Реализация алгоритма построения коммутирующих дифференциальных операторов по геометрическим данным (526733), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïðîâåðèì ãðóïïîâûå ñâîéñòâà. Òàê êàê Ga ⊆ E îñòàÎïðåäåëåíèå 5.åòñÿ ïðîâåðèòü òîëüêî çàìêíóòîñòüS1 ∂S1−1 ∈ E0(S1 S2 )∂(S1 S2 )−1(S1 ∂S1−1 )n = S1 ∂ n S1−1 ∈ E0nnXX−1 −1i−1= S1 S2 ∂S2 S1 = S1 (ci ∂ )S1 =ci (S1 ∂ i S1−1 ) ∈ E0i=−∞i=−∞÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü3Ïàðû ØóðàÏóñòü V - ïðîñòðàíñòâî Ëîðàíîâñêèõ ðÿäîâ íàä ïðîèçâîëüíûì ïîëåì K.Äàëåå, åñëè íå îãîâîðåíî èíîå, áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî K = Q∞XV :{ai z i }, n ∈ Z, ai ∈ Ki=nÏóñòü E - êîëüöî ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñ êîýôôèöèåíòàìè èç êîëüöà òåéëîðîâñêèõ ðÿäîâ.E:{nXiai (∂x ) }, n ∈ Z, ai =i=−∞∞Xj=07aij xjÎïðåäåëåíèå 6(îòîáðàæåíèå Ñàòî).ρ : E −→ VnXe ∈ E, e =ei (∂x )i ,i=−∞ρ(e) =nX(eimod x)z−i=i=−∞∞X(e−imod x)z ii=−nÎïðåäåëèì òàêæå îòîáðàæåíèå ρ0Îïðåäåëåíèå 7.ρ0 : V −→ E∞Xv ∈ V, v =vi z ii=n0ρ (v) =−nXv−i (∂x )ii=−∞Îòîáðàæåíèÿ ρ è ρ0 çàäàþò áèåêöèþ ìåæäó ýëåìåíòàìè èç V è E 0 .Äàëåå â òåêñòå, óìíîæàÿ ýëåìåíòû èç V è E , ìû áóäåì îïóñêàòü ρ() èρ0 (), ïîäðàçóìåâàÿ ÷òî óìíîæåíèå ýëåìåíòîâ ïðîèñõîäèò â E .
Çàìåòèìòàêæå, ÷òî ρ(ρ0 (a) · ρ0 (b)) = a · bÏóñòü W - ïîäïðîñòðàíñòâî â V . Íàçîâåì íîñèòåëåìïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäåííîå ñòàðøèìè ìîíîìàìè âñåõ ýëåìåíòîâÎïðåäåëåíèå 8.WW.supp W =< aN z N , a =∞Xai z i ∈ W >i=NÍàçîâåì ïðîñòðàíñòâî W1 âïîëíå ñîèçìåðèìûì ñ W2,åñëè supp W1 = supp W2Îïðåäåëåíèå 9.Ïóñòü W0 - ïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäåííîå ìîíîìàìè z i , i ≤ 0W0 = K[z −1 ]Íàçîâåì áàçèñ ïðîñòðàíñòâà âïîëíå ñîèçìåðèìîãî ñW0 äîïóñòèìûì, åñëè îí èìååò âèäÎïðåäåëåíèå 10.wk = z −k +∞Xai z i , i ∈ N ∪ {0}i=18(Ñàòî, [18, Th.7.4]) Äëÿ ëþáîãî ïðîñòðàíñòâà W , âïîëíåñîèçìåðèìîãî ñ W0, ñóùåòñâóåò åäèíñòâåííûé îïåðàòîð S ∈ E , íàçûâàåìûé ñîïðÿãàþùèì, ÷òî W = W0 · S([18, Lemma 7.2]) Ïóñòü P ∈ E .
