tasks (532688), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Что и почему происходит с кривой |Ψ(x, t)|2 . Почему |Ψ|2max вбарьере больше, чем в пакете, который находится вне ямы?Сравните τ с разностью времен прохождения пакета черезэкран с барьером и без него. Почему в отличие от рассеянияна виртуальном уровне измеренное время задержки пакета вданном случае оказывается положительным? Какой знак имелбы аналогичный эффект в классической механике?5.7Волновой пакет из уровней широкой прямоугольной ямы: колебания на начальной стадииДля широкой ямы со многими уровнями (n ≈ 50 ÷ 100) сформировать волновой пакет Ψ(x, t) = Σβn ·Ψn (x) exp(−iEn t) из уровнейс 0 > E > U/2 на некотором интервале по n, (вес гармоник βnавтоматически задан гауссовской функцией по n). Познакомиться с |φn (k)|2 на том же интервале по n.Рассмотреть временную эволюцию огибающей волновогопакета |Ψ(x, t)|2 и его «наполнения» Re Ψ(x, t) или Im Ψ(x, t), пока пакет не очень расплылся.
Сопроводить рассмотрение на9этом начальном интервале времени наблюдением пакета в импульсном представлении |φ(k, t)|2 .Как выглядит |φ(k, t)|2 , когда пакет в координатном представлении прижат к стенке, либо оторван от них? Провестианалогию с классической частицей (моменты времени, когдаогибающая является гладкой). Объяснить появление частыхосцилляций в координатном распределении, когда пакет подходит к стенкам ямы. Как (и почему именно так) ведут себя вэто время ReΨ(x, t) и ImΨ(x, t), 3D:Ψ(x, t)?5.8Расплывание и возрождение волнового пакета вширокой прямоугольной ямеПродолжая наблюдение на большом интервале времени (увеличив шаг ht по сравнению с предыдущим упражнением) следить за расплыванием пакета, наступлением стадии «квантового хаоса», а затем за появлением дробных и целых возрождений (правильной и даже исходной формы) волнового пакета.
Учитывая вид |φn (k)|2 для смешиваемых волн, рассмотретьаналогию с бегунами на стадионе, у которых скорости эквидистантны.5.9Модель осцилляторной ямыРассмотрите уровни энергии, волновые функции, импульсныераспределения и движение волнового пакета в ступенчатомпотенциале, имитирующем осцилляторную яму, обрезаннуюсправа и слева нулевым потенциалом. Почему наиболее высокий уровень желательно рассматривать отдельно? Каково положение уровней относительно дна ямы?Почему внешние пики |Ψn (x)|2 больше и толще внутренних?Почему |φn (k)|2 подобны |Ψn (x)|2 ? Как зависят средняя кинетическая и средняя потенциальная энергия частицы от n?Почему волновой пакет из уровней этой ямы движется периодически и чему равен период колебаний? (См.
задачу пропакет в свободном пространстве). Как соотносятся между собой |Ψ(x, t)|2 и |φ(k, t)|2 ? Каким окажется период, если смешатькаждое второе состояние?5.10Модель треугольной (трапецевидной) ямыСтупеньками задайте потенциальную яму в форме треугольника или трапеции (модель постоянного электрического поля).Как меняется дистанция между уровнями с ростом n? Почему частица на уровнях выше основного предпочитает менееглубокую часть ямы?105.11Плавный барьерВершина плавного барьера может считаться параболой. Рассмотрите T (E), T (z) и |Ψ(x)|2 в случае перевернутого осцилляторного потенциала из предыдущего упражнения (z-ширинабарьера в основании).
Чему равен коэффициент прохожденияпри E = max U(x) и почему в T (E) нет осцилляций, а на графикеT (z) при надбарьерном прохождении они тоже сильно подавлены? Заметим, что в Л.Л. (M.1974. стр. 220) приведено решениедля T (E) в случае идеальной параболы.Почему в <осцилляторной> яме при малых E все еще естьпики T (E), которые эквидистантны в T (z), т.е. наблюдаютсявиртуальные уровни?5.12Модель потенциала U0 / ch2 (x/a)Рассмотрите уровни энергии, волновые функции и импульсные распределения в ступенчатом потенциале, имитирующемяму U0 /ch2 (x/a). Почему уровни сгущаются к потолку и внутренние пики |φn (k)|2 выше и уже внешних.Смешайте уровни верхней части спектра (аналогично задаче про широкую прямоугольную яму) и наблюдайте дробное иполное возрождение волнового пакета.Посмотрите T (E), T (a) для этой ямы и барьера (замена знакаU0 ), а также |Ψ(x)|2 при небольших E > 0 и, соответственно приE > |U0 | и разных a.
