tj+1,1 ограничен. Для этого выберем правуючасть вида τ ϕ̃j = δj,0 f , где f ∈ Bh — произвольная функция. Тогдаyj+1 = Tj+1,1 f = Tj,0 f,7и следовательно,kTj,0 f k(h1) 6 M1 kf k(h1) .Рассмотрим все возможные f , принадлежащие единичной сфере в Bh : kf k(h1) = 1. Тогда:kTj,0 k =supkTj,0 f k(h1) 6 M1 ,kf k(h1) =1что и требовалось доказать.Итак, если оператор S постоянен, то исследование устойчивости схемы сводится коценке нормы оператора перехода.2Классы устойчивости двухслойных схем2.1Исходное семейство схемБудем рассматривать двухслойную схему By + Ay = ϕ(t), t = jτ ∈ ω ;tτ y(0) = y (0) .(2.1)Операторы A и B в общем случае зависят от параметров h и τ , а также от t.Пусть Hh — конечномерное вещественное линейное пространство, в котором введеноскалярное произведение (·, ·), а норма определена следующим образом:kyk =p(y, y), y ∈ Hh .Будем пользоваться следующим определением устойчивости разностной схемы (2.1):ky(t + τ )k(1h) 6 M1 ky (0) k(1h) + M2 maxkϕ(t0 )k(2h) .006t 6t(2.2)В данном разделе будут сформулированы условия на операторы A и B, при которых схема(2.1) устойчива в различных пространствах Hh .Определение 2.1 Нормой оператора A называется число, определяемое следующим образом:kAk =supkAxk(2h) или kAk = supx∈Hhkxk(1h) =1kAxk(2h).kxk(1h)Всюду далее будем считать, что A — положительно определенный оператор, то есть(Ax, x) > 0 для любого x ∈ Hh , причем (Ax, x) = 0, только если x = 0.8Определение 2.2 Число (Ax, x) называется энергией оператора A.Говорят, что A > B (по энергии), если ((A − B)x, x) > 0 для всех x ∈ Hh .
Если операторA является самосопряженным, то есть A = A∗ , то в Hh можно ввести так называемуюэнергетическую норму.Определение 2.3 Энергетической называется норма, порождаемая энергией оператора:kykA =p(Ay, y).(2.3)Линейное пространство с нормой (2.3) будем обозначать HA . Будем говорить, что схема(2.1) устойчива в энергетическом пространстве HA , если выполнено неравенство (2.2), вкотором k · k(1h) = k · kA .Исследование устойчивости будем проводить в некотором исходном семействе разностных схем. Операторы A и B будем считать ограниченными линейными операторами,заданными на всем пространстве Hh : D(A) = D(B) = Hh . Кроме того, предположим, чтозадача (2.1) разрешима при любых входных данных y (0) и ϕ(t), то есть что существуетограниченный оператор B −1 с областью определения D(B −1 ) = Hh .Далее для упрощения выкладок предположим, что:1) операторы A и B не зависят от t;2) оператор B положительно определенный;3) оператор A самосопряженный и положительно определенный.В качестве примера рассмотрим схему с весами для уравнения теплопроводности наотрезке [0, 1]: yt = Λ (σ ŷ + (1 − σ)y) + ϕ, x ∈ ωh [0, 1], t ∈ ωτ ;y(x, 0) = u0 (x), x ∈ ωh [0, 1];y(0, t) = 0, y(1, t) = 0, t ∈ ωτ ;гдеΛy ≡ (a(x)yx̄ )x , a(x) > 0.Положим A = −Λ.
