tasks (532688), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Еще проще делаются и аналогично работаюттвердотельные многослойники для ультра-холодных нейтронов.42.2Волновой пакетСформируйте пакет из равноотстоящих по E > 0 состояний:Ψ(x, t) = Σβj · Ψj (x)e−iEj t , Ehighest ≥ Ej ≥ Elowest (вес гармоник βjавтоматически задан гауссовской функцией по Ej ).Рассмотрите |Ψ|2 , ReΨ, 3D:Ψ сначала для случая одной гармоники, потом двух близких по E и, наконец, многих волн.
Первый и второй варианты нужны, чтобы напомнить о временнойзависимости стационарных состояний и увидеть различие фазовой и групповой скорости (какое оно из теории?). К чемуведет это различие в пакете из многих гармоник?Проверьте что Ψ(x, t) является периодической функцией t,т.е. содержит бесконечную серию <пакетов>.
(Из скоростейвращения всех векторов exp(−iEj t) на комплексной плоскостинайдите наименьшее время, через которое они снова совпадут.) По числу гармоник и средней энергии предскажите и начислах проверьте расстояние между центрами <пакетов>. Какзависит ширина <пакета> от Ehighest − Elowest ?33.1Потенциальная ступеньСтационарное рассеяние частицы ступеньюВсе потенциалы, которые мы здесь изучаем, составлены из отрезков U(x) = const, в которых на частицу силы не действуют.Выразите силы через |Ψ|2 в точках разрыва потенциала.Рассмотрите столкновение частицы с энергией E > 0 с простейшим препятствием –бесконечно тонким ускоряющим промежутком, т.е.
резкой ступенью вниз: U(x < 0) < 0. Почемупри x < 0 плотность вероятности является низкой горизонтальной линией, а справа имеются крупные осцилляции, в которых|Ψ|2min = |Ψ(x = 0)|2 ? Почему осцилляции растут и растягиваютсяпри приближении E к нулю? Что при этом происходит с коэффициентом прохождения? Объясните форму кривых ReΨ(x),3D:Ψ(x).Пусть теперь частица атакует ступень с U(x < 0) > 0. Прикаких x, E имеется стоячая волна, и в каких особенностях графиков видны ее проявления? То же самое для бегущей и затухающей волны. Почему при E > Umax для осцилляций приx > 0 выполняется условие |Ψ|2max = |Ψ(x = 0)|2 , т.е. плотностьвероятности в ступеньке является высокой? При какой E онамаксимальна, чему она равна и каков в данном случае коэффициент прохождения? Сравните вид ReΨ(x), 3D:Ψ(x) с тем, чтобыло при U(x < 0) > 0.Найдите в T (E) и координатных распределениях сходствос тем, что дала бы классическая механика в подобной задаче,5а также принципиальные отклонения от классики.
Например,докажите, что давление на стенку получается одинаковым приE < Umax . А что будет при E > Umax ?Почему в квантовой механике ступень (спуск) отражаютчастицы при E > Umax ? Укажите оптическую аналогию этомуэффекту.3.2Столкновение волнового пакета с резкой ступеньюРассмотрите тот же самый пакет по энергии, как в задачепро свободное движение. Что и почему происходит с кривыми |Ψ(x, t)|2 , ReΨ(x, t), 3D:Ψ(x, t), когда пакет подходит близко кступени и далее со временем?Полезно смотреть движение пакетов из низких и большихэнергий по сравнению с U(x > 0), а также сопоставить со стационарным решением случай, когда пакет собран из состоянийблизких по энергии к Umax > 0.3.3Размытая ступеньПо аналогии с просветляющими покрытиями в оптике промоделируйте несколькими ступеньками плавный переход от Umaxдо 0. При большом числе ступенек это может быть модельюпотенциала в плоском конденсаторе.Как изменятся |Ψ(x)|2 в случаях E < Umax , E > Umax , а такжеT (E) по сравнению с резким переходом? Каким нужно взятьразмер области изменения U(x), чтобы T (E) стало почти такимже, как для классических частиц? Почему малые отличия T от1.0 хорошо заметны по осцилляциям плотности вероятности вобласти, откуда падает частица?44.1Имитация δ-функционной ямы/барьераУровень в мелкой ямеУправляя параметрами a,U–шириной и глубиной прямоугольной потенциальной ямы, получите почти прижатый к потолкууровень E0 .Насколько точно, если судить по числам U, a, E0 и внешнему виду Ψ0 (x), данная яма соответствует модели δ-ямы? (Аналитически из правил сшивки Ψ(x) для δ-ямы найдите связь еемощности c параметрами U, a, приняв во внимание поведениеΨ0 (x) внутри имитирующей ямы).6Соответствуют ли данной имитации построенные зависимости E0 (z), где z отвечает мощности ямы? На числах проверьте соотношение неопределенностей Гейзенберга, и по поведению Ψ0 (x) предскажите внешний вид |φn (k)|2 в пределе E0 → 0.4.2Коэффициент прохождения в случае мелкой ямыЯвляется ли мелкая широкая яма хорошей моделью δ-функционной ямы, если судить по дискретному спектру? Тот же вопрос для непрерывного спектра и T (E).Сравните коэффициенты прохождения и координатные распределения для «δ-ям» и «δ-барьеров» одинаковой мощности.4.3«δ-яма» в потенциальной ступенькеПредскажите и численно найдите момент исчезновения уровняв «δ-яме» при повышении/опускании потенциала слева от ямы.Какую форму имеют в этот момент Ψ(x), |φn (k)|2 ?Почему численно найденная Ul = U(x < 0) в момент исчезновения уровня заметно отличается от предсказанного.