Åñëè W0 · P ⊆ W0, òîÒåîðåìà 3.Òåîðåìà 4.P ∈DÑòàáèëèçàòîðîì ïðîñòðàíñòâà W ⊆ V íàçûâàåòñÿïðîñòðàíñòâî A ⊆ V , äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèåÎïðåäåëåíèå 11.∀a ∈ A, ∀w ∈ W, a · w ∈ WÑòàáèëèçàòîð ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì.Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî.(Ïàðû Øóðà) Ïàðó ïðîñòðàíñòâî-ñòàáèëèçàòîð(A, W ) íàçûâàþò ïàðîé Øóðà.Ëåììà 1.Îïðåäåëåíèå12.A·W ⊆WÏóñòü W - ïðîñòðàíñòâî, âïîëíå ñîèçìåðèìîå ñ W0, A ñòàáèëèçàòîð W , S - ñîïðÿãàþùèé îïåðàòîð. Òîãäà SAS −1 ⊆ D, ãäå D- êîëüöî äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. W = W0 · S ïî òåîðåìå ÑàòîÒåîðåìà 5.W · A ⊆ W =⇒ W0 · SA ⊆ W0 · S =⇒ W0 · SAS −1 ⊆ W0Ïî òåîðåìå 4, SAS −1 - äèôôåðåíöèàëüíûé.Ïîðÿäêîì ýëåìåíòà ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿñòåïåíü åãî ñòðàøåãî ìîíîìà. a = P∞i=N aizi, ord a = NÐàíãîì ïàðû (A, W ) íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèé îáùèéäåëèòåëü ïîðÿäêîâ ýëåìåíòîâ ñòàáèëèçàòîðà.Îïðåäåëåíèå 13.Îïðåäåëåíèå 14.rk(A, W ) = gcd(ord a, a ∈ A)Ðàíãîì ïðîñòðàíñòâà W íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèéîáùèé äåëèòåëü ïîðÿäêîâ ýëåìåíòîâ åãî ìàêñèìàëüíîãî ñòàáèëèçàòîðà.Îïðåäåëåíèå 15.rk W = gcd(ord a, a ∈ A)Ãðóïïà äîïóñòèìûõ îïåðàòîðîâ Ga äåéñòâóåò íà ïàðû Øóðà ñëåäóùèì îáðàçîìT (A, W ) = (T AT −1 , T W ), T ∈ Ga9Ïàðû Øóðà (A, W ) è (A0, W 0) íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò äîïóñòèìûé îïåðàòîð T ∈ Ga òàêîé, ÷òîÎïðåäåëåíèå 16.T (A, W ) = (A0 , W 0 )([18, Th.5.6, Cor.5.7]) Ñóùåñòâóåò âçàèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñâèå ìåæäó êëàññàìè ýêâèâàëåíòíîñòè êîììóòàòèâíûõ ýëëèïòè÷åñêèõ àëãåáð ðàíãà r è êëàññàìè èçîìîðôíûõ ïàð Øóðà ðàíãà rÄîêàçàòåëüñòâî.
Ýòî ñîîòâåòñâèå ìîæíî ïîñòðîèòü êîíñòðóêòèâíîÒåîðåìà 6.B −→ (A, W ), A = S −1 BS, W = ρ(S −1 D) = S −1 W0ãäå S - îïåðàòîð èç òåîðåìû Øóðà. îáðàòíóþ ñòîðîíó:(A, W ) −→ B = SAS −1 , W = S −1 W0ãäå S îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òåîðåìîé Ñàòî4Ãåîìåòðè÷åñêèå äàííûåÎïðåäåëåíèå 17.Ãåîìåòðè÷åñêèå äàííûå ðàíãà r ýòî íàáîð(C, P, F, ρ, φ),ãäå ïðîåêòèâíàÿ êðèâàÿ íàä ïîëåì k õàðàêòåðèñòèêè íîëü.• P ∈ C íåîñîáàÿ òî÷êà.• ρ : ÔC → k[[z]] èçîìîðôèçì ëîêàëüíûõ k -àëãåáð.• F êîãåðåíòíûé ïó÷îê áåç êðó÷åíèÿ ðàíãà r.• φ : F → ÔC⊕r èçîìîðôèçì ïó÷êîâ ÔC -ìîäóëåé.• CÍåòðóäíî ââåñòè ïîíÿòèå èçìîðôèçìà ãåîìåòðè÷åñêèõ äàííûõ (ñì.[19]). Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:([18, Th.3.7]) Ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó êëàññàìè èçîìîðôíûõ ïàð Øóðà ðàíãà r è êëàññàìè èçîìîðôíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ äàííûõ ðàíãà r.Òåîðåìà 7.10Ýòî ñîîòâåòñòâèå ìîæíî çàäàòü êîíñòðóêòèâíî (ñì.