Покажем, что оператор A самосопряженный и положительно определенный. Пусть y и v — произвольные ограниченные сеточные функции на ωh [0, 1], обращающиеся в ноль при x = 0 и x = 1. Воспользуемся первой формулой Грина:(Ay, v) = − ((a(x)yx̄ )x , v) = (ayx̄ , vx̄ ] =k0Xak yx̄,k vx̄,k h = (avx̄ , yx̄ ] = − (y, (a(x)vx̄ )x ) = (y, Av),k=19то есть оператор A самосопряженный. Из первой формулы Грина также следует, что длялюбой сеточной функции y, такой что y0 = yk0 = 0, справедливо неравенство:(Ay, y) = (ayx̄ , yx̄ ] =k0X2ak yx̄,kh > 0,k=1так как по условию a(x) > 0, причем (Ay, y) = 0 только если y ≡ 0. Следовательно, оператор A положительно определенный. Перепишем уравнение в рассматриваемой разностнойсхеме в виде:(E − στ Λ)yt = Λy + ϕ ⇔Byt + Ay = ϕ,где B = E − στ Λ = E + στ A.
В данном случае оператор B также является положительноопределенным и самосопряженным, так что схема принадлежит рассматриваемому классу.2.22.2.1Метод энергетических неравенствПервое энергетическое тождествоУмножим (2.1) скалярно на 2τ yt = 2(ŷ − y):2τ (Byt , yt ) + 2τ (Ay, yt ) = 2τ (ϕ, yt ).Пользуясь равенством:y=ŷ + y ŷ − y−= 0.5(ŷ + y) − 0.5τ yt ,22получим:2τ ((B − 0.5τ A)yt , yt ) + (A(ŷ + y), ŷ − y) = 2τ (ϕ, yt ).Так как по предположению оператор A самосопряженный, то(A(ŷ + y), ŷ − y) = (Aŷ, ŷ) + (Ay, ŷ) − (Aŷ, y) − (Ay, y) = (Aŷ, ŷ) − (Ay, y),так как (Ay, ŷ) = (y, Aŷ) = (Aŷ, y). В результате приходим к первому энергетическомутождеству:2τ ((B − 0.5τ A)yt , yt ) + (Aŷ, ŷ) = (Ay, y) + 2τ (ϕ, yt ).2.2.2(2.4)Второе энергетическое тождествоПредположим, что оператор B также является самосопряженным, то есть B = B ∗ .
Умножим (2.1) скалярно на 2τ ŷ:2τ (Byt , ŷ) + 2τ (Ay, ŷ) = 2τ (ϕ, ŷ).10(2.5)Используя формулы:y = 0.5(ŷ + y) − 0.5τ yt ,ŷ = 0.5(ŷ + y) + 0.5τ yt ,получаем:2τ (Byt , ŷ) = (B(ŷ − y), ŷ + y) + τ 2 (Byt , yt ) = (B ŷ, ŷ) − (By, y) + τ 2 (Byt , yt ) == kŷk2B − kyk2B + τ 2 kyt k2B ;2τ (Ay, ŷ) = 0.5τ (A(ŷ + y − τ yt ), ŷ + y + τ yt ) = 0.5τ (A(ŷ + y), ŷ + y) − 0.5τ 3 (Ayt , yt ) == 0.5τ kŷ + yk2A − 0.5τ 3 kyt k2A .Подставляя полученные выражения в (2.5), приходим ко второму энергетическому тождеству:kŷk2B + τ 2 kyt k2B − 0.5τ kyt k2A + 0.5τ kŷ + yk2A = kyk2B + 2τ (ϕ, ŷ).2.3(2.6)Устойчивость по начальным данным в HAТеорема 2.4 УсловиеB > 0.5τ A(2.7)является необходимым и достаточным для устойчивости схемы (2.1) из исходного семейства в пространстве HA по начальным данным с постоянной M1 = 1, то есть длявыполнения оценкиkyj kA 6 ky (0) kA , j = 1, 2, ..., j0 ,(2.8)где yj — решение задачи (2.1).Замечание 2.5 Условие (2.7) понимается как ((B − 0.5τ A)x, x) > 0 для всех x ∈ Hh иназывается критерием устойчивости Самарского.Доказательство.1) Достаточность.
