kvant (532687), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Первую можно применить, если изображение отсутствует,например, после удаления клавишей «Delete», вторую использовать для изображения семейства кривых, если отменить стирание (птичку в квадратике «Erase»).95Чтобы лучше понять смысл резонансов (пиков) полного прохождения в случае простых симметричных U(x) (одной прямоугольной ямы, барьера) полезно бегунком энергии находить внепрерывном спектре состояния с T = 1 и следить за изменением фазы осцилляций |ψ(x)|2 в области отражения.12Импульсные распределенияОкно импульсного распределения |φn (k)|2 подчиненно координатному: выбор номеров уровней происходит в окне координатных распределений.
Масштабы задаются в контекстном меню. Полезно мышкой в графическом окне потенциала менятьширину ямы и следить за тем, как меняется вид импульсныхи координатных распределений. Особенно интересны моменты появления новых уровней. Можно одновременно следитьза трансформацией коэффициента прохождения T(E), если открыто соответствующее окно.13Временная эволюция волнового пакетаДве последние возможности в меню «Зависимости» касаются временной эволюции суперпозиции стационарных состояний в координатном и импульсном представлении. Внешнийвид окон такой же, как в случае стационарных распределений.Масштабы задаются так же. Знакомство с пакетом необходимо начинать открытием соответствующего окна координатныхраспределений «Ψ(x, t)», в котором можно наблюдать результатсмешивания дискретных состояний, либо имитировать волновой пакет, собранный в непрерывном спектре из эквидистантных энергий.
Обе возможности открываются в данном окнетак же, как масштабы через контекстные меню. Веса гармоник распределены в виде гауссовской функции (по энергии внепрерывном спектре, либо по номерам уровней в дискретномспектре).Знакомство с временной эволюцией состояний дискретного спектра лучше начинать с не очень широкой прямоугольной ямы, например, заданной по умолчанию. Полезно прерывать движение, нажатием на клавишу остановки/возобновления расчетов, чтобы изменить, например, шаг по времени(пункт «ht» в меню «time parameters» контекстного меню).10Расчеты будут быстрее, если увеличить шаг по x и шаг повремени.10Для прерывания расчетов под графическим окном предусмотрена кнопка останова (зеленый треугольник кнопки запуска расчетов меняется в ходе расчетов накнопку с двумя шпалами, приглашающую прервать расчет).6При изучении временной эволюции суперпозиции связанных состояний откройте два окна Ψ(x, t) и |Φn (k, t)|2 .
Запуск иформирование суперпозиции идет через первое окно. В случае широкой ямы полезно сравнивать знак среднего импульсас положением и направлением движения пакета в координатном представлении.Наблюдение эволюции в непрерывном спектре требует резко расширить интервал наблюдения по x, чтобы видеть, какпакет подходит к яме и рассеивается на ней.11,12 Можно повторять рассмотрение с самого начала, если в табличке задания«time parameters» вернуть текущее время «time» к начальнойнулевой точке.14Автоматическая деформация потенциалаАвтоматическая деформация потенциала производится послеопределения начального U1 и конечного U2 потенциалов наодинаковом числе интервалов: 0 ≤ i ≤ N (например, начальная яма глубокая, а конечная – мелкая). Любой такой потенциал можно назначить начальным (нажатием кнопки «U1» напанели инструментов программы), а другой – конечным (кнопкой «U2»). Промежуточные потенциалы Ui (z) на интервале i иширины отрезков di (z) являются линейными функциями параметра z (0 ≤ z ≤ 1): Ui = U1i (1 − z) + U2i z, di = d1i (1 − z) + d2i z.Например, по умолчанию U1 это широкая, а U2 – очень узкая яма.
В меню «Доп.возможности» предусмотрены варианты«En(z)» и «T(z)», открывающие окна, в которых строятся, соответственно, зависимость уровней энергии и коэффициентапрохождения от z. В этих окнах вертикальной пунктирной линией дается бегунок по z, позволяющий увидеть для интересных мест на графике En (z) соответствующий потенциал U(x),волновые функции, импульсное распределение, T (E), если открыты соответствующие окна.При некотором освоении вышеуказанных возможностей ипонимании свойств многоямных (барьерных) потенциалов можно избрать одно из двух направлений дальнейшего знакомствас программой – периодический потенциал или квазистационарные состояния.11При этом лучше увеличить шаг по x, чтобы сократить время расчета волновыхфункций.12Расчет импульсного распределения в непрерывном спектре отсутствует.715Периодический потенциал иквазиимпульсПункт «Periodic» из меню «Model» позволяет периодическираспространить заданный потенциал на отрезке (0, xN ) на всюдействительную ось, чтобы изучать состояния зонного спектра.Периодичность потенциала (U(x + a) = U(x)) влечет существование при любой E Ψ-функций, для которых выполняется условие квазипериодичности: ΨE (x + a) = eiα(E) ΨE (x).