[19] èëè [2]). Èçðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [2] ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïó÷êà áåç êðó÷åíèÿ íàðàöèîíàëüíîé êðèâîé íàä ïîëåì Q ñóùåñòâóåò òðèâèàëèçàöèÿ φ, òàêàÿ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïàðà Øóðà áóäåò îïðåäåëåíà òîæå íàä ïîëåì Q.Áîëåå òîãî, ðàíã ïðîñòðàíñòâà â ýòîì ñëó÷àå áóäåò ðàâåí 1. Ýòî ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ ñðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè (ñì. íèæå ðàçäåë 6). Îòìåòèì, ÷òî âñåòðèâèàëèçàöèè φ îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà àâòîìîðôèçì ïðîñòðàíñòâà k[[z]]⊕r , çàäàâàåìûé ìàòðèöåé èç ãðóïïû GL(r, k[[z]]). ðàáîòå [2] òàêæå áûëè îïèñàíû âñå ïó÷êè áåç êðó÷åíèÿ ðàíãà 2 íàðàöèîíàëüíûõ êðèâûõ ðîäà 1 (ò.å.
íà êðèâûõ, çàäàâàåìûõ óðàâíåíèåìzy 2 − 4x3 − g2 xz 2 − g3 z 3 = 0 â P2 , ãäå äèñêðèìèíàíò g23 + 27g32 = 0), èíàéäåíû ïàðû Øóðà äëÿ íåêîòîðûõ òðèâèàëèçàöèé, óïîìÿíóòûå âûøå.Ýòè ïðèìåðû ïîñëóæèëè â êà÷åñòâå òåñòîâûõ ïðèìåðîâ äëÿ ïðîâåðêèðàáîòû ïðîãðàìì.5Âîññòàíîâëåíèåäðîáíî-ðàöèîíàëüíîéôóíêöèè ïî åå ðÿäó ÒåéëîðàÏîñòàíîâêà çàäà÷èÇäåñü è äàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ ðÿäû Òåéëîðà íàä ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Ïóñòü èìååòñÿ àëãîðèòì ïîçâîëÿþùèé âû÷èñëèòüñêîëü óãîäíî ìíîãî ÷ëåíîâ ðÿäà Òåéëîðà íåêîé ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèèP (x)/Q(x), deg P, deg Q < c, c = const.
Òðåáóåòñÿ íàéòè êîýôôèöèåíòûìíîãî÷ëåíîâ P (x), Q(x)Íàçîâåì ðÿä w îáðàòíûì r, åñëè w · r = 1Äëÿ ëþáîãî ðÿäà r, r0 6= 0 ñóùåñòâóåò îáðàòíûé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì òðåáóåìûé ðÿäÎïðåäåëåíèå 18.Ëåììà 2.w0 = 1/r0wi = −1/r0i−1Xwj · ri−jj=0Äîêàæåì ÷òî r · w = 1 ïóñòü r · w = u òîãäà u0 = w0 · r0 = 1ui =ii−1XX(wj · ri−j ) =(wj · ri−j ) + wi · r0 = 0j=0j=011Äàííàÿ êîíñòðóêöèÿ äàåò íàì àëãîðèòì äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáðàòíîãî ðÿäàñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ.Ïóñòü èìååòñÿ ôóíêöèÿ F , ðàçëîæèìàÿ â ðÿä Òåéëîðà â òî÷êå x = 0.Áóäåì ãîâîðèòü ÷òî ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü R = P/Q, q0 6= 0 ïðèáëèæàåòçàäàííóþ ôóíêöèþ ñ òî÷íîñòüþ n, åñëè ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè F − Ríà÷èíàåòñÿ ñ ÷ëåíà ñòåïåíè áîëüøå nÏóñòü èìååòñÿ äâå ðàöèîíàëüíûå äðîáè R = P/Q è R0 =P /Q òàêèå, ÷òî deg P, deg Q, deg P 0 , deg Q0 ≤ n è îíè ïðèáëèæàþò Fñ òî÷íîñòüþ 2n.