Пусть выполнено условие (2.7). Тогда из первого энергетическоготождества (2.4) при ϕ = 0:2τ ((B − 0.5τ A)yt , yt ) + (Aŷ, ŷ) = (Ay, y)следует, что (Aŷ, ŷ) 6 (Ay, y), или же kŷk2A 6 kyk2A , откуда получаем:kyj+1 kA 6 kyj kA 6 ... 6 ky0 kA .112) Необходимость. Пусть схема (2.1) устойчива по начальным данным и выполнено условие (2.8). Рассмотрим первое энергетическое тождество (2.4) при ϕ = 0 и j = 0:2τ ((B − 0.5τ A)yt (0), yt (0)) + (Ay1 , y1 ) = (Ay0 , y0 )или же2τ ((B − 0.5τ A)yt (0), yt (0)) = (Ay0 , y0 ) − (Ay1 , y1 ) = ky0 k2A − ky1 k2A .Так как по условию ky1 kA 6 ky0 kA , то((B − 0.5τ A)yt (0), yt (0)) > 0.(2.9)Нам необходимо доказать, что неравенство ((B − 0.5τ A)v, v) > 0 справедливо длялюбого элемента v ∈ Hh . Так как по условию теоремы схема (2.1) принадлежит исходномусемейству, то A > 0 и B > 0, а значит существуют ограниченные операторы A−1 и B −1 .Выберем произвольный элемент v ∈ Hh . Ему соответствует единственный элемент y0 =−A−1 Bv ∈ Hh , такой что Bv + Ay0 = 0, причем v = −B −1 Ay0 = yt (0).
Следовательно, из(2.9) получаем, что интересующее нас неравенство ((B − 0.5τ A)v, v) > 0 выполнено длялюбого элемента v = yt (0) ∈ Hh , то есть имеет место неравенство (2.7).Замечание 2.6 Условие (2.7) остается достаточным для устойчивости схемы (2.1) поначальным данным и в случае, когда B = B(t) > 0 является переменным несамосопряженным положительно определенным оператором.В качестве примера исследуем рассмотренную выше схему с весами для уравнениятеплопроводности.
Как было показано, для нееA = − (a(x)yx̄ )x , где a(x) > 0,B = E + στ A,причем операторы A и B являются самосопряженными и положительно определенными.Необходимое и достаточное условие устойчивости по начальным данным для рассматриваемой схемы имеет вид:B − 0.5τ A = E + (σ − 0.5)τ A > 0.Так как A 6 kAkE, то E > kAk−1 A, откуда получаем:B − 0.5τ A > kAk−1 + (σ − 0.5)τ A,121.τ kAkОценим норму оператора A.
Так как он самосопряженный и положительно определен-то есть условие (2.7) будет выполнено, если σ > 0.5 −ный, тоkAk = sup (Ay, y).kyk(1h)Поскольку y0 = yk0 = 0, то, применяя первую формулу Грина, получаем:(Ay, y) =k0X2ak yx̄,k6 max ak ·k0X06k6k0k=12yx̄,k= − max ak · (yx̄x , y) .06k6k0k=1Разложим функцию y по системе µ(n) (xk ) ортонормированных собственных функций разностной задачи Штурма-Лиувилля на отрезке [0, 1] с условиями Дирихле: yk =kX0 −1(n)Cn µk . Тогдаn=1yx̄x = −kX0 −1(n)λn Cn µk ,n=1и(Ay, y) 6 max ak ·06k6k0kX0 −1λn Cn2n=1kX0 −14Cn2 ,6 2 max ak ·h 06k6k0|n=1{z }= kyk24так как max λn = λk0 −1 6 2 .nh4Итак, kAk 6 2 max a(x), и условие устойчивости схемы по начальным данным приниh x∈ωhмает вид:kAk−1 + (σ − 0.5)τ >h2h2+ (σ − 0.5)τ > 0 ⇔ σ > 0.5 −.4 max a(x)4τ max a(x)x∈ωhx∈ωhПо аналогии с рассмотренной схемой построим для абстрактной задачиyt + Ay = ϕ,где A > 0 — несамосопряженный оператор, схему с весамиyt + σAŷ + (1 − σ)Ay = ϕ ⇔ (E + στ A)yt + Ay = 0.(2.10)Она не принадлежит к исходному семейству схем, но поскольку A > 0, существует обратный оператор A−1 > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
