kvant (532687), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Полезно наблюдать трансформациюволновых функций краев зон при варьировании параметровпотенциала и разглядеть, как (и почему именно так) она отражается на высоте основных и дополнительных пиков импульсного распределения. Изменить период потенциала и другие егопараметры можно из численной таблицы потенциала, либо изпункта «Un».18Закон дисперсииЗакон дисперсии, зависимость энергии от квазиимпульса «E(qa)»,находится в меню дополнительных зависимостей.
Если ее построить, то будет видно, каким квазиимпульсам отвечают состояния внутри разрешенных зон и как с энергией меняетсясредняя скорость частицы.19Деформация зонного спектраЕсли менять мышкой параметры потенциала из двух (нескольких) одинаковых ям на периоде, то можно видеть трансформацию зонного спектра и закона дисперсии. Соответственно,можно назначить начальный и конечный потенциалы, сформированные графически, либо таблично, и посмотреть зависи14Для этого можно сузить масштаб по вертикали для потенциала, чтобы уменьшить шаг графического варьирования E.15Импульсное распределение для заданной энергии E рисуется внизу соответствующего окна.10мость краев зон от z: En (z).
Полезно бегунком z рассмотретьинтересные моменты на этой зависимости в окнах волновыхфункций и импульсного распределения.20Квазистационарные состоянияВыбор пункта «Quasistationary» из меню «Model» вместо «Boundstates/Scattering» означает, что для тех же потенциалов с конечным числом отрезков, будет решаться задача на поиск и визуализацию квазистационарных состояний. Это подразумевает, во-первых, такое же разделение переменных x и t в нестационарном уравнении Шредингера, как в стационарном случае, т.е.
представление волной функции в виде произведенияΨ(x, t) = ψ(x) exp(−iEc t), но энергия Ec является не действительной, а комплексной Ec = E + iG. Дополнительно к прежним решениям мы будем рассматривать "распадные"состояния,т.е. состояния в нижней полуплоскости e, для которых |Ψ(x, t)|2убывает со временем. Чтобы не запутаться с граничными условиями, рассмотрим сначала более ясный случай нулевого потенциала на ±∞ Тогда задача при произвольной E + iG, G <0 решается по аналогии с задачей стационарного рассеяния.При x < 0 решение задается в виде уходящей волны ψ(x) =exp(−ikx). При x > xN получается ψ(x) = A exp(ikx) + B exp(−ikx),где k2 = E+iG принадлежит нижней полуплоскости и корень изE+iG извлекается так, что k = kR +ikI принадлежит четвертомуквадранту, независимо от знака E (kR > 0, kI < 0).
При x < 0получается exp(−kR x) exp(kI x) – бегущая влево волна нарастающей влево амплитуды. Соответственно, при x > xN будем иметьA exp(ikR x) exp(−kI x) + B exp(−ikR x) exp(kI x), т.е. интерференциюубегающей вправо и падающей справа волн. В данном случае дискретные квазистационарные состояния, по определению, отвечают отсутствию приходящих волн, т.е. формальнотакому же условию, как при поиске дискретных стационарных состояний (B = 0 на N + 1-ом отрезке по x). Важное отличие в том, что теперь коэффициент B это комплексно-значнаяфункция Re B + i Im B комплексной переменной E + iG, и нужнонайти значения этой переменной, в которых зануляется функция, т.е.
одновременно обращаются в ноль Re B и Im B. Можноожидать, что множества точек Re B(E, G) = 0 и Im B(E, G) = 0будут одномерными областями на плоскости (E, G) – линиями,которые могут пересекаться только в изолированных друг отдруга точках.Этот общий подход к описанию рассеяния можно применить и к ранее изученному случаю E < 0, G = 0. Но нужнопонимать, что по обычным правилам (и в программе) кореньиз действительной отрицательной величины извлекается с рас11положением результата в верхней, а не нижней полуплоскости.
Поэтому в приведенные выше общие выражения нужноподставить kR = 0 и kI > 0. Например, при x < 0 получается действительное решение ψ(x) = exp(kI x), которое остаетсядействительным на всей оси x, т.е. коэффициент B становитсядействительной величиной. Следовательно, мы возвращаемсяк обычному выражению для ψ(x) при произвольной E < 0, ипри правильной процедуре поиска нулей B на всей плоскости E + iG должны найтись и дискретные стационарные уровни. Очевидно, что при этом одна из интересующих нас линийImB(E, G) = 0 совпадает с полуосью отрицательных действительных E и достаточно находить ее пересечения с линиямиReB(E, G) = 0.21Методы поиска нулей на комплекснойплоскостиВ программе реализовано два метода решения уравнения BN+1 =0 на комплексной плоскости.
