Реализация алгоритма построения коммутирующих дифференциальных операторов по геометрическим данным (526733)
Текст из файла
ÌÃÓ èìåíè Ì.Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè èïðèëîæåíèéÄèïëîìíàÿ ðàáîòà:Ðåàëèçàöèÿ àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ êîììóòèðóþùèõäèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ ïî ãåîìåòðè÷åñêèìäàííûì.Ñòóäåíò 5 êóðñà êàôåäðûäèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèéÏîãîðåëîâ Äìèòðèé Àëåêñàíäðîâè÷Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:Æåãëîâ Àëåêñàíäð Áîðèñîâè÷Ìîñêâà, 2014 ã.11ÂâåäåíèåÖåëü ýòîé ðàáîòû ðàçðàáîòêà è ïðîãðàììíàÿ ðåàëèçàöèÿ àëãîðèòìàïîñòðîåíèÿ êîììóòèðóþùèõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ ïî íåêîòîðûì ãåîìåòðè÷åñêèì (ñïåêòðàëüíûì) äàííûì.Ïîñòðîåíèå ÿâíûõ ïðèìåðîâ êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ ñëîæíàÿ çàäà÷à.
Åå âàæíîñòü îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî êîýôôèöèåíòû òàêèõîïåðàòîðîâ äàþò ÿâíûå ðåøåíèÿ èçâåñòíûõ íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, òàêèõ êàê óðàâíåíèå Êàäîìöåâà-Ïåòâèàøâèëè (ÊÏ),Êîðòåâåãà-äå-Ôðèçà (ÊäÂ), sin-Gordon, è ò. ä. (ñì. íàïðèìåð [9], [4], [12]).Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ïðèìåðû êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ ñðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè: èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ òàêèõ îïåðàòîðîâ ìîæåò ïîìî÷ü â ðåøåíèè èçâåñòíîé ïðîáëåìû Äèêñìüå. Íàïîìíèì,÷òî ãèïîòåçà Äèêñìüå óòâåðæäàåò, ÷òî âñÿêèé ýíäîìîðôèçì àëãåáðûÂåéëÿ D1 = C[x][∂x ] ÿâëÿåòñÿ àâòîìîðôèçìîì. Êàê èçâåñòíî (ñì.
[1]), ãèïîòåçà Äèêñìüå äëÿ àëãåáð Dn ýêâèâàëåíòíà äðóãîé íå ìåíåå èçâåñòíîéãèïîòåçå î ÿêîáèàíå, óòâåðæäàþùåé, ÷òî ïîëèíîìèàëüíîå îòîáðàæåíèåèç Cn â Cn , ÿêîáèàí êîòîðîãî íåíóëåâàÿ êîíñòàíòà, îáðàòèìî.Íàïîìíèì, ÷òî êîììóòàòèâíûå àëãåáðû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñîîòâåòñòâóþò òàê íàçûâàåìûì ñïåêòðàëüíûì äàííûì. Òàê, åñëè èìååòñÿ êîëüöî êîììóòèðóþùèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ, ïîðîæäåííîå íàä ïîëåì k õàðàêòåðèñòèêè 0 äâóìÿ îáûêíîâåííûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè îïåðàòîðàìèP1 = ∂xn + un−1 (x)∂xn−1 + .
. . + u0 (x),P2 = ∂xm + vm−1 (x)∂xm−1 + . . . + v0 (x),òî, êàê ýòî áûëî çàìå÷åíî åùå Áåð÷íàëëîì è ×àóíäè â [3], ñóùåñòâóåòíåíóëåâîé ïîëèíîì Q(λ, µ), òàêîé ÷òî Q(P1 , P2 ) = 0. Ïîïîëíåíèå C êðèâîé Q(λ, µ) = 0 íàçûâàåòñÿ.  îáùåé òî÷êå (λ, µ)ïðîñòðàíñòâî ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ψ (ôóíêöèè Áåéêåðà-Àõèåçåðà):ñïåêòðàëüíîé êðèâîéP1 ψ = λψ,P2 ψ = µψèìååò ðàçìåðíîñòü r, è ýòè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ñå÷åíèÿìè ïó÷êà áåç êðó÷åíèÿ F ðàíãà r íà ñïåêòðàëüíîé êðèâîé (äëÿ áîëåå òî÷íûõ óòâåðæäåíèé è äàëüíåéøèõ äåòàëåé ñì.