Куда делись виртуальные уровни, которыебыли в случае прямоугольной и даже параболической ямы?Заметим, что в Л.Л. (M.1974. стр. 105) приведено решение дляT (E) в случае потенциала U0 /ch2 (x/a), <хвосты> которого у насвсе же обрезаны.66.1Пара ям–модель двухатомной молекулыПара одинаковых ям–модель ковалентной связиПусть расстояние между ямами соизмеримо с длиной <хвоста> ReΨ0 (x). По внешнему виду ReΨn (x) объясните попарную группировку уровней и скажите из какого уровня одной ямы произошли те или иные уровни для пары ям. Почемусимметричные состояния лежат немного ниже, а антисимметричные слегка выше, чем <родительский> уровень? ПочемуE1 − E0 E3 − E2 ?По виду |Ψ(x)|2 для пары нижних уровней скажите, в каком состоянии средняя потенциальная энергия частицы имеетнаименьшее (наибольшее по модулю) значение. Почему дляполных энергий En получается наоборот?11По давлению частицы на внешние и внутренние потенциальные стенки скажите притягиваются ли ямы друг к другу? Вкаких состояниях частица стремится сблизить ямы? (В химииони называются связывающими молекулярными орбиталями).В каких состояниях, наоборот, частица расталкивает ямы (ониназываются антисвязывающими).6.2Импульсное распределение в двух ямахОбъясните вид |φn (k)|2 по зависимостям ReΨn (x) (наличие двухпобочных максимумов для основного состояния, близость характерных импульсов для n = 1,2, совпадение положений побочных максимумов для n = 0 с положением основных максимумов для n = 3).Объясните вид графиков |φn (k)|2 для двух нижних уровнейпо аналогии с дифракцией частиц на открытом конце парысвязанных плоских волноводов или на двух щелях (kx /ky =tg(θ), где y–вдоль волновода, θ – угол дифракции).
Рассмотрите разность хода от центров щелей до точки на экране ипо виду ReΨ(x) покажите, что будет наблюдаться необходимоечередование черных и белых полос.Какой была бы картина дифракции |φ(k)|2 , если бы ямы находились далеко друг от друга? Как соотносятся огибающаякривой почернения с |φ(k)|2 для основного состояния в однойяме?6.3Однопараметрическое изменение симметричнойпары ямЧто произойдет с уровнями, волновыми функциями и давлением частицы на стенки, если увеличить дистанцию междуямами в 2-3 раза? Предскажите и проверьте с помощью En (z)изменение спектра уровней с при раздвигании ям. Укажите наэтих графиках силу, с которой частица притягивает (отталкивает) ямы.
Найдите на рисунке связывающие и антисвязывающие <молекулярные орбитали>.Предскажите изменение спектра уровней при отрастанииузкого барьера между одинаковыми ямами. Почему антисимметричные состояния неподвижны?Предложите двух-ямный потенциал, с локализацией частицна разделяющем промежутке (в каком либо из уровней). Каксоотносится этот эффект с резонансами при прохождении частиц через прямоугольный барьер? Меняя ширины ям и разделяющего промежутка, рассмотрите процессы столкновенияуровней с локализацией в ямах и в барьере.126.4Осцилляции во времениДля двух одинаковых ям рассмотрите временную эволюциюсуперпозиции пары уровней Ψm (x) exp(−iEm t)+Ψn (x) exp(−iEn t).Почему движение периодично и сильно различаются характерные времена колебаний ReΨ(x, t) и |Ψ(x, t)|2 ? Будет ли частицаизлучать электромагнитные волны, если смешать 0-ой и 1-ый(0-ой и 2-ой) уровни?6.5Пара разных ям– модель ионной связи в двухатомной молекулеОбъясните эффект локализации волновой функции и сменыобласти локализации с ростом n в слегка асимметричной паре ям.
Почему эффект сильнее для нижних уровней? К чемуведет подобная локализация в реальности, если верхний иззаполняемых уровней в разных атомах, рассмотренных по отдельности, недозаполнен и в одном из атомов лежит выше, чемв другом (разные потенциалы ионизации)? Объясните зависимость En от расстояния между ямами.Рассмотрите изменение уровней при неизменной одной ямеи постепенном уменьшении глубины соседней более глубокойямы до нуля. Наблюдайте столкновение и <антипересечение>уровней, отвечающее сначала равенству ям, а потом их сильному различию. Как выглядят волновые функции в момент такого антипересечения? Почему, и при каких условиях на положение уровней отдельных атомов, это позволяет ковалентнуюсвязь.При какой минимальной разности глубин сильная локализация частиц в ямах исчезнет? Рассмотрите изменение уровней энергии при встречном изменении глубин исходно разныхям (<поляризация> внешним полем, меняющимся от до −–линейный эффект Штарка при большом поле и и параболический вблизи = 0).77.1Несколько ям–модель «кристалла»Несколько одинаковых ямПусть ширина барьера между одинаковыми эквидистантнымиямами соизмерима с длиной <хвоста> ReΨ0 (x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
