Elektromagnetizm_2-1 (528144), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Поэтому полный поток через всю поверхностьФЕ  2E  S . Внутри цилиндра заключён зарядqВНУТР    S .ПотеоремеГаусса2E  S  S0E2 0 .Полученный результат справедлив только для бесконечной плоской поверхности,однако он приближённо справедлив и для области, прилегающей к средней части конечнойравномерно заряженной плоской поверхности, вдали от её краёв.2) Поле двух бесконечных параллельных плоскостей, заряженных равномерноразноимёнными зарядами с плотностями   и   .Это поле можно легко найти как суперпозицию полей,создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.Полесосредоточеномеждуоднородным в этой областиплоскостями–E0 .иявляется3) Поле бесконечного круглого цилиндра радиуса R (или бесконечной нити),заряженного равномерно по поверхности так, что на единицу длины приходится зарядdq.dlИз соображений симметрии следует, что поле здесь имеетE в каждой точкеEперпендикулярен оси цилиндра, а модуль векторазависитрадиальный характер, т.е.

вектортолько от расстояния r до оси цилиндра.Возьмём замкнутую Гауссову поверхность в формекоаксиального прямого цилиндра радиуса r и высотой h .ФЕ  Er  2  rh , а qВНУТР    h . hEr  2rh Er 02 0rТогдаПо теореме Гаусса8для r  R и Е = 0 при r < R т.к. внутри цилиндра зарядов нет. Внутри равномернозаряженного по поверхности круглого бесконечного цилиндра поля нет.4) Поле сферической поверхности радиусом R, заряженной равномерно зарядом q.Это поле центрально симметричное.

Возьмём в качестве замкнутой Гауссовойповерхности концентрическую сферу радиусом r > R. Тогда ФЕ  Er  4r .qq2Er По теореме Гаусса Er  4r .04 0 r 2При r < R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов и поэтому внутризаряженной сферы Е = 0.25) Поле равномерно заряженного шара.

Пусть зарядqравномернораспределён по шару радиусом R. Здесь поле также центрально симметричное. Внешара (r > R) поле такое же как от заряженной сферы или точечного зарядаq  E 2 .4r0Внутри шара для замкнутой поверхности в виде сферы радиусом r < R имеемФЕ  Er  4r2иПо теореме ГауссаqВНУТР q4 r 34 3 3.R3qrEr  4r   0  R 32Er qr4 0 R 3Внутри шара напряжённостьрасстоянием r от его центра.растётлинейносТеорема Гаусса в дифференциальной форме.Применив  1 E dS S 0 VматематическуютеоремуОстроградского-Гаусса dV , получаем: div E 0.кформуле9Физический смысл дивергенции (от латинского – расхождение) – истечение изданной точки (положительная дивергенция) или сток в данную точку (отрицательнаядивергенция).Лекция 3Проводники в электрическом полеРаспределение зарядов в проводнике.В металлических проводниках свободные носители электрического заряда(электроны проводимости) могут под действием электрического поля перемещаться повсему проводнику (электронный газ).Перераспределение зарядоввпроводникепод влияниемвнешнегоэлектростатического поля называется явлением электростатической индукции.Индуцированные (наведённые) заряды исчезают, как только проводник удаляется.Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле, котороевместе с исходным (внешним) полем образует результирующее электрическое поле,которое определяется как суперпозиция внешнего поля и поля индуцированныхзарядов.Е0Внутри проводникат.к.

перемещение зарядов под влиянием внешнегополя будет продолжаться до тех пор пока не установится определённое распределениезарядов, создающих индуцированное поле, которое полностью компенсирует внешнееполе.Е0Из теоремы Остроградского – Гаусса следует, что раз, то и плотностьизбыточных (не скомпенсированных) зарядов внутри проводника также всюду равнанулю ( ρ = 0 ).Избыточные заряды появляются лишь на поверхности проводника с поверхностнойплотностью  , различной в разных точках его поверхности.Е  0,Т.к.то потенциал во всех точках внутри проводника одинаков и егоповерхность эквипотенциальна, т.е.

непосредственно у поверхности проводника полеЕ0направлено по нормали к ней в каждой точке.Пример 1 Найдём потенциал незаряженного проводящего шара, на расстоянии rотцентра которого расположен точечный заряд q.Потенциал всех точек шара одинаков,поэтому будем искать его в точке О:o i1q  i , где4 0 r 0  потенциал в точке О от всехположительных и отрицательных зарядов наповерхности шара.10Таким образом, для потенциала шара получаем1q4 0 r .Пример 2 Поле для системы из двух проводящих шаров, один из которыхзаряжен. Вследствие электрической индукции на правом (незаряженном) шарепроизошло разделение зарядов противоположного знака.Электрическое поле у поверхности проводникаВ качестве замкнутой поверхности выбираемS ,небольшой цилиндр с площадью основанийрасположенный так, чтобы его ось была направлена понормали к поверхности проводника.ЕПотоки векторачерез боковую поверхность ивнутренний торец равны нулю.