Какойвид имеет зависимость E0 (Ul ). Что происходит с T (E) при изменении Ul < 0, Ul > 0, пока в яме имеется уровень?55.1Широкие яма/барьерПрямоугольная яма с несколькими уровнямиПо форме Ψn (x) при En → 0 сообразите, при каком условиина глубину и ширину ямы появляется очередной уровень n, икак для него выглядит |φn (k)|2 в сравнении с более глубокимиуровнями Em (m ≤ n)?Чем объясняется почти одинаковый <размах> по вертикали для Ψm (x) с разными m и малый <размах> для уровня прижатого к потолку ямы? Как предвидеть число, положение иширину больших пиков импульсного распределения, исходя изграфиков Ψm (x)? Как зависят от m средняя кинетическая, средняя потенциальная энергия и сила, с которой частица давилабы на стенки ямы.
Чему равны эти величины в пределе En → 0?Если увеличивать U(x < 0), то какие уровни это почувствуют раньше и почему? Что и почему происходит с волновойфункцией, когда U(x < 0), наоборот, приближается сверху ксоответствующему уровню.Какова плотность вероятности на левой стенке ямы, еслиона известна для правой? Проверьте на числах Ваше предсказание для каких-нибудь уровней. Как найти силу, с которойчастица давит на левую стенку, если U(x < 0) = ∞. Каким в7этом случае будет условие на появление в яме единственногоили очередного уровня?Пусть на краю широкой ямы имеется узкое углубление, такчтобы E0 был ниже дна широкой части.
Объясните вид Ψn (x),|φn (k)|2 . Выборочно убедитесь, что сумма всех сил (с учетомзнака) в точках разрыва потенциала в любом состоянии есть0.5.2Ход уровней при расширении прямоугольной ямыКакова зависимость En (z) (z-ширина ямы) пока уровни остаются мелкими или становятся глубокими. Чему равна dEn /dzв момент появления уровней? Рассматривая поведение |Ψn (x)|2опишите, как от z зависит сила, с которой частица давит настенки ямы, сопоставьте это поведение с En (z) и другим выражением для силы (−dEn /dz).Чем для глубоких уровней объяснить параллельность линий En (z), когда z-глубина ямы? Предскажите и проверьте, какменяются импульсные распределения |φn (k)|2 с ростом ширины(глубины) ямы.5.3Виртуальные уровниЧто за пики на кривой T (E), как и почему меняется их положение и ширина с изменением ширины ямы a? Как в резонансахполного прохождения связаны |Ψ|2 и |Ψ|2max внутри и вне ямы?Как вели бы себя аналогичные величины для стационарногопотока классических частиц с энергией выше потолка ямы.Как найти резонансные значения E − U, либо a из рисунка|Ψ(x)|2 в задаче про одну резкую ступень, и каков знак у этойступени (спуск или подъем)? Почему эти резонансные значения совпадают с положениями уровней (выше некоторого) вяме с бесконечными стенками?Что происходит с T (E) возле точки E = 0 при расширениипрямоугольной ямы перед появлением нового уровня? Как этовыглядит на зависимости T (z) при малом E > 0, когда увеличивается z- ширина (глубина) ямы? Как и почему меняетсяположение и ширина этих резонансов с изменением E? В чемсходство и различие координатных распределений для резонансов T по z и для появившихся уровней?5.4Волновой пакет, настроенный на виртуальныйуровеньИсходя из зависимости T (E) сформируйте пакет в окне энергий, отвечающих ширине резонанса с виртуальным уровнем8и оцените по его ширине характерное время τ.
Что и почемупроисходит с кривой |Ψ(x, t)|2 . Будет ли |Ψ|2max в яме больше, чемв пакете, который приближается к яме или уходит от нее?Сравните τ с разностью времен прохождения пакета черезэкран с ямой и без нее. Какой знак и величину имел бы аналогичный эффект для классической частицы? Как на времяпрохождения пакета влияет резонансная интерференция?5.5Надбарьерные резонансыДля достаточно широкого потенциального барьера посмотретьи объяснить T (E), T (z) с одновременной визуализацией |Ψ(x)|2(особенно в точках максимума и минимума коэффициента прохождения).Как для надбарьерных резонансов (состояний полного прохождения) связаны |Ψ|2 и |Ψ|2min внутри и вне барьера? Как вели бы себя аналогичные величины для стационарного потокаклассических частиц с надбарьерной энергией. Как по графику |Ψ(x)|2 из задачи про резкую ступень с U(x < 0) < 0 предсказать значения E − U, a для надбарьерных резонансов? Почемуэти значения совпадают с положениями всех уровней (начинаяс нижнего) в яме с бесконечными стенками?5.6Волновой пакет и надбарьерный резонансСформируйте пакет в окне энергий, отвечающих надбарьерному резонансу и оцените по его ширине характерное времяτ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