ðàáîòû ïðîöèòèðîâàííûå âûøå). Ïîïîëíåíèå êðèâîé Q(λ, µ) = 0, ïîëó÷åííîå äîáàâëåíèåì íåîñîáîé òî÷êè P (íåîáÿçàòåëüíî ïðîåêòèâíîå çàìûêàíèå â P2 !), è òðîéêà (C, P, F) ÿâëÿþòñÿ÷àñòüþ òàê íàçûâàåìûõ.Êðè÷åâåð ([9], [10]) äàë ãåîìåòðè÷åñêóþ êëàññèôèêàöèþ àëãåáð "îáùåãî ïîëîæåíèÿ"ðàíãà r â òåðìèíàõ ñïåêòðàëüíûõ äàííûõ (êîãäàñïåêòðàëüíûõ äàííûõ2ñïåêòðàëüíàÿ êðèâàÿ ãëàäêàÿ).
Äðèíôåëüä [8] ïðåäëîæèë àëãåáðîãåîìåòðè÷åñêóþ ïåðåôîðìóëèðîâêó ðåçóëüòàòîâ Êðè÷åâåðà, êîòîðàÿ áûëà âïîñëåäñòâèè óñîâåðøåíñòâîâàíà Ìàìôîðäîì [21] è Ìóëàñå [19]. íàñòîÿùåå âðåìÿ èçâåñòíî äîâîëüíî ìíîãî ïðèìåðîâ êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ.  ñëó÷àå äàííûõ ðàíãà îäèí ÿâíûå ôîðìóëû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ (ôóíêöèè Áåéêåðà-àõèåçåðà)áûëè íàéäåíû Êðè÷åâåðîì. Äëÿ äàííûõ ðàíãà îäèí, â êîòîðûõ ñïåêòðàëüíàÿ êðèâàÿ ðàöèîíàëüíà, ÿâíûå ôîðìóëû áûëè òàêæå äàíû Âèëñîíîì ([23]).  ñëó÷àå äàííûõ ðàíãà áîëüøå 1 çàäà÷à ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåòñÿ, è óíèâåðñàëüíûõ ôîðìóë äëÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé èëè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ ïîêà íå ñóùåñòâóåò.
Òåì íåìåíåå, ñóùåñòâóåò ðÿä ïðèìåðîâ. Òàê, îïåðàòîðû ðàíãà äâà, ñîîòâåòñòâóþùèå ýëëèïòè÷åñêèì ñïåêòðàëüíûì êðèâûì, áûëè íàéäåíû Êðè÷åâåðîìè Íîâèêîâûì â [11].  ðàáîòå [6] ïðèâîäÿòñÿ ÿâíûå ôîðìóëû îáùåãî âèäàäëÿ êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ ïîðÿäêà 4 è 6. Òàêèå îïåðàòîðû òîæåñîîòâåòñòâóþò ãåîìåòðè÷åñêèì äàííûì ðàíãà 2 (ñì. ïîäðîáíûå îïðåäåëåíèÿ â ïàðàãðàôàõ 2, 4).