По теореме Гаусса имеемEn  S   S0En  локальная поверхностная плотность заряда на проводнике;Еп  проекция вектора Е на внешнюю нормаль п . 0 , гдеСилы, действующие на поверхность проводникаПусть заряженный участок поверхности проводникаграничит с вакуумом. На малый элемент S с зарядомq    S действует сила F    S  E0 , гдеE0 напряжённость поля, создаваемого всемиостальными зарядами системы в месте нахождения зарядаq . ПричёмE0 не равно напряжённостиE полявблизи данного элемента поверхности проводника.ЕслиE  напряжённость поля, создаваемогозарядом q11S , так, что можно принятьEеё за бесконечную равномерно заряженную плоскость,то2 0 .в точках очень близких к площадкеРезультирующие поле определяем по принципу суперпозиции:  Е  Е0  E .Внутри проводникаЕ 0Е  Е0  EЕЕ0  .2ипроводника Е  Е0  E  2 Е0 1F    S  E .2Следовательно Е0  Е .Тогда внеСила, действующая на единицу поверхности проводника (поверхностнаяплотность сил или электрическое давление)Учитывая, чтоEn  0 илиF 1  E .S 2  E  n получаем02F    0 E 2 nn.S 2 02E , силы электрическогоНезависимо от знака, а значит и направлениядавления всегда направлены наружу проводника, стремясь его растянуть.Пример 1 Определить поверхностную плотность сил, растягивающих сферурадиусом R и с зарядом q.F  0 E 2q2S232 2 R 4 0 .1qE4 0 R 2 , тогдаПример 2 Найти выражение для электрической силы, действующей в вакууме напроводник в целом, полагая, что известна напряжённость Eполя во всех точках уповерхности проводника. 0 2  1dF    E dS  E dS ,22где dS  n  dS .Результирующая сила, действующая на весь проводник, определяется интегрированиемэтого выражения по всей поверхности проводникаF0E dS .22S12Свойства замкнутой проводящей оболочкиВ состоянии равновесия избыточных зарядов внутри проводника нет.

Если внутрипроводника сделать полость, то это никак не отразится на равновесном расположениизарядов.Внешние заряды, в частности заряды на наружной поверхности проводника, несоздают в полости внутри проводника никакого электрического поля.На этом основана электростатическая защита – экранирование приборов отвлияния внешних электростатических полей. На практике сплошной проводникоболочка заменяют достаточно густой металлической сеткой.Если в полости находится заряженное тело, а всё внешнее пространствозаполнено проводящей средой, то поле в этой среде при равновесии всегда равно нулю.По теореме Гаусса это означает, что алгебраическая сумма зарядов внутри этойзамкнутой поверхности также будет равна нулю.

Значит индуцированный заряд навнутренней поверхности полости равен по модулю и противоположен по знаку зарядувнутри этой полости.Если удалить всю проводящую среду вокруг полости кроме тонкой заземлённойоболочки с индуцированным зарядом, то поле нигде не изменится и вне оболочки оноостанется равным нулю (внешний экран).Вывод – замкнутая заземлённая проводящая оболочка разделяет всё пространствона внутреннюю и внешнюю части, в электрическом отношении совершенно независящие друг от друга.Общая задача электростатики. Уравнение ПуассонаНаиболее часто встречаются задачи, в которых распределение заряда неизвестно,но заданы потенциалы проводников, их форма и положение в пространстве. Итребуется определить потенциал  в любой точке поля, а зная распределение Eможно легко восстановитьи по его значению непосредственно у поверхностипроводников найти распределение поверхностных зарядов на них.  Подставив в выражение теоремы Гаусса в дифференциальной форме   E 0E   , получаем общееEвместоего выражение через , т.е.дифференциальное уравнение для потенциала – уравнение Пуассона: 2  0, 2   оператор Лапласа ((лапласиан).где222В декартовых координатах  x 2 y 2 z 2 .2  0  ,Если между проводниками нет зарядовпереходит в более простое уравнение – уравнение Лапласа2  0 .то уравнение Пуассона13Определение потенциала сводится к нахождению такой функции  , котораяво всём пространстве между проводниками удовлетворяет уравнениям Пуассона илиЛапласа, а на поверхностях проводников принимает заданные значеният.д.1, 2 , 3 иЭлектроёмкостьЭлектроёмкость уединённого проводникаОпыт показывает, что между зарядом уединённого проводника и его потенциаломсуществует прямая пропорциональность:  ~ q .Коэффициент пропорциональностиCqназывают электроёмкостьюуединённого проводника.

Характеристики

Список файлов лекций