Для начала полезно знакомитьсяс первым, как более наглядным и надежным. Он выполняетсяпосле вызова пункта «BN+1 (E + iG)» и нажатия кнопки с зеленым треугольником ниже соответствующего графическогоокна. При этом переменная E + iG пробегает шагами hE, hGпо всей решетке внутренних точек некоторого прямоугольника на плоскости (E, G). Границы четырех областей изображаются разными цветами: 1 – ReB > 0, ImB > 0; 2– ReB > 0 ,ImB < 0, 3– ReB < 0, ImB > 0, 4– ReB < 0, ImB < 0. Следовательно, линия ImB = 0 лежит между границами областей 1-2и, соответственно, 3-4, а линия ReB = 0 проходит между границами областей 1-3 и 2-4. Места встречи всех четырех областейуказывают положение искомых точек с точностью до размерапрямоугoльничка (hE, hG).
В этих местах запускается алгоритмсекущих, уточняющих дискретные значения En + iGn итерациями: ei+1 = ei − Bi (ei − ei−1 )/(Bi − Bi−1 ), где e = E + iG, e0 и e1 – противоположные вершины трехцветного малого ромба. Их выборне однозначен, но, по опыту, результат применения алгоритмасекущих получается одинаковым. Найденные En + iGn складываются в таблицу, вызываемую на экран пунктом «En+iGn».Заметим, что hE, hG и границы большого прямоугольника заданы по умолчанию, и могут быть переопределены из контекстных меню, открываемых правой кнопкой мыши.Этот общий метод находит дискретные значения и на полуоси отрицательных действительных энергий, если задать Gmax >0 и Emin = Umin .
Поведение границ областей 1,2,3,4 по разныестороны этой оси является странным и не столь ясным, как12при G < 0 (почему?). В связи с этим, полезно по таблицамэнергий и по виду волновых функций проверить совпадениенайденных на оси состояний с обычными уровнями энергии втом же потенциале.Альтернативный метод поиска дискретных состояний приG < 0 является более быстрым, поскольку для него предварительное сканирование проводится лишь по E при фиксированном малом отрицательном G. При этом, как можно понять из предыдущей полной картины, бегунок E последовательно и поочередно встречает линии ImB = 0 и ReB = 0.Пары точек изменения знака ImB (либо ReB) считаются точками e0 и e1 запуска алгоритма секущих.
Любой из этих стартов, в случае сходимости алгоритма секущих, находит лишьправильные точки B = 0, как и в первом методе. Из-за сложного рельефа функции B(e) и большой дистанции до искомой точки (неудачных значений e0 , e1 ), второй метод можетпромахиваться (расходиться или циклить), и тогда итерацииавтоматически прерываются. Однако, несмотря на некоторыепропуски состояний, этот быстрый метод автоматически применяется, как только выбирается пункт «Quasistationary» изменю «Model», либо переопределяется потенциал.
В результате, на фоне потенциала соответствующим цветом рисуютсягоризонтальные линии En для найденных En + iGn , а сами комплексные числа складываются в таблицу, вызываемую пунктом «En+iGn». Если ранее было открыто окно с прямоугольником (E, G), то в нем эти точки автоматически располагаютсясо стиранием прежнего изображения. Полезно следить за изменением положения этих точек при изменении потенциаламышью. На самом деле, дискретные квазистационарные состояния можно считать уширенными уровнями энергии с шириной, определяемой Gn . Соответствующее распределение подействительным энергиям частицы дается формулой БрейтаВигнера: W(E) = 1/(1 + (E − En )2 /G2 ).22Контуры Брейта-ВигнераДля удобства контуры Брейта-Вигнера можно нарисовать вокне T (E).
По умолчанию рисуется найденное состояние с наименьшей E0 при G < 0. Полезно расширять одну яму и видеть,как это состояние появляется при положительных En , но исчезает при малых отрицательных, но хвост распределения W(E)все еще виден при E > 0. Интересно, что вид волновой функции квазистационарного состояния ψn (x) почти не меняется,когда En проходит через ноль. Состояние было и остается вобе стороны от нуля распадным, что видно по квадрату модуля. Можно считать, что это «странное» поведение есть резуль13тат присутствия существенной части энергий из распределения Брейта-Вигнера в области E > 0.Номер квазистационарного состояния для построения контура Брейта-Вигнера можно задать через соответствующее числовое поле n = в окне потенциала U(x).23Зависимость от времени квазистационарных состоянийЕсли открыть окно волнового пакета в координатном представлении, то можно посмотреть за временной эволюцией одиночного квазистационарного состояния, либо их суперпозиции (тои другое заказывается по номерам n) через выбор соответствующего контекстного меню, нажатием правой кнопки мыши.Интересно смотреть не только квадрат модуля, но также эволюцию реальной части волновой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