Òîãäà R = R0Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü R 6= R0Òåîðåìà 8.00R − R0 =P · Q0 − P 0 · Q6= 0Q · Q0P · Q0 − P 0 · Q 6= 0deg(P · Q0 − P 0 · Q) ≤ 2nÒîãäà ÷èñëèòåëü äåëèòñÿ íà x â ñòåïåíè íå áîëåå ÷åì 2n. Òîãäà â ðàçëîæåíèå R − R0 â ðÿä Òåéëîðà íà÷èíàåòñÿ ñ ÷ëåíà ñòåïåíè íå áîëåå ÷åì 2n.Íî, ïî-ñêîëüêó ðÿäû ôóíêöèé R , R0 è F ñîâïàäàþò ïî êðàéíåé ìåðå âïåðâûõ 2n ÷ëåíàõ, ðÿä, ïðåäñòàâëÿþùèé R − R0 , äîëæåí äåëèòñÿ íà x âñòåïåíè íå ìåíåå ÷åì 2n + 1.
Ïðîòèâîðå÷èåËåììà 3Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè êîýôôèöèåíòû ðàöèäîñòàòî÷íî âçÿòü 2n ÷ëåíîâ åå(Ñëåäñòâèå).P/Q, deg P, deg Q ≤ nîíàëüíîé äðîáèðÿäà Òåéëîðà.Ïóñòü èìååòñÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ R = P (x)/Q(x), q0 6= 0, deg P ≤n, deg Q ≤ m è åå ðÿä Òåéëîðà ri .Åñëè m > n è r0 6= 0, âû÷èñëèì îáðàòíûé ðÿä r−1 è ñâåäåì çàäà÷ó êâîññòàíîâëåíèþ äðîáè R = Q(x)/P (x). Èñõîäíàÿ äðîáü âû÷èñëÿåòñÿ êàê1/RÅñëè m ≤ n èëè r0 = 0,R = (R − r0 )/x, deg P ≤ n − 1, deg Q ≤ mÇàäà÷à ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ äðîáè R. R = R · x + r0 .126Îïèñàíèå àëãîðèòìàÀëãîðèòì ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé.  ïåðâîé ÷àñòè, îïèñàííîé â [2], ïîçàäàííûì ãåîìåòðè÷åñêèì äàííûì (C, P, F, ρ, φ) ðàíãà r íàä ïîëåì Q,ãäå C ðàöèîíàëüíàÿ êðèâàÿ, ñòðîèòñÿ ïàðà Øóðà (A, W ). Ïðîñòðàíñòâî A ýòî ïîäêîëüöî êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé, èîíî ìîæåò áûòü çàäàíî êàê ïîäàëãåáðà êîíå÷íûì ÷èñëîì îáðàçóþùèõ.Ïðîñòðàíñòâî W áåñêîíå÷íîìåðíî, ïîýòîìó ïåðâàÿ ÷àñòü àëãîðèòìà íàâûõîäå âûäàåò ëþáîå íàïåðåä çàäàííîå ÷èñëî îáðàçóþùèõ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà (òî÷íåå, ïåðâûå ýëåìåíòû äîïóñòèìîãî áàçèñà).