Äèêñìüå â [7] ïîñòðîèë ïðèìåð êîììóòèðóþùèõîïåðàòîðîâ ñ ïîëèíîìèàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëëèïòè÷åñêèì ñïåêòðàëüíûì êðèâûì.  ñâÿçè ñ ýòèì ðåçóëüòàòîì è ðåçóëüòàòàìè Êðè÷åâåðà è Íîâèêîâà èíòåðåñíî îòìåòèòü òåîðåìó Ãðèíåâè÷à ([5]), êîòîðàÿ äàåò êðèòåðèé ðàöèîíàëüíîñòè êîýôôèöèåíòîâ êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëëèïòè÷åñêèì ñïåêòðàëüíûì êðèâûì. Îïåðàòîðû ðàíãà 3, ñîîòâåòñòâóþùèå ýëèèïòè÷åñêèì ñïåêòðàëüíûì êðèâûì, áûëè íàéäåíû Ìîõîâûì ([17]).  ðàáîòàõ [13], [14],[15], [16] áûëè íàéäåíû ïðèìåðû îïåðàòîðîâ ðàíãà r > 1, ñîîòâåòñòâóþùèå ñïåêòðàëüíûì êðèâûì ðîäà g > 1, ïðè÷åì â ðàáîòå [13] áûëè íàéäåíû ïðèìåðû îïåðàòîðîâ ðàíãà 2 ñ ïîëèíîìèàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè,ñîîòâåòñòâóþùèå ãèïåðýëëèïòè÷åñêèì êðèâûì.
Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâîäðóãèõ ðàáîò íà ýòó òåìó, ññûëêè íà êîòîðûå ìû çäåñü íå ïðèâîäèìââèäó áîëüøîãî îáúåìà.Ìåæäó òåì, âñå âûøåïåðå÷èñëåííûå ïðèìåðû áûëè íàéäåíû ïðàêòè÷åñêè áåç èñïîëüçîâàíèÿ çíàíèÿ î ñïåêòðàëüíûõ äàííûõ èç òåîðåìûêëàññèôèêàöèè Êðè÷åâåðà. Òàê, ñïåêòðàëüíûå äàííûå äëÿ îïåðàòîðîâÊðè÷åâåðà-Íîâèêîâà áûëè íàéäåíû äëÿ ñëó÷àÿ ãëàäêèõ êðèâûõ ïîçäíååâ ðàáîòå [22], à äëÿ îñîáûõ êðèâûõ - ëèøü â ðàáîòå [2]. ýòîé ðàáîòå äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèìåðîâ êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâìû ñòàðòóåì ñî ñïåêòðàëüíûõ äàííûõ è äàëåå èñïîëüçóåì êîíñòðóêòèâíóþ òåîðèþ Ñàòî (ñì.
îáçîð â [4] èëè [18]), à òàêæå íåêîòîðûå íîâûåñîîáðàæåíèÿ è ðåçóëüòàòû èç ðàáîòû [2].  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷àåì òåîðåòè÷åñêèé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ïðèìåðîâ êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâëþáîãî ðàíãà ïî çàäàííûì íà÷àëüíûì ñïåêòðàëüíûì äàííûì â ñëó÷àå,3êîãäà ñïåêòðàëüíàÿ êðèâàÿ ðàöèîíàëüíà. Àëãîðèòì ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: ñíà÷àëà ïî ñïåêòðàëüíûì äàííûì ñòðîèòñÿ òî÷êà â ãðàññìàíèàíåÑàòî (èëè ïàðà Øóðà, ñì.
ïàðàãðàô 3). Çàòåì ïî íåé ñòðîÿòñÿ êîììóòèðóþùèå îïåðàòîðû. Ìû ïðèâîäèì â ýòîé ðàáîòå ïðîãðàììíóþ ðåàëèçàöèþ âòîðîé ÷àñòè àëãîðèòìà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïàðà Øóðà îïðåäåëÿåò îïåðàòîðû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè (òàêèå ïàðû Øóðàèùóòñÿ ñ ïîìîùüþ àíàëîãà êðèòåðèÿ Ãðèíåâè÷à). À èìåííî, ðåàëèçîâàíïàêåò ïðîãðàìì, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðèè Ñàòî: íàõîæäåíèå îïåðàòîðà Ñàòî ïî ïàðå Øóðà, ðàáîòà ñ ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûìè îïåðàòîðàìè è ñ äèôôåðåíöèàëüíûìè îïåðàòîðàìè, êîýôôèöèåíòûêîòîðûõ ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè, ïðîãðàììà âîññòàíîâëåíèÿ ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè ïî åå ðÿäó Òåéëîðà. Ïåðâàÿ ÷àñòü àëãîðèòìà (òåîðåòè÷åñêàÿ) îïèñàíà â [2], ïðîãðàììíîé ðåàëèçàöèè åå ïîêà íåò.