Распространяющиеся решения (состояния разрешенных зон) отвечают неразличимости |Ψ(x + a)|2 и |Ψ(x)|2 , т.е. α имеет смысл углана комплексной плоскости между векторами Ψ(x + a) и Ψ(x)для любого x. Изменение угла на противоположный отвечаетволновой функции Ψ∗ (x) для той же E. Принято считать, что−π ≤ α ≤ π.Угол α «генетически» связан с импульсом, что видно изследующего примера. В пределе слабой модуляции потенциала(Umax − Umin → 0) движение становится свободным, разрешенная зона занимает весь непрерывный спектр и распространяющееся решение принимает известный вид Ψ = eikx .
Следовательно, ka = α + 2πN (целое N позволяет менять k от -∞ до+∞). В связи с этим величину q ≡ α/a в данном частном и вовсех остальных случаях называют квазиимпульсом.В рассмотренном пределе легко преобразовать известнуюзависимость E = k2 в закон дисперсии E = f(qa), т.е. <свернуть> всю параболу по ka в интервал −π ≤ qa ≤ π горизонтальным сдвигом кусков параболы из интервалов [−π+2πN,π+2πN] в область изменения qa. Функция E = f(qa) являетсямногозначной (любому квазиимпульсу отвечает бесконечноесчетное множество энергий). Частота с которой следуют ветви энергии зависит от величины периода a. В точках qa = π,qa = −π и qa = 0 (за исключением ka = 0) скорость частицыdE/dq при одной E имеет по два значения, но |dE/dq| одинаковы.В общем случае квазиимпульс находится по заданной E численно в результате сшивки Ψ-функции в точках разрыва потенциала на одном периоде U(x) и применения условия квазиперидичности Ψ(x) к граничным точкам периода.
В некоторыхполосах энергий (запрещенных зонах) квазиимпульс перестает быть действительной величиной и, напротив, ΨE (x + a) =λE ΨE (x), где λE действительная величина, точнее две величины: λ1 λ2 = 1. Поэтому решения неограниченно растут с ростомномера периода в соответствующем направлении. При отсутствие границы у периодического потенциала эти решения неимеют физического смысла.8Изучение общего случая в программе для простоты необходимо начинать с потенциала на отрезке (0, xN ) в виде одной ямы, например, заданной по умолчанию. Заметим, что привыборе пункта «Periodic» автоматически добавляет один отрезок нулевого потенциала справа к тому потенциалу, которыйзадавался при работе с другими пунктами меню «Model».
Вокне потенциала покажется столько ям и разделяющих барьеров, сколько разрешают масштабы по x, которые регулируютсяобычным для данной программы образом. На фоне потенциаласоответствующим цветом показаны края разрешенных зон.16Как вычисляются En–края зонУмножением Ψ(x) на некоторое число eiγ(E) делаем волновуюфункцию на левом краю периода действительнозначной и считаем число нулей N(E) на периоде для полученной ReΨ(x). Сростом E это число растет единичными ступенями. Чтобы неделать лишнего окна данная зависимость строится в том жеокне, что и T (E), которая для периодического потенциала неимеет смысла. Энергии, отвечающие появлению нового нуляна периоде лежат строго в центре каждой разрешенной зоны,т.е.
там, где qa = 1/2.13Идя от центра каждой зоны вверх и вниз по энергии, легконайти оба ее края, т.е. точки с qa = 0 и qa = 1. В программеэто сделано экономично, и края En находятся почти мгновенновслед за деформацией потенциала.17Распределения по x и k в периодическомпотенциалеЕсли открыть окно волновых функций «ψn (x)», то в нем будутпоказаны волновые функции краев подзон.
Полезно по видуReψ(x), 3D : Ψ(x) усмотреть, каким квазиимпульсам отвечаеткаждое состояние, обратить внимание на число и положениенулей, увидеть основной и дополнительный периоды осцилляций.Если открыть окно импульсного распределения, в нем автоматически отобразятся теми же цветами края зон. Состоянияздесь рисуются со сдвигом по вертикали, поскольку импульспринимает эквидистантные значения с универсальным шагомдля всех краев зон (почему?). Найдите в этом представлении13Вы можете в этом убедиться, если вместе с окном N(E) будете смотреть закондисперсии E(qa) и воспользуетесь бегунком энергии.9основной и дополнительный периоды осцилляций Reψ(x).
Посмотрите большой интервал по энергии и объясните попарнуюгруппировку импульсных распределений.По прежнему, можно бегунком энергии, который имеетсяв графическом окне потенциала (зеленый пунктир), управлятьэнергией, приближенно измерять E и видеть соответствующуюволновую функцию. Интересно пройтись внутри разрешенныхи запрещенных зон, чтобы увидеть разницу в типе координатных распределений и волновых функций.14 Полезно разглядетьна графике Reψ(x) квазиимпульс. Как (и почему именно так)отражается непрерывное изменение энергии на импульсномраспределении.15 Где на графике импульсного распределениявиден квазиимпульс? Как соотносятся квазиимпульс и наиболее вероятный импульс?Графическая модификация потенциала в этой модели производится также обычно, но управлять можно только потенциалом на исходном (0, xN ) и добавленном отрезках, и период(в программе обозначается буквой a) будет автоматически поддерживаться неизменным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