Ïðè ýòîì êîëè÷åñòâî îïåðàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïðîäóöèðîâàíèÿ n ýëåìåíòîâ áàçèñà, ëèíåéíî ïî n. Åùå èçâåñòíî, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ òðèâèàëèçàöèé âñåêîýôôèöèåíòû ñîïðÿãàþùåãî îïåðàòîðà S , à òàêæå âñå êîýôôèöèåíòûêîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè.Âòîðàÿ ÷àñòü àëãîðèòìà ïîñòðîåíèå êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâïî ïàðå Øóðà. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùåå ñîîáðàæåíèå:åñëè èçâåñòíî äîñòàòî÷íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî êîýôôèöèåíòîâ îïåðàòîðàS (ðàâíîå ñòåïåíè îïåðàòîðà, êîòîðûé ìû èùåì, èëè, ÷òî àíàëîãè÷íî,ïîðÿäêó ýëåìåíòà â êîëüöå A), òî èñêîìûé îïåðàòîð ìîæíî íàéòè ïîôîðìóëå(SaS −1 )+(2)ãäå a ∈ A ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò, èëè ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿP ψ = aψ,ãäå P èñêîìûé îïåðàòîð, à ψ = S(exp(xz −1 )) ôóíêöèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ ïðèìåíåíèåì îïåðàòîðà S ê ýêñïîíåíòå (exp(xz −1 )).Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òîáû íàéòè äîñòàòî÷íîå êîëè÷åñòâî êîýôôèöèåíòîâ îïåðàòîðà S . Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåòñÿ òåîðåìàÑàòî.
Åå äîêàçàòåëüñòâî êîíñòðóêòèâíî, è ïîòîìó ìîæåò áûòü çàïðîãðàììèðîâàíî. Ïðè ýòîì íà âõîäå àëãîðèòìà çàäàåòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ïåðâûõ áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà W , à íà âûõîäå âûâîäÿòñÿ êîýôôèöèåíòû ðÿäîâ Òåéëîðà ïåðâûõ êîýôôèöèåíòîâ îïåðàòîðàS . Êîëè÷åñòâî âûâîäèìûõ êîýôôèöèåíòîâ çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ íà âõîäå. Ñëîæíîñòü ýòîãî àëãîðèòìà îïÿòü ëèíåéíàÿ.Åñëè èçâåñòíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû îïåðàòîðà S ðàöèîíàëüíûåôóíêöèè, òî ìîæíî èñïîëüçîâàòü àëãîðèòì âîññòàíîâëåíèÿ ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè ïî åå ðÿäó Òåéëîðà.Àëãîðèòì îñòàíàâëèâàåòñÿ òîãäà, êîãäà ïîëó÷åííûå ïî ôîðìóëå (2)îïåðàòîðû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè êîììóòèðóþò. Âàæíî, ÷òîïðîâåðêà êîììóòèðîâàíèÿ äâóõ îïåðàòîðîâ òî÷íîå (íå çàâèñÿùåå îò13òî÷íîñòè êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé) âû÷èñëåíèå, òàê êàê ïîëå îïðåäåëåíèÿ Q.7Îïèñàíèå ïàêåòà ïðîãðàììÄëÿ ðàáîòû ñ ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûìè îïåðàòîðàìè â ýòîé ðàáîòåíàïèñàíà áèáëèîòåêà Ñ++, ðåàëèçóþùàÿ íåêîòîðûå îñíîâíûå îïåðàöèè.• óìíîæåíèå• ñëîæåíèå• âû÷èñëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ ýëëèïòè÷åñêîãî îïåðàòîðà (ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ln = P )• âû÷èñëåíèå îáðàòíîãî îïåðàòîðà (äëÿ îïåðàòîðîâ ñî ñòàðøèì ìîíîìîì ∂ n )• âû÷èñëåíèå ñîïðÿãàþùåãî îïåðàòîðà äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ (ðåøåíèå óðàâíåíèÿ S · ∂ n · S −1 = P )• âîññòàíîâëåíèå îïåðàòîðà ïî ïðîñòðàíñòâó (òåîðåìà Ñàòî)• âîññòàíîâëåíèå äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè ïî ðÿä ÒåéëîðàÒåîðåìà Ñàòî ïîçâîëÿåò âîññòàíîâèòü îïåðàòîð ñ êîýôôèöèåíòàìèâ âèäå ðÿäîâ (ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