 áóäóùåìïàêåò ïðîãðàìì ìîæíî óñîâåðøåíñòâîâàòü äëÿ ïîèñêà ïðèìåðîâ äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ êðèâûõ, è äàæå, âîçìîæíî, íå ðàöèîíàëüíûõ.Ñòðóêòóðà ðàáîòû òàêîâà.  ïàðàãðàôàõ 1-4 ìû íàïîìèíàåì íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè Ñàòî. ïàðàãðàôå 5 ïðåäëàãàåòñÿ èäåÿ ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà âîññòàíîâëåíèÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè ïî åå ðÿäó Òåéëîðà. ïàðàãðàôå 6 ìû ïðèâîäèì îïèñàíèå àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ. ïàðàãðàôå 7 ìû ïðèâîäèì îïèñàíèå ïàêåòà ïðîãðàìì. ïàðàãðàôå 7 ìû ïðèâîäèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ êîíêðåòíûõ âû÷èñëåíèé è êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ.2Ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðûÄèôôåðåíöèàëüíûìè êîëüöàìè, ïîëÿìè è àëãåáðàìèíàçûâàþòñÿ êîëüöà, ïîëÿ è àëãåáðû, ñíàáæ¼ííûå äèôôåðåíöèðîâàíèåì óíàðíîé îïåðàöèåé, óäîâëåòâîðÿþùåé ïðàâèëó Ëåéáíèöà, äèñòðèáóòèâíîé ïî ñëîæåíèþ.Îïðåäåëåíèå 1.Åñòåñòâåííûé ïðèìåð äèôôåðåíöèàëüíîãî ïîëÿ ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé îäíîé êîìïëåêñíîé/âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé C[x] / R[x],îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóåò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî x.Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíîå êîëüöî A (àññîöèàòèâíîå, êîììóòàòèâíîå, ñ åäèíèöåé) îáîçíà÷èì ÷åðåç ∂ - îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
Âûÿñíèì, êàê êîììóòèðóþò îïåðàòîðû ∂ è îïåðàòîð óìíîæåíèÿíà ôóíêöèþ èç Aa, f ∈ A4(∂(∗f ))a = ∂(f ∗ a) = (∂f ) ∗ a + f ∗ (∂a)(1)((∗f )∂)a = f ∗ ∂aïåðåïèøåì (1) â áåçèíäåêñíîì âèäå∂(∗f ) = ∗(∂f ) + (∗f )∂(∂ n )f áóäåì îáîçíà÷àòü f (n)Íà÷èíàÿ îòñþäà âìåñòî ∗f áóäåì ïèñàòü ïðîñòî f , ïîñêîëüêó áóäåìãîâîðèòü òîëüêî îá îïåðàòîðàõ. Òîãäà (1) ïåðåïèøåòñÿ êàê :∂f = f 0 + f ∂ïðèìåíÿÿ ýòó ôîðìóëó ìíîãîêðàòíî, ïîëó÷èì:n∂ f=nXCnk f (k) ∂ n−kk=0Ââåäåì ôîðìàëüíî îïåðàòîð ∂ −1 , îáðàòíûé ê ∂∂∂ −1 = ∂ −1 ∂ = 1Ðàññìîòðèì, êàê îí äîëæåí êîììóòèðîâàòü ñ îïåðàòîðàìè óìíîæåíèÿ íà ôóíêöèè èç A∂f = f 0 + f ∂∂ −1 ∂f ∂ −1 = ∂ −1 f 0 ∂ −1 + ∂ −1 f ∂∂ −1f ∂ −1 = ∂ −1 f 0 ∂ −1 + ∂ −1 fîòñþäà∂ −1 f = f ∂ −1 − ∂ −1 f 0 ∂ −1ïðèìåíÿÿ ýòî ìíîãîêðàòíî, ïîëó÷èì∂−1f = f∂−10 −1−f ∂+∂−1 00 −1f ∂= ... =∞X(−1)k f (k) ∂ −1−kk=0Ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðîì(ÏÄÎ) ñ êîýôôèöèåíòàìè èç êîëüöà A íàçûâàåòñÿ ôîðìàëüíûé ëîðàíîâñêèé ðÿäÎïðåäåëåíèå 2.p=nXai ∂ i , a ∈ A, n ∈ Zi=−∞5Íàèáîëüøàÿ ñòåïåíü ∂ ñ íåíóëåâûì êîýôôèöèåíòîì íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ÏÄÎ, îáîçíà÷àåòñÿ ord p.
Îïðåäåëèì óìíîæåíèå ìîíîìîâ ôîðìóëîé∞Xn∂ a=Cnk a(k) ∂ n−k , n ∈ Z, a ∈ Ak=0è ðàñïðîñòðàíèì ïî ëèíåéíîñòè([20, ch.III, 11]) Ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû ñ ââåäåííûì âûøå óìíîæåíèåì îáðàçóþò àññîöèàòèâíóþ àëãåáðó.Òåîðåìà 1.Äàëåå êîëüöî ïñâåäîäèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ íàä êîëüöîìÒåéëîðîâñêèõ ðÿäîâ (íàä ïîëåì K) áóäåì îáîçíà÷àòü E, à êîëüöî äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ - D. Òàêæå ýòè êîëüöà ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàìè íàäK. Åùå îäèí âàæíûé ïðèìåð - àëãåáðà ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ÿâëÿþùàÿñÿ ïîäàëãåáðîé E.Îáîçíà÷èì åå ÷åðåç E0 .
Î÷åâèäíî, E0 ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíîé àëãåáðîé.0E = {p, p =nXci ∂ i , ci ∈ K}i=−∞Êîëüöî ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ ðàñêëàäûâàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó êîëüöà äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ(E+èëè D) è êîëüöà îïåðàòîðîâ îòðèöàòåëüíîãî ïîðÿäêà.Îïðåäåëåíèå 3.E = E+ + E−E− =nXai ∂ i , a ∈ A, n ∈ Z, n < 0i=−∞Êîììóòàòèâíàÿ ïîäàëãåáðà B ∈ D íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé åñëè ñîäåðæèò ýëåìåíò P ïîðÿäêà áîëüøå íóëÿ ñ åäèíè÷íûì ñòàðøèì ÷ëåíîì. Äëÿ ýëèïòè÷åñêîé ïîäàëãåáðû B ìîæíî îïðåäåëèòü ðàíãÎïðåäåëåíèå 4.rk B = gcd(ord Q, Q ∈ B)Îáîçí÷èì ÷åðåç Br ìíîæåñòâî âñåõ ýëèïòè÷åñêèõ êîììóòàòèâíûõ ïîäàëãåáð D ðàíãà r.Àëãåáðû B è B 0 íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò îáðàòèìûé ðÿä f ,òàêîé ÷òîB 0 = f B 0 f −16Îïðåäåëèì ÷åðåç Bp -ìíîæåñòâî äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ, êîììóòèðóþùèõ ñ P .
Òî åñòü Bp = {Q ∈ D, [Q, P ] = 0}(Øóð, ñð. [18, Lemma 7.5]) Äëÿ ëþáîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà P ïîëîæèòåëüíîãî ïîðÿäêà ñ åäèíè÷íûì ñòàðøèì ÷ëåíîì, ñóùåñòâóåò îáðàòèìûé ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð íóëåâîãî ïîðÿäêà S òàêîé, ÷òî ìíîæåñòâî Ap = S −1BpS ñîñòîèò èç ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.Òåîðåìà 2.Ap = S −1 Bp S ⊆ E0Bp ⊆ S · E0 · S −1 = C((P −1/n ))Îáðàòèìûé îïåðàòîð íóëåâîãî ïîðÿäêà S íàçûâàåòñÿäîïóñòèìûì, åñëè S∂S −1 - ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Âñå äîïóñòèìûå îïåðàòîðû îáðàçóþò ãðóïïóGa .Äîêàçàòåëüñòâî.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
